新人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(含答案解析)(4)

一、选择题
1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）
A ．75︒
B ．57︒
C ．55︒
D ．77︒
2．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（ ）
A ．7
B ．10
C ．6
D ．5
3．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3
4．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm
5．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别
取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）
A ．HL
B ．SAS
C ．SSS
D ．ASA
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等
7．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
8．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL
9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
10．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．
A ．AC D
B =
B ．A D ∠=∠
C ．B C ∠=∠
D ．AB DC = 11．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是
（ ）
A ．OA =O
B B ．A
C =BC C ．∠A =∠B
D ．∠1=∠2 12．下列说法正确的是 （ ）
A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．斜边相等的两个直角三角形全等
C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等
二、填空题
13．如图，已知四边形
,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，
180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．
14．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．
15．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．
16．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．
17．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，
44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____
18．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．
19．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；
如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；
如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．
20．如图，在ABC 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．
三、解答题
21．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．
求证：CD 平分ACE ∠．
22．在ABC 中，AD 是ABC 的高，30B
，52C ︒∠=
（1）尺规作图：作ABC 的角平分线AE
（2）求DAE ∠的大小．
23．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．
（1）求证：ABC ADE △≌△．
（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．
24．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．
（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；
（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；
（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．
25．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．
（1）直线BF垂直CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并说明理由．
26．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明
ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF
1
2
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出
∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，
∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
当EP⊥BC时，EP最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=1
2
AD，由AD＝14，求出
即可．
【详解】
解：当EP⊥BC时，EP最短，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC，∴EP=EA，
同理，EP=ED，
此时，EP=1
2
AD=
1
2
×14=7，
故选A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P点位置并应用角平分线性质求EP是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，计算即可．
【详解】
解：∵△DEF≌△ABC，
∴BC=EF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BE=CF，
又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5
∵CF=1
2(BF-EC)=
1
2
(9-5)=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM＋ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
5．C
解析：C
【分析】
根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC 和△ONC 中，
OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC ，
∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A 、如果 ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B 、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C 、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D 、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．D
解析：D
【分析】
过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据角平分线的性质定理得6CD DF ==，而DE 的长一定是大于等于点D 到AB 的距离也就是DF 的长，即可得出结果．
【详解】
解：如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，
∵AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥，90C ∠=︒，
∴6CD DF ==，
∵DE DF ≥，
∴6DE ≥，则只有D 选项符合．
故选：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
8．D
解析：D
【分析】
直接证明全等三角形，即可确定判断方法.
【详解】
解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，
∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，
又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,
故选：D.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.
9．A
解析：A
【分析】
根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．
【详解】
解：由题意得，
当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，
∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，
∴AD =AE =3，
∵BC ∥OM ，
∴∠DOA =∠B ，
∵A 为OB 中点，
∴AB =AO ，
在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ADO ≌△ABC (SAS ),
∴AC =AD =3，
∴336CD AC AD =+=+=，
故选A ．
【点睛】
此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．
10．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．
【详解】
根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，
∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，
∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，
故选：D ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据题意可以得到∠AOC=∠BOC ，OC=OC ，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC ≌△BOC ，从而可以解答本题．
【详解】
解：由已知可得，∠AOC=∠BOC ，OC=OC ，
∴若添加条件OA=OB ，则△AOC ≌△BOC （SAS ），故选项A 不符合题意；
若添加条件AC=BC ，则无法判断△AOC ≌△BOC ，故选项B 符合题意；
若添加条件∠A=∠B ，则△AOC ≌△BOC （AAS ），故选项C 不符合题意；
若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO ，则△AOC ≌△BOC （ASA ），故选项D 不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．C
解析：C
【分析】
根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL定理针对四个选项分别进行判断即可．
【详解】
A. 一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；
B. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；
C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据AAS即可证明全等，故此选项正确；
D. 一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握证明三角形全等的条件尤其是必须含有边这个条件是解题的关键．
二、填空题
13．21【分析】如图作DHBA交BA的延长线于H作DFBC的延长线于F作DEAC于E首先证明利用面积法求出DE即可解决问题【详解】解：作DHBA交BA的延长线于H作DFBC的延长线于F作DEAC于E设则
解析：21
【分析】
如图，作DH⊥BA交BA的延长线于H，作DF⊥BC的延长线于F，作DE⊥AC于E，首先==，利用面积法求出DE，即可解决问题．
证明DH DE DF
【详解】
解：作DH⊥BA交BA的延长线于H，作DF⊥BC的延长线于F，作DE⊥AC于E，
∠+∠=︒∠+∠=︒，
180,180
BAD CAD BAD DAH
∴∠=∠，
CAD DAH
180,180BCD ACD BCD DCF ∠+∠=︒∠+∠=︒，
ACD DCF ∴∠=∠，
,,DH BH DE AC DF BF ⊥⊥⊥，
DH DE DF ∴==，
设DH DE DF x ===， 则有：11112222
AB DH BC DF AB BC AC DE ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∴34125x x x +=+，
6x ∴=，
∴S 四边形ABCD=
11113456212222
AB CB AC DE ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=． 故答案为：21．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 14．4【分析】当PC 垂直于OB 时PC 最小根据角平分线的性质可求最小值【详解】解：当PC ⊥OB 时PC 最小∵PC ⊥OB ∴PC=PD=4故答案为：4【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质能够根据垂线段最
解析：4
【分析】
当PC 垂直于OB 时，PC 最小，根据角平分线的性质可求最小值．
【详解】
解：当PC ⊥OB 时，PC 最小，
∵AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，PC ⊥OB ，
∴PC=PD=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能够根据垂线段最短的性质判断出点C 的位置，并根据角平分线的性质得出PC=PD 是根关键．
15．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=∴∠A=-∠B-
∠C=∵△ABC ≌△DEF ∴∠D=∠A=故答案为：【点睛】此题考查全等三角 解析：70︒
【分析】
先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数，再利用全等三角形的性质求出答案即可
【详解】
∵∠A+∠B+∠C=180︒，
∴∠A=180︒-∠B-∠C=180506070︒-︒-︒=︒，
∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠D=∠A=70︒，
故答案为：70︒
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形的内角和定理．
16．OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可【详解】解：添加的条件是OA ＝OB 理由如下：∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 在△AOD 和
解析：OA ＝OB （答案不唯一）
【分析】
由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ,然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可．
【详解】
解：添加的条件是OA ＝OB ，理由如下：
∵AD ∥BC ，
∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D
在△AOD 和△BOC 中
A B AO BO AOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AOD ≌△BOC （ASA ）．
故答案为：OA ＝OB （答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理的内容是解答本题的关键．
17．【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过 解析：46︒
【分析】
先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得
()1462
ADB CBE BAC ∠=
∠-∠=︒． 【详解】 解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：
∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥ ∴12
BAD BAC ∠=
∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒ ∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒
∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒
∴CD 平分BCF ∠
∵DF AC ⊥，DG BC ⊥
∴DF DG =
∴DE DG =
∵DE AB ⊥，DG BC ⊥
∴BD 平分CBE ∠ ∴12
DBE CBE ∠=
∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠
1122CBE BAC =∠-∠ ()12
CBE BAC =∠-∠ 12
BCA =∠ 46=︒．
故答案是：46︒
【点睛】
本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．4cm 【分析】根据求得AM 的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM 平分∠POQ ∴故答案为：4cm 【点睛】本题
考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解
解析：4cm
【分析】 根据12AOM S
OA AM =⋅求得AM 的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．
【详解】 解：114822
AOM S OA AM AM =⋅=⨯=， 解得4cm AM =，
∵OM 平分∠POQ ，
∴4cm MB AM ==，
故答案为：4cm ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 19．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全 解析：)(12n n +
