高考数学压轴专题人教版备战高考《平面向量》全集汇编及答案

高中数学《平面向量》复习知识点
一、选择题
1．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r
，P 为BD 上一点，若14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值
（ ）
A ．
34
B ．
320
C ．
316
D ．38
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，可得出144
λ=+u u u r u u u r u u u r
AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定
理，即可求出λ. 【详解】
解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14
AP AB AC λ=+u u u
r u u u r u u u r ，
所以144
λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，
由于B ，P ，D 三点共线，
所以1
414
λ+=， ∴316λ=
． 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
2．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u u
r u u u r 的最小值为
（ ） A ．1- B ．3-
C ．1
2
-
D ．32
-
【答案】A
【解析】 【分析】
建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】
建立如图所示坐标系，
设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以
(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r
，
故22
3131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛
⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u r u u u r
22
3322122x y ⎛⎫⎛
⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当3
2
x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.
故选：A ． 【点睛】
本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
3．已知向量m →，n →
的夹角为60︒，且1m →=，3m n →→
-=n →
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设||n x →
=，利用数量积的运算法则、性质计算即可. 【详解】 设||n x →
=，
因为1m →
=，向量m →，n →
的夹角为60︒，
所以
2
213 m n x x
→
→
-=-+=，
即220
x x
--=，
解得2
x=，或1
x=-（舍去），
所以2
n
→
=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
4．在ABC
∆中，2
AB=，3
AC=，
3
BAC
π
∠=，若
2
3
BD BC
=
u u u v u u u v
，则AD BD
⋅=
u u u v u u u v
（）A．
22
9
B．
22
9
-C．16
9
D．
8
9
-
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB
u u u v
，AC
u u u v
，然后用两个基底向量表示AD
u u u v
，BD
u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果．
【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
2222
3333
BD BC AC AB AB AC
==-=-+
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，
22
33
AD AB BD AB AB AC
=+=-+
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v12
33
AB AC
=+
u u u v u u u v
.
∴
1222
3333
AD BD AB AC AB AC
⎛⎫⎛⎫
⋅=+⋅-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
22
242
999
AB AC AB AC
=-⋅+⋅-⋅⋅
u u u v u u u v u u u v u u u v
242
49cos
999
AB AC BAC
=-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠
u u u v u u u v
82
423cos
993
π
=-+-⋅⋅⋅
229
=
. 故选A ． 【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
5．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为4-，则
向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为（ ） A ．45° B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C 【解析】 【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为
cos =4BD α-u u u r
，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==，
向量BD u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为4-，
设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u
r 的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r
，
∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC
BA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC
α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r
u ur r u
， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
6．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u
r u u u r
B ．12AB AD -u u u
r u u u r
C ．12
AB AD +u u u r u u u r
D ．12
AB AD -u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v
u u u
v u u u v 故选A. 【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
7．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3
BAD π
∠=
，M 为DC 的中点，N 为
平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v
（ ）
A ．16
B ．12
C ．8
D ．6
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r
|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】
由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r
|， 取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，
又12
AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r
，
所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=
（414+
⨯16+2×41
2⨯）＝6， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题
8．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>3
，过右焦点F 且斜率为()0k k >的
直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r
，则k =（ ）
A ．2
B 3
C 2
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】 由3e =
3a =，3b =，可设椭圆的方程为222
334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r
得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由
22211334x y c +=，22
222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
因为223
1c b e a a ==-=，所以2a b =，
所以3a =，3b =，则椭圆方程22221x y a b
+=变为222
334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><， 又3AF FB =uu u r uu r
，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，
所以()121
233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x c
y y +=⎧⎨+=⎩
因为A ，B 在椭圆上，所以
2
2211334
x y c +=，① 22222334
x y c +=②. 由①—9×②，得2
121212123(3)(3)3(3)(3)84
x x x x y y y y c +-++-=-，
所以
21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833
x x c -=-， 所以123x c =
，2109x c =
，从而13
y =-
，29y c =
所以2(,)33A c -
，10(,)99B c c
，故9
102393
k c c +==- 故选：C. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
9．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r
的最小值是（ ） A ．0 B ．1
C
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为
()
2
11a -+，由二次函数性质可得结果.
【详解】
由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r
，
,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r
， ()2
111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.
故选：B . 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
10．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r
，||b =r
||||a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r
与向量b r
的夹角为( )
A ．
4π或
34π
B ．
6π或
56
π
C ．
3π
或
23
π D ．
2
π
【答案】A 【解析】
【分析】
设向量a r ，b r
的夹角为θ，则2||12a b θ+=+r r ，2||12a b θ-=-r r ，即可
求出2cos θ，从而得到向量的夹角； 【详解】
解：设向量a r ，b r
的夹角为θ，222||||||2||||cos 48a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r
12θ=+，
222||||||2||||cos 4812a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r
，所以
2222||||144128cos 80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，2
1cos 2
θ∴=，因为[0,)θπ∈，故
4
π
θ=
或
34
π
，故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.
11．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r
，则x =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r
r ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求
解，得到答案. 【详解】
由题意，向量(1,1)a =r
，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r
r ，
所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r
，解得1x =，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3
π，(),c a b R μλμ+
=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c
r 的最小值为（ ）
A B
C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
利用向量的数量积的运算公式，求得1
2
a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到
2
4c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．
【详解】
由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π
，所以11cos 11322
a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，
又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r
，
所以()
2222222
2()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，
因为,R λμ+
∈时，所以2
22()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪
⎝⎭
，当且仅当λμ=时取等号，
所以2
3c ≥u r ，即c ≥u r
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
13．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u
r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144AB AC +u u u
r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r
，化简得到答案. 【详解】
()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
14．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r
，
则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】A 【解析】 【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断. 【详解】
由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以，CB AB ⊥，即2
B π
∠=，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
15．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r
，则以下说法不正确的是（ ） A ．若//a b r r
，则1tan 2
α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r r
取得最大值，则1
tan 2
α= D ．||a b -r r 1 【答案】B 【解析】 【分析】
A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.
B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.
C 选项求得()f
α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利
用向量模的运算来判断正确性. 【详解】
A 选项，若//a b r r
，则2sin cos αα=，即1
tan 2
α=
，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r
，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C
选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，
22k π
αϕπ+=+，22k π
ϕπα=+-，
tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα
⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确. D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r
1
，此时a =r
，,a b r r 反向.故选项D 正确.
故选：B
【点睛】 本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.
16．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ）
A
．8+B
．8-C ．12 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
17．已知向量a v ，b v
满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）
A
．2 B
．3 C
．8 D
．4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平方运算可求得12
a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】 由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r
cos ,
4a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
18．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．
15，45
B ．43，13-
C ．45，15
D ．13-，43 【答案】C
【解析】
【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2
OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504
OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41
x y x y =⎧⎨
+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.
19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）
A ．10
B ．16
C ．
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．
【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，
则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．
20．已知向量(),1a x =-r ， (b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ）
A B C ．2 D ．4 【答案】C
【解析】
由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)
1a =-r
所以2a =
=r 故选C。