2020年辽宁省葫芦岛市兴城中学高三数学理测试题含解析

2020年辽宁省葫芦岛市兴城中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数的图像关于点对称，且当时，
，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
2. 为得到函数y=sin(x+)的图象，可将函数y=sinx 的图象向左平移M个单位长度，或向右平移以个单位长度(m，n均为正数)，则的最小值是
参考答案：
B【知识点】函数的图象与性质C4
由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m-n|=|2（k1-k2）π-|，
易知（k1-k2）=1时，|m-n|min=．
【思路点拨】依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m-n|=|2（k1-k2）π-|，从而可求得|m-n|的最小值．
3. 若,则的解集为 ( )
A. (0,)
B. (-
1,0)(2,)
C. (2,)
D. (-1,0)
参考答案：C
略
4. 已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）+f（x）＞0，当0＜a＜b＜1时，下面选项中最大的一项是（）
A．a b f（a b）B．b a f（b a）C．log a b?f（log a b）D．log b a?f（log b a）
参考答案：
D
略
5. 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为()
A．3 B．2 C. D．1
参考答案：
C
略
6. 设{a n}是等差数列，下列结论一定正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
参考答案：
C
【分析】
对选项分别进行判断，即可得出结论．
【详解】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；
又{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查分析问题的能力，比较基础．
7. （5分）（2015?陕西一模）已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）
A． 0 B． 2 C． 1 D． 3
参考答案：
【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】：导数的综合应用．
【分析】：求出曲线的导数，利用导数为﹣1，求出切点坐标，然后求出m的值．
解：曲线y=x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x﹣，
由题意直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣=﹣1，
所以x=1，所以切点坐标为（1，1），
切点在直线上，所以m=1+1=2．
故选：B．
【点评】：本题考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力．
8. 已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象 c
A． B. C. D.
参考答案：C
略
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且
，则双曲线离心率的取值范围是
A. B. C.(1,2] D.
参考答案：
B
由双曲线定义可知，从而，双曲线的离心率取值范围为.故选B.
10.
已知四点、、、,设直线与直线的交点为，则点的轨迹方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
答案：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围
是．
参考答案：
[0，3]
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
分析：求解不等式，利用充分必要条件的定义可判断出，求解即可．
解答：解：∵（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，
∴a＜x＜a+1，
∵1＜2x＜16，
∴0＜x＜4，
∵若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，
∴，即0≤a≤3 故答案为：[0，3]
点评： 本题考查了不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题
12. （选修4-4：坐标系与参数方程）以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的极坐标
方程是
.
参考答案：
略
13. 已知圆C 的圆心为（0,1
），直线与圆C 相交于A ，B 两点，且，则圆C
的半径为
.
参考答案：
圆心到直线的距离。

∴。

∴所求圆的半径为
.
14. 已知数列{a n }共有9项，其中，a 1=a 9=1，且对每个i∈{1，2，…8}，均有∈{2，1，﹣ }．
（1）记S=++…+，则S 的最小值为 ．
（2）数列{a n }的个数为 ．
参考答案：
6，491。

【考点】数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】令，则对每个符合条件的数列{a n }，满足b i ===1，且
b i ∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n }可唯一确定一个符合题设条件的
九项数列{a n }．由此能求出结果．
【解答】解：令，则对每个符合条件的数列{a n }，
满足
b i =
=
=1，且b i ∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b n }可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n }． 记符合条件的数列{b n }的个数为N ，
由题意知b i （1≤i≤8）中有2k 个﹣，2k 个2，8﹣4k 个1， 且k 的所有可能取值为0，1，2．
（1）对于三种情况，当k=2时，S 取到最小值6． （2）N=1+
+
=491．
【点评】本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
15. 若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________. 参考答案：
16. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝
参考答案：
8
17. 设的定义域为，若满足下面两个条件，则称
为闭函数.①在内是
单调函数；②存在（注意：a<b ），使
在
上的值域为。

如果
为闭函数，那么的取值范围
是
.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知矩阵
（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）若直线经过矩阵变换后的直线方程为，求直线的方程.
参考答案：
略
19. 若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵的逆矩阵．
参考答案：
，即，所以解得
所以．由，
得
略
20. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C 于M，N两点，且△F2MN的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．
参考答案：解：（1）由题得：，4a=8，所以a=2，．
又b2=a2﹣c2，所以b=1即椭圆C的方程为．
（2）由题意知，|m|≥1．
当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为，
此时；当m=﹣1时，同理可得
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x﹣m），（k≠0）
由
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0
又由l与圆．得
所以
==
因为|m|≥1所以，
且当时，|AB|=2，
由于当m=±1时，，所以|AB|的最大值为2．
略
21. （本小题12分）如图，在四棱锥中，底面，
,,,,是的中点。

（1）求证：;
（2）在线段上是否存在点，使?若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由。

参考答案：
（1）底面AB，CD又所以面PAD 即PD·····2分
又所以面PAC 即AE
,是的中点。

PC 面PCD 即PD·········5分
·····························6分
(2) 在底面中过点C作交AD与点M,在三角形PAD中过点M作交PD于点F，连接CF
··································9分
此时在底面ABCD中，,故DM
·························································11分所以在线段上存在点满足，使
··················12分
22. 已知函数f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)
(1)讨论函数的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
参考答案：
略。