最新初中数学四边形图文解析(3)

最新初中数学四边形图文解析(3)
一、选择题
1．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）
A ．7 : 12
B ．7 : 24
C ．13 : 36
D ．13 : 72
【答案】B
【解析】
【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，
∵DF=CF ，BE=CE ， ∴
12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13
DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，
∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，
∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，
∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，
∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12
EF BD =, ∴14
EFC BCDD S S =V V , ∴18
EFC
ABCD S S =V 四边形, ∴1176824
AGH EFC ABCD S S S +=+=V V 四边形=7∶24, 故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，
题目的综合性很强，难度中等．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，
∵EF∥AC，
∴EF BP
AC BO
=即
43
y x
=，
∴
4
3
y x =；
当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483
x -+．
故选C ．
3．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）
A ．△AO
B ≌△BOC
B ．△BO
C ≌△EO
D C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC
【答案】A
【解析】
根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可： ∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．
∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．
∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．
∴△BOC ≌△EOD ．
综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．
4．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A ．183π-
B ．183π
C ．32316π
D ．1839π-
【答案】C
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=
3
843⨯=，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积
=
2
120(43)
84332316
360
π
π
⨯
⨯-=-．
故选：C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
5．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()
A．4 B．8 C．6 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，
AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．
【点睛】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．
6．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )
A．可能不是平行四边形B．一定是菱形
C．一定是正方形D．一定是矩形
【答案】D
【解析】
根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．
【详解】
解：这个四边形是矩形，理由如下：
∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵OA=OC=OD=OB，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）
A．6
5
B．
8
5
C．
12
5
D．
24
5
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：连接AD
∵AB=AC ，D 为BC 的中点，BC=12，
∴AD ⊥BC ，BD=DC=6，
在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD =+=， ∵S △ADB=
12×AD×BD ＝12×AB×DE ， ∴DE=8624105
AD BD AB ⨯⨯==， 故选D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解此题的关键．
8．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）
A ．2
B ．169
C ．32
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，
∵四边形EFGH 为正方形，
∴EG FH =，
∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，
∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，
∵ABE △≌CDG V ，
∴CDG V 为等腰三角形，
∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，
∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，
则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，
∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，
∴4MN =，
设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，
∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22
x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，
∴1x =，则S 正方形EFGH 14122
==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，
∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，
∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=
V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．
9．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）
A ．4
B ．3
C ．52
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．
【详解】
∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，
∴∠ECD=∠ECB ，
∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，
∴∠DEC=∠ECB ，
∠DEC=∠DCE ，
∴DE=DC ，
∵AD=2AB ，
∴AD=2CD ，
∴AE=DE=AB ．
∵8AD BC ==，2=AD AB
∴AB=4，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．
10．如图11-3-1，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ）
A ．∠ADE=20°
B ．∠ADE=30°
C ．∠ADE=12∠ADC
D ．∠ADE=13
∠ADC 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 设∠ADE=x ，∠ADC=y ，由题意可得，
∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，
由①×3-②可得3x-y=0， 所以13x y =
，即∠ADE=13∠ADC ． 故答案选D ．
考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．
11．如图，抛物线2119
y x =
-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）
A ．2
B ．322
C ．52
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=
12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
【详解】
∵2119
y x =-，
∴当0y =时，21019x =
-， 解得：=3x ±， ∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O 点为AB 的中点，
又∵圆心C 坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC 长度=2205OB C +=，
∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，
∴OE 为△ABD 的中位线，
即：OE=12
BD ， ∵D 点是圆上的动点，
由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，
∴BD 的最小值为4，
∴OE=12
BD=2， 即OE 的最小值为2，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
12．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】A
【解析】
【分析】
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形.
【详解】
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选A．
【点睛】
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
13．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下
列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝1
2
∠
CGE．其中正确的结论是( )
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+1
2
（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=1
2
∠CGE，，正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
14．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.
【详解】
矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
15．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为()
4,1, 点D的坐标为()
0,1，则菱形ABCD的周长等于（）
A ．5
B ．43
C ．45
D ．20
【答案】C
【解析】
【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.
【详解】
如下图，连接AC 、BD ，交于点E
∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB 又∵B ()4,1，D ()0,1
∴E(2，1)
∴A(2，0)
∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：5故选：C
【点睛】
本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.
16．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）
A．110°B．120°C．140°D．150°
【答案】B
【解析】
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，
图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，
在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，
故选B．
17．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠B+C=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．
18．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 试题分析：∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABM=∠CBM ，∵AB ∥CD ，∴∠ABM=∠BMC ，∴∠BMC=∠CBM ，∴BC=MC=2，∵▱ABCD 的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C ．
考点：平行四边形的性质．
19．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D 5【答案】B
【解析】
【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．
【详解】
解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，
∴AE ⊥BC ，
又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52
DE AB ==，
故选：B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．
20．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则
111x y z ++的值为（ ） A ．1
B ．23
C ．12
D ．13
【答案】C
【解析】
分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．
详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x
+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12
． 故选C ．
点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．。