高二数学解析几何综合复习资料：椭圆

高二数学寒假辅导资料（3）
椭 圆
一、基础知识：
1、椭圆的定义：
（1）椭圆的第一定义：__________________________________________________。

（2）椭圆的第二定义____________________________________________________。

2、椭圆的准方程、图形、性质：
3、椭圆的参数方程：
5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离：
②求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。

（2）相切
①相切有一解
⇔+
==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 222
21
②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为
P x y xx a yy b 000020
21()+=
()31222
2相交有两解
⇔+
==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b
①弦长公式：
||()()AB x x y y =-+-122122
=++-142
12212k x x x x ()
标准方程
)
0(1
2
22
2>>=+
b a b
y
a x
)
0(12
2
2
2>>=+
b a b x
a y
图形 范围 顶点 对称轴 焦点 焦距
离心率
准线 参数方程 焦半径 通径
①相离无解
⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b
222
21
=+-12
12k x x ||
=+12k a ·
∆||
基础练习：
1.如果椭圆116
252
2=+y x 上的点A 到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是 ( ) A 8,
320 B 10, 3
20 C 10, 6 D 10, 8 答案: B
2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( ) A 3 B
23 C 3
3 D 以上都不对 答案: C 解析: c
a c 2
2312⋅=
3. P 为椭圆14
52
2=+y x 上的点，21,F F 是两焦点，若ο302
1=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是
（ ） A
3
3
16 B )32(4- C )32(16+ D 16
答案: B 解析: 设n PF m PF ==21,,列方程求解.
4. 椭圆
13
42
2=+y x 内有一点P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有一点M,使MF MP 2+最小,则点M
为( )
A )1,362(
- )23,1.(±B C )2
3
,1(- D )1,362(-± 答案: A 解析: MF e 2,2
1
∴=Θ等于M 到右准线的距离.
5.椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_____________.
答案：117
174,1282
222=+=+y x y x 6.如图21,F F 分别为椭圆122
22=+b
y a x 的左、右焦点,点P 在 椭圆上,2POF ∆是面积为3的
正三角形,则2b 的值是____. 解析:
234
32=∴=c c
2
P b ∴⇒=7 设A(-2,0),B(2,0),ABC ∆的周长为10,,则动点C 的轨迹方程为: __________.
答案: )0(1592
2≠=+y y x 8. 椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为4
1-,则2
2OQ OP + 为 ( )
A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定
答案: C
解析: 设直线方程为 kx y =,解出2
OP ,写出2
OQ
9. 过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )
A. a b 22
B. b a 22
C. a c 22
D. b
c 22
答案: A
解析: 设焦点弦AB,AF 与ox 负半轴夹角为θ,则θθcos 1,cos 1e ep
BF e ep AF +=
-=
2cos 122
2π
θθ
=∴-=∴e ep AB 时,a b c c a a c ep AB 222)(22=-⋅⋅==最小. 10. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为ο60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离
心率为（ ）
A ．
32 B. 22 C. 21 D. 3
2 答案: D
例1. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴，离心率2
3
=
e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的
点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标。

解法一：设椭圆的参数方程为
x a y b a b ==⎧⎨
⎩>>≤<cos sin ()θθθπ，
其中，002
由，得e c a b a a b
222213
42==-==()
设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d
则d x y 222
3
2=+-()
=+-a b 222
3
2cos (sin )θθ =-+++31
243
222b b b (sin )θ
如果即12112b b ><
那么当时，取得最大值sin ()()θ=-=+1732222
d b 由此得与矛盾
b b =-><732121
2 因此必有，此时当时，取得最大值1211
2743
222b b d b ≤=-=+sin ()θ
解得，b a ==12
所求椭圆的参数方程是x y ==⎧⎨
⎩2cos sin θ
θ
由，±
sin cos θθ=-=123
2
求得椭圆上到点的距离等于的点是，与，P 731231
2()()
--- 解法二：设所求椭圆的方程为x a y b a b 222
210+=>>()
由，解得e c a b a b a 2
2221341
2==-==
() 设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d
则d x y 222
3
2=+-()
=-+-a a b y y 2
2222
32()
=--++
3349
422y y b =-+++31
243
22()y b
其中，如果，则当时
-≤≤<=-b y b b y b 1
2
d b 222
73
2取得最大值()()=+ 解得与矛盾
b b =-><732121
2
故必有b ≥
1
2 当时，取得最大值y d b =-=+1
2743
222()
解得，b a ==12
所求椭圆方程为x y 2
241
+=
由可求得到点的距离等于的点的坐标为±，y P =--12731
2()
小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须
用参数方程来解决。