【分析】
根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．
【详解】
解：当有1点D 时，有1对全等三角形；
当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；
当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．
故答案为：
)(12n n +．
【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
20．12【分析】利用SSS 证明△ADC ≌△ADB 可得△ABD 的面积=△ACD 的面积通过拼接可得阴影部分的面积=△ABD 的面积再利用三角形的面积公式可求解
【详解】解：∵AB=ACBD=CDAD=AD ∴△A
解析：12
【分析】
利用SSS 证明△ADC ≌△ADB ，可得△ABD 的面积=△ACD 的面积，通过拼接可得阴影部分的面积=△ABD 的面积，再利用三角形的面积公式可求解．
【详解】
解：∵AB=AC ，BD=CD ，AD=AD ，
∴△ADC ≌△ADB （SSS ），
∴S △ADC =S △ADB ，
∵BC=8，
∴BD=4，
∵AB=AC ，BD=DC ，
∴AD ⊥BC ，
∴EB=EC ，FB=FC ，
∵EF=EF ，
∴△BEF ≌△CEF （SSS ）
∴S △BEF =S △CEF ，
∵AD=6，
∴S 阴影=S △ADB =12BD•AD ＝12
×4×6＝12． 故答案为：12．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解S 阴影=S △ADB 是解题的关键．
三、解答题
21．见解析
【分析】
根据题意，先证明//AB CD ，然后由平行线的性质以及等量代换，得到
ACD DCE ∠=∠，即可得到结论成立．
【详解】
证明：D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，
D ABD ∴∠=∠，
//AB CD ∴
ABC DCE ∴∠=∠，A ACD ∠=∠
又A ABC ∠=∠，
ACD DCE ∴∠=∠，
CD ∴平分ACE ∠．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到//AB CD ．
22．（1）作图见解析；（2）11
【分析】
（1）以任意长度为半径，点A 为圆心画圆弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于2MN 的长度为半径画圆弧并相交于点K ，连接AK ，AK 交BC 于点E ，即可得到答案； （2）结合题意，根据三角形内角和定理，得BAC ∠；再根据角平分线性质得EAC ∠；结合AD 是ABC 的高，根据直角三角形两锐角互余的性质计算得DAC ∠；最后通过DAE EAC DAC ∠=∠-∠的关系计算完成求解．
【详解】
（1）作图如下：
AE 即为ABC 的角平分线；
（2）∵30B ，52C ︒∠=
∴180180305298BAC B C ∠=-∠-∠=--=
∵AE 为BAC ∠的角平分线
∴492
BAC EAC ∠∠== ∵AD 是ABC 的高 ∴90ADC ∠=
∴90905238DAC C ∠=-∠=-=
∴493811DAE EAC DAC ∠=∠-∠=-=．
【点睛】
本题考查了角平分线、三角形内角和、直角三角形两锐角互余、三角形高的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形内角和、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
23．（1）详见解析；（2）52︒
【分析】
（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．
即∠BAC=∠DAE ．
在△ABC 和△ADE 中
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴ABC ADE △≌△；
（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，
∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵ABC ADE △≌△，
∴52DAE BAC ∠=∠=︒．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
24．（1）∠BDE ＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH ＞∠ABC ，又根据平行线的性质得出
∠ABC=∠ADE ，即可得出答案；
（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．
【详解】
（1）解：∵DE//BC ，∠EBC ＝35°，
∴∠DEB ＝∠EBC ＝35°，
又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE ＝180°，∠DBE ＝40°，
∴∠BDE ＝105°；
（2）证明：∵∠EGH 是△FBG 的外角，
∴∠EGH ＞∠ABC ，
又∵DE//BC ，
∴∠ABC ＝∠ADE ，
∴∠EGH ＞∠ADE ；
（3）全等．
证明：E 是AC 和FG 的中点，
∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，
在△AFE 和△CEG 中，
AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．
25．（1）证明见详解；（2）BE=CM ，证明见详解；
【分析】
（1）首先根据点D 是AB 的中点，∠ACB=90° ，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE=CG ；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC ，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE=CM ；
【详解】
（1）∵点D 是AB 的中点，AC=BC ，∠ACB=90°，
∴ CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，
∴ ∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG ，
又∵BF ⊥CE ，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG ，
在△AEC 和△CGB 中，
⎧⎪⎨⎪⎩
∠CAE=∠BCG AC=BC
∠ACE=∠CBG ∴△AEC ≌△CGB(ASA)，
∴AE=CG ；
（2）BE=CM ，
∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，
∴∠CMA+∠MCH=90°，
∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC ，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE 和△CAM 中，
⎧⎪⎨⎪⎩
∠BEC=∠CMA ∠CBE=∠ACM BC=AC ， ∴△BCE ≌△CAM(AAS)，
∴ BE=CM ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）和全等三角形的性质是解题的关键；
26．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里
【分析】
（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE ≌
ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌
AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌
AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．
【详解】
解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABE ≌ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF 12
=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AEF ≌AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
故答案为 EF ＝BE +DF ．
（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；
理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，
在ABE 和ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABE ≌ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF 1
2
=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，
在AEF 和GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AEF ≌AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，
∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，
∴∠EOF 12
=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．。