沪科版九年级上册数学21.2 二次函数的图象和性质 同步测试

21.2 二次函数的图象和性质同步测试
一、选择题
1.函数y=2x（x-3）中，二次项系数是（）
A. 2
B. 2x2
C. －6
D. -6x
【答案】A
2.二次函数的顶点坐标是（）
A. （1，-2）
B. （1，2）
C. （0，-2）
D. （0，2）
【答案】D
3.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（）
A. y=x2﹣2x+2
B. y=x2﹣2x﹣2
C. y=﹣x2﹣2x+1
D. y=x2﹣2x+1
【答案】B
4.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）
A. 0 5
B. 0 1
C. ﹣4 5
D. ﹣4 1
【答案】D
5. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
6.已知A(－1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)在函数y＝-5(x＋1)2＋3的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A. y1< y2< y3
B. y1< y3 < y2
C. y2 < y3 < y1
D. y3< y2 < y1
【答案】C
7.如图，关于抛物线y=(x-1)2-2，下列说法错误的是（）
A. 顶点坐标为(1，-2)
B. 对称轴是直线x=l
C. 开口方向向上
D. 当x>1时，Y随X的增大而减小【答案】D
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a-2b+c|+|a+b+c|-|2a+b|+|2a-b|，则（）
A. M＞0
B. M＜0
C. M＝0
D. M的符号不能确定
【答案】B
9.关于抛物线y=x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）
A. 开口向上
B. 当a=2时，经过坐标原点O
C. a＞0时，对称轴在y轴左侧
D. 不论a为何值，都经过定点（1，﹣2）
【答案】C
10.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）
A. y=3（x﹣3）2+3
B. y=3（x﹣3）2﹣3
C. y=3（x+3）2+3
D. y=3（x+3）2﹣3
【答案】D
11. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＜0；④16a+4b+c＞0．
其中正确结论的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
12.如图，将抛物线y=-x2平移后经过原点O和点A(6,0)，平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y=-x2相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为( )
A. B. 12 C. D. 15
【答案】C
二、填空题
13.y=﹣2x2+8x﹣7的开口方向是________，对称轴是________．
【答案】向下；直线x=2
14.抛物线y=2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k=________．
【答案】3
15. 二次函数y=x2﹣2x+3图象的顶点坐标为________ .
【答案】（1，2）
16.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y=________．
【答案】（x﹣1）2+2
17.把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是________．
【答案】
18.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为________
【答案】
19.已知点A(-2,m)、B(2,n)都在抛物线上，则m与n的大小关系是m ________n．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】＜
20. 如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是________ .
【答案】，（答案不唯一）．
三、解答题
21.已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．求二次函数的解析式；
【答案】解：∵二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）,
∴,解得.
∴二次函数的解析式为.
22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B （x2，0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．
【答案】（1）证明：△=64m2-4m•（16m-1）
=4m，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点
（2）解：根据题意，x1、x2为方程mx2-8mx+16m-1=0的两根，
∴x1+x2=- =8，x1•x2= ，
∵|x1-x2|=2，
∴（x1+x2）2-4x1•x2=4，
∴82-4• =4，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-8x+15
（3）解：抛物线的对称轴为直线x=- =4，
∵抛物线开口向上，
∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，
∴4m-16m+16m-1≥0，
∴m≥
23.如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．
②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：①∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴P（1，4），且C（0，﹣3），
设直线BC解析式为y=kx+m，则有，解得，
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
设对称轴交BC于点E，如图1，
则E（1，﹣2），
∴PE=﹣2﹣（﹣4）=2，
∴S△PBC= PE•OB= ×3×2=3；
②设P（1，t），由①可知E（1，﹣2），
∴PE=|t+2|，
∴S△PBC= OB•PE= |t+2|，
∴|t+2|=6，解得t=2或t=﹣6，
∴P点坐标为（1，2）或（1，﹣6），
即存在满足条件的点P，其坐标为（1，2）或（1，﹣6）
24.如图，抛物线y= x2﹣2x﹣6 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D 为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4 ，AE与y轴交F．
（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；
（2）点M，N是抛物线对称轴上两点，且M（2 ，a），N（2 ，a+ ），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；
（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2 个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤ ）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的t值．
【答案】（1）解：∵y= x2﹣2x﹣6 = （x﹣2 ）2﹣8 ，
∴顶点D坐标（2 ，﹣8 ），
由题意E（4 ，﹣8 ），A（﹣2 ，0），B（6 ，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，则有，解得，
∴直线AE解析式为y=﹣x﹣2 ，
∴点F坐标（0，﹣2 ）
（2）解：如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′= ，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．
∵四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5 +CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（两点之间线段最短），
∴此时四边形CMNF的周长最小．
∵C′F=3
∴GN= C′F= ，
∴﹣（a+ ）=2 + ，
∴a=﹣，
∵C′F′= =5 ，
∴四边形CMNF的周长最小值=5 +5 =10
（3）解：如图2中，作PF⊥BD于F，QH⊥对称轴于H．
由题意可知BD= =4 ，DQ=2 t，∵S△PQG= S△DPQ= S△PD′Q，
∴PG= PD′= PD=2 = BF，
情形①PG∥FB时，∵PF=PD，
∴BG=GD，
∴PG= BF=2 ，
在Rt△QHD中，sin∠HDQ= ，DQ=2 t，
∴HQ=2 t，HD=4 t，
∵∠QPD′=∠QPD=45°，
∴PH=HQ=2 t，
∴PH+HD=PD，
∴6 t=4 ，
∴t= ．
情形②如图3中，PG′=PG=2 ，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．
由sin∠PDG=sin∠GPM= = ，
∴MG′=MG= ，
∴G′D=BD﹣GG′= ，
∵= = ，
∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，
∴QK=QJ，
∴= =2，
∴QD= × = ，
∴t= = ，
综上所述t= 或秒时，△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的。