2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析

2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高一12月月考数学
一、选择题：共12题
1. 下列函数中,随着的增大,增大速度最快的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：当前所学过的函数中，在都是增函数的条件下，指数函数是增长最快的得结果．
考点：函数增长速度问题．
2. 已知幂函数过点,( )
A. 3
B. 9
C. -3
D. 1
【答案】A
【解析】设幂函数过点,所以,即,则;故选A.
3. 已知,则下列正确的是( )
A. 奇函数,在上为增函数
B. 偶函数,在上为增函数
C. 奇函数,在上为减函数
D. 偶函数,在上为减函数
【答案】A
4. 函数的一个零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为且在上单调递增,又
，所以函数的一个零点所在的区间是.故选B.
5. 已知一个三棱柱高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则此三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由斜二测画法的规则可知，三棱柱的底面为直角三角形，且两条直角边分别为2，
，故此三棱柱的体积为。

选D。

6. 若=,且=,则满足的关系式是( )
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
【答案】C
【解析】因为,且,所以,即;故选C. 7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.
点睛:（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其
直观图．
（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
8. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由=0得两个正根和一个负根，所以舍去B,C；因为，所以舍D,选A..
9. 已知方程有两个不等实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由下图可得，故选D．
考点：函数与方程．
10. 已知函数=是上的单调增函数,则的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，选C.
11. 若函数=且)在区间内恒有,则的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得
所以由，得的单调递增区间为，选D.
点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；
(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子
集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)
利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单
调性.
12. 四棱锥的底面是边长为6的正方形,且，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是( )
A. 6
B.
C.
D. 5
【答案】B
【解析】设该四棱锥的高为,则四棱锥的表面积为,因为一个半径为的球与此四棱锥所有面都相切,所以,又,即
,解得或(舍);故选B.
【方法点晴】本题主要考内切球的性质及棱锥的体积公式，属于难题. 球与多面体内切与外接内接问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中外接问题主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面
上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质；内切问题应注意切点与内切
球球心的连线与切面垂直.
二、填空题：共4题
13. 若,则________.
【答案】
【解析】试题分析：，两边取常用对数，得，所以
，所以答案应填：．
考点：对数的运算．
【方法点晴】本题考查指数式的处理，对数的应用，属于容易题．当式子中含有指数时，可
以采用取对数的方法，把研究对象从指数位置取下，进而更容易解决问题，这是处理此类问
题的常用手段．
14. 已知圆锥的母线长是,侧面展开图是半圆,则该圆锥的侧面积为_______.
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，则有，所以，则圆锥侧面积为. 15. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数,则不等式的解
集是________.
【答案】
【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数,可得函数在区间
上是增函数,所以由不等式得,即或,解得或
,即不等式的解集是;故答案为.
16. 已知=有四个零点,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
有四个零点,即函数和的图象有四个不同的交点,在同一坐标系中作出两函数的图象,如图，由图象,得,即;故答案为.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
三、解答题：共5题
17. 计算:(1);
(2).
【答案】(1)；（2）.
【解析】试题分析：（1）先将根式化为分数指数幂、再利用幂指数的运算法则进行化简求值;
(2) 直接利用对数的运算法则进行求解，化简过程中注意避免计算错误.
试题解析：(1)原式===.
(2)原式===
【方法点晴】本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
18. 在平面四边形中,===,求四边形
绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.
【答案】(60＋4)π,π.
【解析】本试题主要是简单几何体的运用。

解：由已知易得
19. 某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2009年为第1年,且前4年中,第年与年产量万件之间的关系如下表所示:
若近似符合以下三种函数模型之一:＝＝=.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2015年的年产量比预计减少,试根据所建立的函数模型,确定2015年的年产量.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用表格中部分数据和待定系数法分别求出拟合函数的解析式,再通过其他数据进行验证优选拟合函数;(2)根据（1）的结论，利用拟合函数进行预测，可得
年预计年产量为.
试题解析：(1)符合条件的是若模型为,
则由＝21＋a＝4,得,即,
此时f(2)＝6,f(3)＝10,f(4)＝18,与已知相差太大,不符合,
若模型为x＋a,则是减函数,与已知不符合,
所以=,由已知得,解得.
(2)2015年预计年产量为
2015年实际年产量为13×(1-30%)＝9.1,
答:最适合的模型解析式为=,2015年的实际产量为9.1万件.
20. 已知函数=的定义域为.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数的值域.
【答案】（1）增区间为,减区间为；（2）.
【解析】试题分析：(1)利用换元思想,将问题转化为二次函数的单调性问题,再利用复合函数单调性“同增异减”的原则进行判定;(2),∴,利用（1）的结论与单调性确定函数的值域.
试题解析：(1)令,则==,
当时是减函数,
此时==是减函数,
当时,是减函数,
此时==是增函数,
∴函数的单调增区间为,单调减区间为.
(2),∴,∴值域为.
21. 已知方程=.
(1)若此方程有两个正实根,求实数的取值范围；
(2)若此方程有两个正实根均在内,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）方程有两个正实根，利用根的分布，从判别式，轴，端点值角度考虑即可得答案；（2）若此方程有两个实根均在（0，2），利用根的分布即求实数m的取值范围．
试题解析：
设
（1）由题，，
即或，解得
故的取值范围为.
（2）由题，
即，解得
故的取值范围为.
点睛：本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根的分布与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．。