例2 如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在x 轴上, 过其右焦点F 作斜率为1的直线, 交椭圆于A 、B 两点, 若椭圆上存在一点C, 使＋＝. (1) 求椭圆的离心率;(2) 若||＝15, 求着个椭圆的方程.
解: (1)设椭圆的方程为1b
y a x 22
22=+, 焦距为c 2, 则直线l 的方程为:c x y -=,
代入椭圆方程,
得0b a c a cx a 2x )b a (2
2
2
2
2
2
2
2
=-+-+, 设点)y ,x (A 11 、)y ,x (B 22 ,
则,b a c a 2x x 22
221+=+,b
a c
b 2
c 2x x y y 2
222121+-=-+=+ ∵＋=, ∴C 点坐标为)b a c
b 2,b a
c a 2(2
2222
2+-+ . ∵C 点在椭圆上, ∴1)
b a (
c b 4)b a (c a 42
222
222222=+++ . ∴,1b a c 42
2
2
=+ ∴.b a c 4222+= 又,a b c 2
22=+∴.a 2c 522=
∴5
10a c e ==
(2) ∵)ex a ()ex a (|BF ||AF ||AB |21-+-=+=
21222
22()2c a c
a e x x a a a
b =-+=-⨯+
22222
22322,42
ac ac a
a a a
b
c =-=-=+ 由已知,10a ,152
a
3==从而102a 510c ==. ∴60c a b 222=-=. 故椭圆的方程为:
1100
y 100x 2
2=+. 例3 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是425
=x ,其左、右顶点分别
是A 、B ；双曲线 1:22
222=-b
y a x C 的一条渐进线方程为.053=-y x
(1)求椭圆1C 的方程及双曲线2C 的离心率;
(2)在第一象限内取双曲线2C 上一点P ,连接AP 交椭圆1C 于点M,连接PB 并延长交椭圆1C 于
点N,若.=求证: 0=⋅
(1) 解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==5
3425
2a b c a (c 为椭圆半焦距), 4,3,5===∴c b a
2221;1925:C y x C =+∴的离心率为5
342=e . (2) 证明:设),(00y x M ,则)2,2(00y a x P +即)2,52(00y x P +
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-+=+∴19425)52(19252
02020
20y x y x 消去0y 得0255202
0=-+x x
因为点M 在第一象限)5(5
3
3:)33,10()233,
25
(-=∴∴∴x y l P M
代入椭圆方程得: 2
50251522=
∴=+-N x x x 所以点M 、N 关于x 轴对称. ∴0=⋅AB MN
点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.
1．已知椭圆14
2
2=+y m x 的焦距是2，则m 的值是_____________5或3 2．已知()y x P ,是椭圆125
1442
2=+y x 上的点，则
y x +的取值范围是________________
[-13,13]
3．椭圆14
922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 3535
x <<4．如图，把椭圆
22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则
1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____ __,35
5．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3
2
=e ，短轴长为58，求椭圆的
方程．
解：由2224523b c e a a b c ⎧=⎪
⎪
==⎨⎪
⎪-=⎩
⇒
128
a c =⎧⎨=⎩，∴椭圆的方程为：1801442
2=+y x 或18014422=+x y . 6．椭圆12
32
2=+y x 内有一点P （1，1）
，一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。

解：设交点111222(,),(,)P x y P x y ，则122x x +=，122y y +=，
且2211132x y +=，2222132x y +=，两式相减得12121212()()()()
032
x x x x y y y y -+-++= 从而12121212122()23()3P P y y x x k x x y y -+==-=--+。

所以直线12P P 的方程为2
1(1)3
y x -=--，即2350x y +-=。

7．已知A 、B 为椭圆22a x +2
2925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=
58
a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为2
3
，求该椭圆方程．
解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=
e Θ由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 5
8
，∴x 1+x 2=a 21，即
AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴2
3
4541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程
为x 2+9
25y 2
=1．
8．椭圆12
2
22=+b
y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为
坐标 原点.（1）求
2
21
1b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围.
解：(1)设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：Θ又将代入x y -=1 12
222=+b y a x 0)1(2)(2
22222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022
221b a a x x +=+∴>∆Θ 2
2
2221)
1(b a b a x x +-=代入①化简得 2112
2=+b a . (2) ,3221211311222222222
≤≤⇒≤-≤∴-==a b a
b a b a
c e Θ又由（1）知12222-=a a b
2
6
252345321212122≤
≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].。