2019-2020学年度第二学期高一阶段测试数学答案

2019-2020学年度第二学期高一阶段测试数学试题
命题人 周祖国2020.5
一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)．
1.如图,过点M(1,0)的直线与函数y=sin πx(0≤x ≤2)的图象交于A,B 两点, 则OM →•(OA →+OB →
)=( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.如图,在△ABC 中,|BA →|=|BC →|,延长CB 到D,使AC ⊥AD.若AD →=λAB →+μAC →
,则λ-μ=( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.下列命题:
①向量a →与b →都是单位向量,则a →=b →; ②在△ABC 中,必有AB →+BC →+CA →=0→
;
③四边形ABCD 是平行四边形,则AB →=DC →; ④若向量a →与b →共线,则存在唯一的实数λ使b →=λa →
. 其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
4.函数y=tan(π4x-π2)的部分图象如图,则(OA →+OB →)•AB →
=( )
A ．4
B ．6
C ．1
D ．2
5.已知e 1→,e 2→是夹角为600的两个单位向量,则a →=2e 1→+e 2→与b →=-3e 1→+2e 2→
夹角的余弦值是( )
A ．12
B ．- 12
C ．32
D ．- 3
2
6.设l 是直线,α,β是两个不同的平面( )
A ．若l ∥α,l ∥β,则α∥β
B ．若l ∥α,l ⊥β,则α⊥β
C ．若α⊥β,l ⊥α,则l ⊥β
D ．若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β
7.长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,E 为CC 1的中点,则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )
A ．1010
B ．3010
C ．21510
D ．31010
8.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
二.多项选择题(本大题共4个小题.每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分.选对但不全的得3分,有选错的得0分.) 9.下列命题中正确的是( )
A.非零向量a →,b →满足|a →|=|b →|=|a →-b →|,则a →与a →+b →
的夹角为300;
B.a →•b →>0,则a →与b →的夹角为锐角;
C.若AB →2=AB →•AC →+BA →•BC →+CA →•CB →
,则△ABC 一定是直角三角形 D.△ABC 的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB →+AC →=2AO →,且|OA →|=|CA →
|, 则向量BA →在向量BC →
方向上的投影向量为32(BC →|BC →|
)
10.已知复数z 0=1+2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为P 0,复数z 满足|z-1|=|z-i|, 下列结论正确的是( )
A.P 0点的坐标为(1,2)
B.复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称
C.复数z 对应的点Z 在一条直线上
D.z 0z 0－∈R
11.一个正方形纸盒展开后如图所示,在原正方形纸盒中有如下结论： ①AB ⊥EF ②AB 与CM 所成的角为600 ③EF 与MN 是异面直线 ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④
12.若复数z 满足(1-i)z=3+i(i 是虚数单位),则( ) A.z 的实部是2
B.z 的虚部是2i
C.z －
=1-2i
D.|z|= 5
三填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.复数乘法(x+yi)(cos θ+isin θ)(x,y ∈R,i 为虚数单位)的几何意义是:将复数x+yi 在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针旋转θ角,则将点(4,2)绕原点逆时针方向旋转π
3得到的点的坐标为__. 14.阿基米德逝世后,有人为他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,
图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心, 圆锥的底面是圆柱的下底面.则图案中圆锥、球、圆柱的体积比是________. 15.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD ②△ACD 是等边三角形 ③AB 与平面BCD 成600的角 ④AB 与CD 所成的角是600 其中正确结论的序号是________
16.已知l,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l ⊥m ②m ∥α ③l ⊥α． 以其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：__________． 四.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题12分)
如图,在平行四边形ABCD 中,|AB →|=3,|BC →|=2,e 1→=AB →|AB →|,e 2→=AD →|AD →|,AB →与AD →
的夹角为π3.
(1)若AC →=xe 1→+ye 2→
,求x,y 的值; (2)求AC →与BD →
的夹角的余弦值．
18.(本题10分)
已知2i-3是关于x 的方程2x 2
+px+q=0的一个根,求实数p-q 的值.
19.(本题12分)
如图,一个封闭的圆锥型容器,当顶点在上面时,放置于锥体内的水面高度为h 1,且水面高是锥体高的13,即h 1=1
3h,若将锥顶倒置,底面向上时,水面高为h 2,求h 2的大小.
20.(本题12分)
在边长为4cm 的正方形ABCD 中,E 、F 分别为BC 、CD 的中点,M 、N 分别为AB 、CF 的中点,现沿AE 、AF 、EF 折叠,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为B,构成一个三棱锥.
(1)请判断MN 与平面AEF 的位置关系,并给出证明;
(2)证明:AB ⊥平面BEF; ⇒ (3)求四棱锥E-AFNM 的体积.
