第6周作业 势能和机械能守恒-详解
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当小A球（下取落A到 aBrc点cos即12 ）。 然B（后取放开B 小ar球cco，s 23小）球时沿，一绳圆子弧对下小落球。的求拉：力 FT
1、如图所示一质量为m的小球沿光滑轨道运动，该轨道含一
段斜面和一段竖直放置的半圆形轨道，半径为R。若小球一开
始静止于高度为h的 A点，然后放开小球，小球下落。若此时
2mg(cosB
cos A ) mg cosB
mg(3cosB
2 cos A )
由 A
arccos
1 2
,B
arccos
2 3
代入上式得到：FT mg
小球一开始静止放置在点 A ，此时弹簧无形变，其长为圆环
半径 R ，然后放开小球，小球下落并导致弹簧伸长。 假定当小球
运动到环的底端点 B时，球和环之间无相互作用，求弹簧的劲度系数k。
3、如图所示，一小球质量为 m系在绳子上，绳子质量忽略，长为 l
并记绳子与竖直方向夹角为 。设t 0时小球静止于 A点，此时对应
1 2
）。然后放开小球，小球沿一圆弧下落。
求：当小球下落到 B点即
B（取B
arccos
2 3
）时，绳子对小球的拉力 FT
解有：y 体 系l的co机s械，能由为题E设在EAK点vEAP0，12 m可v得2 EmA gy12取m绳vA子2 固m定gy端A 为 重m力g势l c能os零A点
EB
1 2
mvB 2
弹簧伸长。假定当小球运动到环的底端点 B时球和环之间无相互作用，
求：弹簧的劲度系数k。
解：体系的机械能为 E EK EP（ 1 小球） EP 可以取B点 yB 0 ，则由题设得A点 yA
2（弹簧） 2R R
1 mv
2 sin
6
2 mgy 3R
2
1 2
k
l
2
A点：由题设知弹簧无形变，故有
l A
=0
；又因小球静止，有：vA
0
故有
EA
1 2
mvA2
mgyA
1 2
k l 2 A
3 2
mgR
B点：弹簧形变为l PB PA R；小球和环之间无相互作用，有：
故有：EBFn12mmvvRBB2
B
FT mg 2 mgyB
kR mg
1 k l 2
2
B
即：mvB2 kR2 mgR
第6周作业 势能和机械能守恒 1、如图所示一质量为m的小球沿光滑轨道运动，该轨道含一 段斜面和一段竖直放置的半圆形轨道，半径为R。若小球一开 始静止于高度为h的 A点，然后放开小球，小球下落。若此时 小球刚刚好可以经过 B点，即半圆形轨道的顶端，求高度 h 。
2、一轻弹簧一端系在沿竖直方向放置的光滑圆环的顶点 P， 另一端系一质量为 m的小球，小球穿过圆环并可在环上运动。
mgR ，又
yB
2R
故有 EB
1 2
mvB 2
mgyB
5 mgR 2
由机械能守恒
EA
EA ，有 mgh
5 mgR ，则 2
h
5R 2
2、一轻弹簧一端系在沿竖直方向放置的光滑圆环的顶点 P，另一端系一质量
为 m的小球，小球穿过圆环并可在环上运动。小球一开始静止放置在点 A
此时弹簧无形变，其长为圆环半径R ，然后放开小球，小球下落并导致
mgyB
1 2
mvB 2
mgl cosB
由机械能守恒 EA EB 有：
mgl cos A
1 2
mvB 2
mgl
cos B
进一步有：
再对小球在B点做力分析，得此时法向力为：Fn
mvB2 m vB2
l
2mgl(cosB cosA) FT mg cosB 故有：
FT
m vB2 l
mg cosB
小球刚刚好可以经过 B点，即半圆形轨道的顶端，求高度 h 。
解：体系的机械能为
E
EK
EP
1 mv2 2
mgy
按题设条件有
vA
0, yA
h，则A点机械能为 EA
1 2
mvA2
mgyA
mgh
因小球刚刚好可以经过 B点，故此时小球对轨道无作用力，法向力完全由重力提供，
即：Fn
m vB2 R
mg ，故有 mvB2
1 (kR2 mgR) 1 kR2
2
2
kR 2
1 2
mgR
由机械能守恒 EA EB
有：3 mgR kR2 1 mgR
2
2
，解得：k 2mg
R
