湖北省武汉市新洲区阳逻街2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

阳逻街2023秋九年级上学期期中考试
数学试卷
答卷时间：120分钟
满分：120分2023.11一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程一定是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.2.下列图形中，是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.3.把方程化为的形式，则，的值分別是（）
A.，
B.，
C.，
D.，4.将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为（）
A. B. C. D.5.关于二次函数，下列说法正确的是（）
A.图象的对称轴在轴的右侧
B.图象与轴的交点坐标为
C.当时，随的增大而减小
D.的最小值为-9
6.如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，，且，则的度数为（）
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，则每个支干长出（）个小分支.
A.9
B.8
C.7
D.68.设拋物线上有，，三点，若抛物线与轴的交点在负半轴上，则，和
的大小关系为（）2150x x ++=230x x y ++=210x x +-=20
ax bx c ++=223x x +=2()x m n +=m n 1m =2
n =1m =3n =1m =4n =1m =-3n =2y x =2(2)3
y x =++2(2)3y x =-+2(2)3y x =+-2(2)3y x =--228y x x =+-y y (0,8)1x >-y x y 70AOD ∠=︒AO DC ∥B ∠223y ax ax a =--()12,A y
-)
2B
y ()33,C y y 1y 2y 3y
A. B. C. D.9.如图，
与为的两条平行弦.若，，则弦的长为（）
C.
10.已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（）A.0 B.-2023 C.2023 D.-1
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11.若点与点关于原点对称，则的值为_____.
12.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则的度数为______.
13.如图，是的中点，弦，，且，则所在圆的直径为______.14.一男生推铅梂，铅球出手后运动的高度（单位：m ）与水平距离（单位：m ）之间的函数关系是
，则该男生将铅球推出的距离为______m.15.如图，在中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长度的最小值为________.
231y y y <<132y y y <<123y y y <<321
y y y <<O AB CD O 45CDE ∠=︒2AD =BE 220232y x x =-+(,1)A a (,1)B b 220231a b -
+(,3)A a -(2,)B b b a ABC △60BAC ∠=︒ABC △A 40︒ADE △DAC ∠C
AB 24AB =CD AB ⊥8CD = AB y x 21251233
y x x =-++ABC △3AB AC ==90BAC ∠=︒D AB CD C 45︒CE AE AE
16.抛物线（，，为常数，经过，，三点，且.下列四个结论：①
；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则。

其中正确的是_____（填序号即可）.三、解答题（本大题共8小题，共72分）17.（本题8分）解方程：18.（本题8分）如图，平行四边形是⊙O 的内接四边形求证：四边形是矩形.19.（本题8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，.
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求实数的值.20.（本题8分）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余.
（1）求证：；（2）若，，求的长.
2
y ax bx c =++a b c 0)c <(1,1)(,0)m (,0)n 3n ≥0b <2
414ac b a
->3n =(2,)t 1t >2ax bx c x ++=103
m <≤
2304
x x --
=ABCD ABCD x 22
(23)10x k x k +-+-=1x 2x k 1x 2x 2212121x x x x +=+⋅k ABCD O AC O ACD ∠BCD ∠ CD
BD =CD =4BC =AB
21.（本题8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）.
（1）在图1中，先在上画点E ，使，再在上画点F ，使；
（2）在图2中，先画格点H ，使平分（一个即可），再在上画点，使.
22.（本题10分）某网店销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于32元.试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售.设销售单价为x 元，每天销售量为y 件.
（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8360元？
（3）网店决定每销件1件玩具，就捐赠a 元（）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为7280元，求a 的值.
23.（本题10分）在中，，.
（1）如图1，点在边上，且.
求的值；（2）如图2，点在的外部，且.求证：；
（3）若是平面内一点，且，
，请直接写出
的值为______.24.（本题12分）如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点，点在抛物线上，且的面积为.75⨯ABCD CD 45ABE ∠=︒AB AF CE =BH ABC ∠AB G AG BC =48a <≤ABC △AB AC =120BAC ∠=︒D BC 2ADB C ∠=∠BD CD
E ABC △2270BEC AEB ∠-∠=︒BE =P 90APB ∠=︒150BPC ∠=︒CP BP 22(0)y ax ax a a =+-<x A B A B y
C (2,)P h ABC △32
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图2，直线交抛物线于，两点，直线，分别与轴的正、负半轴交于，两点，且.求证：直线必过定点，并求出这个定点的坐标.
