固体物理学作业

2、温度T=0时若测得铜单晶（面心立方）的晶格常数为a, 假设纵波和横波的传播速度均为p，试求出铜的德拜温度。
解：由德拜模型
cq vp q
4 3

(D
/
vp )3

(2 )3 N
/V

D vp (6 2 N / V )1/3
vp (6 2 4 / a3 )1/3
vp (24 )2 1/3 / a
32
2
c 8 a3
晶格常数：a、c
2、假设晶格常数为a，试分别计算简立方、体心 立方和面心立方结构晶胞的致密度。
解： 简立方：
一个晶胞中的原子数为1个，原子半径为a/2,
致密度＝ Va Vc
＝
4
/
3


(a a3
/
2)3
1

0.52
体心立方：
一个晶胞中的原子数为2个，原子半径为 3a / 4,
周期性势场中的电子可能具有的能量是分段存在的。每两个 可取的许可能量段之间为一不允许的能量范围所隔开。这些 能量范围均称为能带，其中允许的能量范围称为许可带，不 允许的能量范围称为禁带。
当原子与原子结合成固体时，其电子既有共有化运动也有原 子内运动，由于周期场的作用，使得电子的能量E（k）函数 在布里渊区边界处出现不连续，发生能量的突变。电子的能 量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。
2、请计算一维复式格子振动中，在布里渊区中心和边界， 声学波和光学波的频率各是多少？
2


mM
[(m

M)

(m2Leabharlann M22mM
cos 2qa)1/2 ]
2


mM
[(m

M)

(m2

M2

2mM
cos 2qa)1/2 ]
光学波 声学波

1、钠是体心立方结构，晶格常数 a 4.28 A 试用自由电子模型计算钠的霍尔系数（用SI单位制）。

2.45
10
10
(
m3 库仑
)
2、设一维紧束缚近似下电子的色散关系为： E(k)=E0-2Jcoska
请导出电子的速度V(k)和有效质量m*(k),并画出 V(k)和 m*(k)的示意图（k取第一布里渊区）。
解： V (k) 1 dE 2aJ sin ka dk
d 2 E 2a2 J cos ka dk 2
m* 1
2
1 d2E 2 dk 2
2a2 J cos ka
2aJ
π/2a
2
2a2 J
π/2a
3、电子有效质量与惯性质量有什么关系，为什么可取负值？
m



F外 F外 F晶


m
有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还 可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期 场对电子运动的影响。
在晶体的周期性势场中波矢相差一个倒格矢电子在晶体的运动状态相同因此通常将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的体积相等的封闭体积内这些封闭的体积即为布里渊区其中包含原点在内的最小的封闭体积称为简约区或第一布里渊区
1、六角密集结构中，六棱柱晶胞的底面边长为a， 高度为c，试求a/c=?.
a C/2
a
(2 3 a)2 (c )2 a2
致密度＝ Va Vc
＝4
/
3

( 3a a3
/
4)3

2

0.68
面心立方：
一个晶胞中的原子数为4个，原子半径为 2a / 4,
致密度＝ Va Vc
＝4
/
3
( 2a a3
/
4)3

4

0.74
3、若已知某正交化合物的晶格常数为a、b、c，测得 密度为d，假定该化合物的分子量为M，试导出每个晶 胞中含有的分子的个数Z。
解：由于霍尔系数 R 1
ne
且钠是体心立方结构，一个体心立方单元里存两个原子
n 2 2 2 2.551022 cm3 V a3 (4.28108 )3 2.551028 m3
由SI单位制
R
1 ne

1 2.55 10 28 1.6 10 19
解：正交化合物1个晶胞的体积为 V abc
1个晶胞的质量为 m Z M NA
NA ：阿伏加德罗常数
密度为 d m ZM / N A V abc
Z abcdN A M
4、画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在 （100），（110）和（111）面上的原子排列。
解： 体心立方：
(100)
(110)
(111)
正方格子
中心长方格子
六角格子
面心立方：
(100)
(110)
(111)
正方格子
长方格子
六角格子
1、什么是布里渊区，什么是电子能带，电子能带是如何形成的？
在晶体的周期性势场中，波矢相差一个倒格矢，电子在 晶体的运动状态相同，因此通常将k取在由各个倒格矢的 垂直平分面所围成的体积相等的封闭体积内，这些封闭 的体积即为布里渊区，其中包含原点在内的最小的封闭 体积称为简约区或第一布里渊区。
在能带顶： d 2E dk 2

0
电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而 表现为具有负的有效质量m*< 0。
1、简述处理固体比热的德拜模型的基本出发点和主要结论？
解：德拜模型德基本出发点是：晶体是各向同性的连 续弹性介质，格波可以看 成连续介质的弹性波。
c
q
主要结论：在高温下，晶格热容与温度无关； 在很低温度下，晶格热容CV ∝ T3，随着温度 下降到零，晶格热容趋向于零。
qy D
qx
D D / kB vp (24 2 )1/3 / kBa