插值与曲线拟合的比较

插值与曲线拟合的比较
摘要：对给出的一组数据(i=0,1,2,…,n),根据不同的原则我们可以利用),(i i y x 插值法和曲线拟合法分别来构造近似函数表达式。

通过例子来对比这两种方法的优缺点，虽然它们都有缺点，但都是实用性很强的方法，所以还是要多加重视。

关键词：插值；曲线拟合；插值多项式；拟合曲线
1插值与曲线拟合的区别
在科学研究和生产实践中，常常需要从一组测量数据(i=0,1,2,…,n)),(i i y x 出发，寻找变量y 与X 的函数关系y=f(x)的近似表达式y=。

从几何角度来)(x ϕ说，就是利用y=的图像来近似y=f(x)的图像。

插值和曲线拟合就是求近似)(x ϕ表达式y=的两种方法。

其中插值方法求出的插值多项式需要通过所有的点)(x ϕ(i=0,1,2,…,n)，即近似表达式y=要满足(i=0,1,2,…,n)；),(i i y x )(x ϕ)(i i x y ϕ=而曲线拟合求出的近似表达式y=只要能反映数据的基本趋势就可以了，不)(x ϕ一定过全部的点(i=0,1,2,…,n)。

),(i i y x 2 举例
例题 利用表1数据构造插值多项式和拟合曲线。

i
x 1345678i y 10542112
表1
(1) 构造插值多项式。

解题过程：利用牛顿插值来求解，所以先来构造差商表，如表2。

i x i y 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商六阶差商
110
35-2.5
44-10.5
52-2-0.5-0.25
61-10.50.333330.11666
7100.50-0.083325-0.033331
8210.5000.0166650.007142
表2
997
.535286.688095.42475.1667829.2219031.0007142.09978.17667.370609.281416.1092834.11857.0007142.09992.11398.233656.15566347.463329.0033331.09996.64826.128829.651658.111666.0375.4225.05.125.05.25.210)7)(6)(5)(4)(3)(1(007142.0)6)(5)(4)(3)(1(033331.0)5)(4)(3)(1(11666.0)4)(3)(1(25.0)3)(1(5.0)1(5.210)(234562345623452342326+-+-+-=+-+-+-++-+-+-+
-+-++-+-+
-++-=------+----------+
------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
N 图1
(2)构造拟合曲线。

解题过程：将所给数据标在坐标平面上，如图l 。

可看出曲线图形大致为抛物线，故设变量y 与x 的关系为，下面0122a x a x a y ++=先来构造矛盾方程组Ax=b 即
其中 A=，b=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++=++=++2864174916362525441653910012012012012012012012a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1864174916361525
1416139111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21124510因为rank(A)=3=A 的列数，故正则方程组有唯一解也就是我们b A Ax A T T =想要的最小二乘解，下面来构造正则方程组：
b A Ax A T T =
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7342003420012882001288875618641749
16361525141613911111111118765431644936251691A A T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=25803822112451011111118765431644936251691b A T 所以为，b A Ax A T T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡73420034200128820012888756=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡012a a a ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡2580382解得=0.2639，=-3.5850，=13.4451
2a 1a 0a 所以。

4451.135850.302639.2+-=x x y (3)比较结果的好坏。

从上例解题过程中我们看到插值法的思想很简单：先数一数有几个节点，“节点个数减一”就是我们要构造的多项式的最高次数，然后再利用我们讲过的构造方法来构造就可以了，其实就是套用公式。

但它有明显的缺陷：一是测量数据通常带有测量误差，而插值多项式又通过所有),(i i y x 的点(i=0,1,2,…,n)，这样就使插值多项式保留了这些误差；二是如果有),(i i y x 实验提供的数据较多，则必然得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很繁琐。

与插值不同，曲线拟合不要求曲线通过所有已知点，而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系即可。

比如上例中，只需求出二次的拟合曲线，这要比求出六次的插值多项式简单一些。

所以在某种意义上，曲线拟合更有实用价值。

但它也有缺陷：在确定拟合曲线之前要先作图来分析是什么样的曲线，这是一个很困难的过程。

3 结语
插值和曲线拟合都是利用已知的数据去寻求某个较为简单的函数y=来
)
(x
逼近y=f(x)，只是逼近原则不同而已。

它们都有缺点，但都是实用性很强的方法，因此要认真把握这两种方法。

参考文献：
[1] 李信真，成刚明，欧阳洁，封建湖．计算方法[M]．西北工业大学出版社，2004．
[2] 张书杰．最小二乘法在工程数表中的应用[J]．广西轻工业，2007，10．
[3] 李庆扬，王能超，易大义．数值分析[M]．清华大学出版社，2001．。