3、如图所示，一小球质量为 m系在绳子上，绳子质量忽略，长为 l
并记绳子与竖直方向夹角为 。设t 0时小球静止于 A点，此时对应
A（取A
arccos
1、如图所示一质量为m的小球沿光滑轨道运动，该轨道含一
段斜面和一段竖直放置的半圆形轨道，半径为R。若小球一开
始静止于高度为h的 A点，然后放开小球，小球下落。若此时
2mg(cosB
cos A ) mg cosB
mg(3cosB
2 cos A )
由 A
arccos
1 2
,B
arccos
2 3
代入上式得到：FT mg
小球一开始静止放置在点 A ，此时弹簧无形变，其长为圆环
半径 R ，然后放开小球，小球下落并导致弹簧伸长。 假定当小球
运动到环的底端点 B时，球和环之间无相互作用，求弹簧的劲度系数k。
3、如图所示，一小球质量为 m系在绳子上，绳子质量忽略，长为 l
并记绳子与竖直方向夹角为 。设t 0时小球静止于 A点，此时对应
1 2
）。然后放开小球，小球沿一圆弧下落。
求：当小球下落到 B点即
B（取B
arccos
2 3
）时，绳子对小球的拉力 FT
解有：y 体 系l的co机s械，能由为题E设在EAK点vEAP0，12 m可v得2 EmA gy12取m绳vA子2 固m定gy端A 为 重m力g势l c能os零A点
EB
1 2
mvB 2
弹簧伸长。假定当小球运动到环的底端点 B时球和环之间无相互作用，
求：弹簧的劲度系数k。
解：体系的机械能为 E EK EP（ 1 小球） EP 可以取B点 yB 0 ，则由题设得A点 yA
2（弹簧） 2R R
1 mv
2 sin
6
2 mgy 3R
2
1 2
k
l
2
A点：由题设知弹簧无形变，故有
l A
=0
；又因小球静止，有：vA
0
故有
EA
1 2
mvA2
mgyA
1 2
k l 2 A
3 2
mgR
B点：弹簧形变为l PB PA R；小球和环之间无相互作用，有：
故有：EBFn12mmvvRBB2
B
FT mg 2 mgyB
kR mg
1 k l 2
2
B
即：mvB2 kR2 mgR
第6周作业 势能和机械能守恒 1、如图所示一质量为m的小球沿光滑轨道运动，该轨道含一 段斜面和一段竖直放置的半圆形轨道，半径为R。若小球一开 始静止于高度为h的 A点，然后放开小球，小球下落。若此时 小球刚刚好可以经过 B点，即半圆形轨道的顶端，求高度 h 。
2、一轻弹簧一端系在沿竖直方向放置的光滑圆环的顶点 P， 另一端系一质量为 m的小球，小球穿过圆环并可在环上运动。
mgR ，又
yB
2R
故有 EB
1 2
mvB 2
mgyB
5 mgR 2
由机械能守恒
EA
EA ，有 mgh
5 mgR ，则 2
h
5R 2
2、一轻弹簧一端系在沿竖直方向放置的光滑圆环的顶点 P，另一端系一质量
为 m的小球，小球穿过圆环并可在环上运动。小球一开始静止放置在点 A
此时弹簧无形变，其长为圆环半径R ，然后放开小球，小球下落并导致
mgyB
1 2
mvB 2
mgl cosB
由机械能守恒 EA EB 有：
mgl cos A
1 2
mvB 2
mgl
cos B
进一步有：
再对小球在B点做力分析，得此时法向力为：Fn
mvB2 m vB2
l
2mgl(cosB cosA) FT mg cosB 故有：
FT
m vB2 l
mg cosB
小球刚刚好可以经过 B点，即半圆形轨道的顶端，求高度 h 。
解：体系的机械能为
E
EK
EP
1 mv2 2
mgy
按题设条件有
vA
0, yA
h，则A点机械能为 EA
1 2
mvA2
mgyA
mgh
因小球刚刚好可以经过 B点，故此时小球对轨道无作用力，法向力完全由重力提供，
即：Fn
m vB2 R
mg ，故有 mvB2
1 (kR2 mgR) 1 kR2
2
2
kR 2
1 2
mgR
由机械能守恒 EA EB
有：3 mgR kR2 1 mgR
2
2
，解得：k 2mg
R
3、如图所示，一小球质量为 m系在绳子上，绳子质量忽略，长为 l
并记绳子与竖直方向夹角为 。设t 0时小球静止于 A点，此时对应
A（取A
arccos