21.(本题12分)
已知平面向量m →=(sinx,3sinx) ,n →=(sinx,-cosx),设函数f(x)=m →•n →
. (1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,角A 为锐角,若f(A)+sin(2A-π
6)=1,b+c=7, △ABC 的面积为23,求a.
22.(本题12分)
设z 1是虚数,z 2=z 1+1
z 1是实数,且-1≤z 2≤1.
(1)求|z 1|及z 2的实部的取值范围； (2)若ω=1-z 1
1+z 1求证:ω为纯虚数;
参考答案
一. 选择题 BCBB BBBD 二. 多选题 ACD ACD AC CD
三. 填空题 (2-3,2+3)；1:2:3；①②④；③②⇒① 四. 解答题 17.解析:
(1)AC →=AB →+AD →=3e 1→+2e 2→
,即x=3,y=2.
(2)BD →=AD →-AB →=-3e 1→+2e 2→,∴BD →•AC →=(-3e 1→+2e 2→)•(3e 1→+2e 2→)=4e 2→2-9e 1→2=-5,e 1→•e 2→
=cos π3=12, |AC →|=(3e 1→+2e 2→)2=9e 1→2+12e 1→•e 2→+4e 2→2
=19, |BD →|=
(-3e 1→+2e 2→)2=
9e 1→2-12e 1→•e 2→+4e 2→2
=7
∴cos θ=AC →•BD →|AC →||BD →|
=-519⨯7=- 5133
133
本题考查平面向量基本定理、数量积运算、向量夹角.
18.解析:
由题意知,2(2i-3)2
+p(2i-3)+q=0,
整理得,2(5-12i)+p(-3+2i)+q=0,即(10-3p+q)+(-24+2p)i=0,故p=12,q=26.p-q=-14. 本题考查复数运算、复数相等. 19.解析:
当锥顶向上时,设圆锥底面半径为r,水的体积为: V=13πr 2h-13π(23r )2
(23h )=19
81πr 2h.
当锥顶向下时,设水面圆半径为r ',则V=1
3πr '2h 2
根据三角形相似知r '=rh 2h ,此时V=13πh 2(rh 2h )2 ∴13πh 2(rh 2h )2=19
81πr 2
h,故h 2=3
193h
本题考查圆锥、圆台的体积计算. 20.解析: (1)MN ∥平面AEF.
证明:(1)∵MA=MB,NF=NB ∴MN ∥ AF
又∵AF ⊂平面AEF,MN ⊄平面AEF ∴MN ∥平面AEF
(2)∵在正方形ABCD 中,AB ⊥BE,AD ⊥DF ∴在三棱锥中AB ⊥BE,AB ⊥DF, 又∵BE ∩BF=B ∴AB ⊥平面BEF (3)由题意得,S △BEF =S △CEF =12CE •CF=1
2⨯2⨯2=2, V E-ABF =V A-BEF =13S △BEF AB=8
3
∵MN ∥ AF,MN=1
2AF ∴S 梯形MNAF =34S △ABF , ∴V E-MNAF =34V A-BEF =2 本题考查线面平行、线面垂直、棱锥的体积计算.
21.解析:
(1)f(x)=m →•n →=sin 2
x-3sinxcosx=1-cos2x 2-32sin2x=12-(32sin2x+12cos2x)=12-sin(2x+π6)
由2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2(k ∈Z)得,k π+π
6≤x ≤k π+2π3(k ∈Z) ∴函数f(x)的单调增区间为[k π+π
6,k π+2π3],(k ∈Z)
(2)由题意得,12-sin(2A+π6)+sin(2A-π
6)=1,化简得,cos2A=- 12 ∵A ∈(0,π2), ∴2A ∈(0,π),2A=2π3,即A=π
3 又1
2bcsinA=23,得bc=8,
∴a 2=b 2+c 2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA)=25, ∴a=5
本题考查三角恒等变形、正弦函数的图像性质、解三角形.
22. 解析:
(1)设z 1=x+yi(x,y ∈R 且y ≠0),
z 2=z 1+1z 1=(x+yi)+1x+yi =(x+yi)+x-yi x 2+y 2=(x+x x 2+y 2)+(y-y x 2+y 2)i
∵z 2是实数∴y-y x 2+y 2=0,又y ≠0,故1-1x 2+y 2=0,即x 2+y 2
=1
∴|z 1|=x 2
+y 2
=1,z 2=,
由-1≤2x ≤1得,- 12≤x ≤12,∴z 2的实部的取值范围为[- 12,1
2
].
(2)ω=1-z 11+z 1=-1+21+z 1=-1+2(x+1)+yi =-1+2(x+1-yi)(x+1)2+y 2=-1+
x+1-yi x+1=- y
x+1i ∵- 12≤x ≤12∴12≤x+1≤32,又y ≠0,故- y
x+1≠0
∴ω为纯虚数
本题考查复数的概念及运算.。