中考数学压轴题的特点及策略

中考数学压轴题的特点及策略
作者：卢守平
来源：《数学金刊·初中版》2012年第05期
每年中考数学压轴题的主要功能是对不同水平层次的同学进行区分和选拔，考查同学们在初中阶段对核心知识和重要数学方法、数学思想的理解和掌握水平. 目前的中考压轴题涵盖了方程、不等式、二次函数、相似、特殊四边形等核心知识，其中以二次函数为背景，结合相似、特殊四边形、方程的考题尤为突出，涉及图形变换. 此类题型具有知识面广、解题方法多、技能和能力要求高、数学思想方法凸显等特点，其在中考中占有举足轻重的地位.
1. 解读中考压轴题考点
纵观近几年的中考试题，中考压轴题通常由3个小问组成，第一个小问容易得分，得分率普遍在0.8以上，第二个小题稍难，但通常还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第三个小问较难，能力要求较高，且得分率也大多在0.2与0.4之间，从全国中考数学的试题命题来看，各地中考试题呈现“起点低，坡度缓，尾巴略翘”这一大特色.
通常第一小题主要是求点的坐标或函数解析式. 第二、三小题有探究点的存在性问题、图形面积问题或最值问题等，其中，各个小题难度层层推进. 下面就以2011年浙江省部分中考压轴题为例，着重阐述第二、三小题的特点及求解策略.
2. 案例呈现，做好应考教学策略
案例1 （2011浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0），C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4. 设抛物线顶点为P，与x轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标.
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O，P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.
方法点拨（1）可设出二次函数的一般形式y=ax2+bx+c，根据对称轴公式，并把点A，C 的坐标代入解析式，得到方程组，可求得 a，b，c的值分别为1，-8，12. 所以函数解析式为
y=x2－8x+12. 从而可确定顶点P的坐标为（4，-4）.
（2）由（1）可确定点B的坐标为（6，0），从而可确定PB的解析式为y=2x-12，发现PB∥OD，因此OP和BD为腰，计算OP的长度. 设D（x，2x），用含x的代数式表示BD2的长度，即BD2=（2x）2+（6－x）2，再根据OP2=BD2建立方程（2x）2+（6－x）2=32，解得x1=，x2=2，注意检验根的合理性. 当x=2时，OD=BP=2，四边形OPBD为平行四边形，舍去. 所以当x=时，四边形OPBD为等腰梯形. 故存在D，符合题意.
（3）当0
解决策略对于求点的坐标问题，同学们要熟悉平行于x轴和y轴的坐标特点，以及在坐标轴角平分线上的点的特点，并会利用待定系数法求函数关系式. 对于点存在性问题，解答时应先回答问题，再说明理由. 说理的方式有两种：一是从已知条件入手，通过推理、论证得出结论成立；二是从结论入手，通过推理、论证，得到使结论成立的条件. 由于点有静态点和动态点之分，因此，做题时应区别对待. 对于静态点问题，往往涉及点满足何条件才能构成等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形等，这类问题应注重分类讨论，根据其性质特点，找出点的位置，然后利用方程思想来解决. 对于图形面积问题，压轴题中往往是在图形的运动变化中求值，常用割补法，或者探究两种图形重叠部分的面积.
案例2 （2011浙江宁波）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A，O，B三点，连结OA，OB，AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标.
（2）求抛物线的函数解析式.
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N 两点（点N在y轴右侧），连结ON，BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标.
（4）连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B，O，P分别与点O，A，N对应）的点P的坐标．
方法点拨（1）根据A，B两点坐标可求出直线AB的解析式为y=x+3，令x=0，可求得E 点坐标为（0，3）.
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A，B两点的坐标代入，列方程组求得a=，b=－，所以抛物线的解析式为y=x2－x．
（3）过点N作x轴的垂线NG，垂足为点G，交OB于点Q，过点B作BH⊥x轴于点H，设Nx，x2－x，则Q（x，x）. 把△BON的面积表示为两个三角形之和，用含未知数的形式表示出△BON的面积，即S△BON=S△QON+S△BQN=·QN·OG+·QN·GH=·QN·（OG+GH）=·QN·OH=·x－x2－x×6=－（x－3）2+（0
（4）过点A作AS⊥GQ于点S，易求得tan∠SAN=tan∠NOG=，且
∠OAS=∠BOG=45°，所以∠SAN=∠NOG，∠OAN=∠BON. 所以ON的延长线上存在一点P 满足条件. 先求出OB，AO和AN的长，由△BOP∽△OAN得到OP的长为. 作PT⊥x轴于点T，所以△OPT∽△ONG， ==，设P（4t，t），则（4t）2+t2=2，解得t1=，t2=－（舍），所以点P的坐标为15，. 将△OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P′，15. 由以上推理可知，当点P的坐标为15，或，15时，△BOP与△OAN相似．
解决策略对于单动点的动态问题，应抓住变化中的“不变量”，以不变应万变. 先理清题意，根据题目中两个变量的变化情况找出相关常量，再按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，最后根据题目的要求，依据几何、代数知识求解. 对于面积的最值问题，有求三角形或四边形的面积的最大（小）值. 这类问题通常是借助三角形的面积公式或转化为三角形来解决，但它们的本质都是通过建立二次函数模型，对二次函数配方求得相应的最值，因此，在解决这类问题时，首先应求出所求问题的二次函数解析式，然后再配方求顶点坐标，这样就可以求出最值.
3. 总结
中考压轴题是初中数学中知识覆盖面最广，综合性最强的题型. 压轴题结合知识点多，条件隐晦，这就要求同学们有较强的理解能力、分析能力和解决能力，对数学知识和数学方法有较强的驾驭能力，并且有较强的创新意识和创新能力.。