参考答案1
2345678910C D C B D D B A C A
11、-8；
12、20°；13、26；
14、10；15、16、②③④.17.解：，，
……3分…………5分
方程有两个不相等的实数根……………6分
……7分
，…………8分18.证明：四边形是平行四边形
…………3分
四边形是的内接四边形
…………3分
………………2分
四边形是矩形
19.解：（1）由得，………………4分（2），………………5分
:(0)EF y mx n m =+>E F PF PE y M N 4OM ON ⋅=EF 31a = 1b =-34
c =-241340b ac ∴∆=-=+=>∴x ∴=
=132x ∴=212
x =- ABCD A C ∴∠=∠ ABCD O 180A C ∴∠+∠=︒90A C ∴∠=∠=︒∴ABCD 0∆≥()22(23)410k k ---≥1312
k ∴≤12(23)x x k +=--2121x x k ⋅=-
，解得：，…………7分
∵
，∴…………8分20.（1）证明：连，是的直径
…………3分
…………4分
（2）解：延长交于点……5分设半径为由得：
…………7分为直径…………8分
21.
()2121231x x x x +-=()22(23)311
k k ∴---=11k =211k =1312
k ≤
1
k =OB OD AC O 90D ∴∠=︒
90DAC ACD ∴∠+∠=︒
90BCD ACD ∠︒
∠+= DAC BCD ∴∠=∠DOC DOB ∴∠=∠ CD
BD ∴=DO BC
E BOD COD
∠=∠ BOE COE
∴∠=∠1,22
OE BC BE CE BC ∴⊥===4
DE ∴==r 222OE CE OC +=222(4)2r r -+=52
r ∴=
AC 90ABC ∴∠=︒3AB ∴==
图1图2
22.解：（1）…………2分（40也可不带等号）
（2）依题意得：，………………4分
…………5分
即：当销售单价是52元时，网店每天获利8360元.………………6分
（3）设利润为元.
对称轴为：………………8分∵，∴w 随x 的增大而增大……………9分当时，………………10分
23.（1）解：，，…………3分（2）以为腰在左侧作等腰，且，连接，过作于点.证得………………4分
即设，则，，……6分
再证明………………7分
（3
10分（只有一解得2分）10900(4062)y x x =-+≤≤(30)(10900)8360
x x --+=152x ∴=268x =4062x ≤≤ 52x ∴=w 2(30)(10900)10(120010)900(30)
w x a x x a x a =---+=-++-+120010160202
a x a +=-
=+-48a <≤ 16260642
∴<+≤4062x ≤≤∴62x =max 7280W =(6230)(620900)7280a ∴---+=6a ∴=AB AC = 120BAC ∠=︒
30B C ∴∠=∠=︒
260ADB C ∴∠=∠=︒90BAD ∴∠=︒30C DAC ∠=∠=︒
22BD AD CD ∴==2BD CD
∴=AE AE AEF △120EAF ∠=︒BF A AH EF ⊥H CAE BAF ∠=∠ABF ACE △≌△AEC AFB ∴∠=∠2270BEC AEB ︒∠-∠= 2()270AEB AEC AEB ∴∠+∠-∠=︒
2270AEB AEC ∠+∠=︒
AEC AFB α∠=∠=30BFE α∠=-︒2702AEB α∠︒=-2402BEF α∴∠=︒-()18030(2402)30FBE ααα︒︒∴∠=----=-︒BE EF ∴=EF =BE ∴=
24.解：（1）令，，，令，，，，抛物线的解析式为：……3分（2）过作轴交PA 的延长线于点.令，，设直线AP 的解析式为：……4分…………6分，（舍去）…………7分
（3）设的解析式为：，PN 的解析式为：，………………8分
联立直线PM 与抛物线得：同理：………………9分联立直线与抛物线得：，………………10分即：，，…………12分即：顶点坐标为0y =220ax ax a +-=12x ∴=-21
x =0x =2y a ∴=-1322ABC S AB OC =
⋅=△13(12)(2)22a ∴+-=12a ∴=-∴211122y x x =--+D DE y ∥E 2x =2y =-(2,2)P ∴-211,122D m m m ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭
(2,0)A - (2,2)P -∴112
y x =--1,12E m m ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭
2122E D ED y y m ∴=-=-1(22)212
ADP EDP EDA S S S ED =-=⨯+= △△△2122212m ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭
15m =-25m =(5,9)D ∴--PM 1(2)2y k x =--2(2)2y k x =--()10,22M k ∴--()20,22N k --4OM ON ⋅= ()()124114k k ∴++=-121211k k k k ∴+++=-2111(2)2122k x x x --=--+()1223p F x x k ⋅=-+123F x k ∴=--223E x k =--EF 211122mx n x x +=--+21E F x x m ∴+=--22E F x x n ⋅=-12232321k k m ----=--()()12232322k k n ----=-12252m k k -∴+=12322
n m k k -+⋅=1n m ∴=-1(1)1y mx n mx m m x ∴=+=+-=+-(1,1)--。