高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及
答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<<
B ．34a b ==a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以22
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2
()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨
-=-≠⎩，解得1
(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范
围，属于难题.
2．已知
21,1, ()
ln,1,
x x
f x
x x
⎧-≤
⎪
=⎨
>
⎪⎩
，则关于x的方程2
[()]()210
f x f x k
-+-=，下列正确的是（）
A．存在实数k，使得方程恰有1个不同的实数解；
B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实数解；
C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实数解；
D．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实数解；
【答案】ACD
【分析】
令()0
f x t
=≥，根据判别式确定方程2210
t t k
-+-=根的个数，作出()
f x的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解.
【详解】
令()0
f x t
=≥，则关于x的方程2
[()]()210
f x f x k
-+-=，
可得2210
t t k
-+-=，
当
5
8
k=时，()
14210
k
∆=--=，此时方程仅有一个根
1
2
t=；
当
5
8
k<时，()
14210
k
∆=-->，此时方程有两个根
12
,t t，
且121
t t+=，此时至少有一个正根；
当
5
8
k>时，()
14210
k
∆=--<，此时方程无根；
作出()
f x的大致图象，如下：
当5
8k =时，此时12
t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当5
8
k <
时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；
当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，
当5
8k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.
3．已知函数()2221,0
21,0
x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
【答案】CD 【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
对于A 选项，当0x >时，0x -<，则
()
22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-
所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =
所以函数221y x x =
++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)
-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增
即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <
则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22
()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=
当0x <时，0x ->，则2
2
()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；
对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x x
m x m -=⇔=
令函数()()g x f x x
=
，函数y m =
由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x
=
的图象有两个不同的交点
因为()0
f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()
0f x <时，(,1x ∈-∞
-
所以12,012,12)01
,1(x x x x x x x x x g x ⎧
++>⎪⎪
⎪
-++<⎨⎪⎪--<-⎩
=⎪
当0x >时，设1
201x x ，()()()()121212121212
111x x x x g x g x x x x x x x ---=+
--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()12121212
10
x x x x g x g x x x ---=
<，即()()12g x g x <
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增
同理可证，函数
()g x 在区间)1
⎡⎣上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增
1
1241)1
(g ++==
函数()g x 图象如下图所示
由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x
=的图象有两个不同的交点
则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；
故选：CD 【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
4．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立
因为2
2
311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2
2
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，
()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取
值为( ) A ．1 B ．0
C ．1-
D ．2-
【答案】CD 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】
因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，
0x ≥时，()x f x e x b =+-，
显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，
由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -
当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4
sin 3
x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
6．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x
f x e x =+，下列命题正确的是
（ ）
A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x
f x e x =+
B ．若()()33f x f x --=-，则()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]
23,3x ∈-，()()122f x f x -<
D ．若()()3f x f x +=，方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，则
k 的范围为23
12
k e e -
<<- 【答案】BC 【分析】
A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；
B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数
()f x 与直线3
2
y e =-
有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]
3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e
-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】
A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x
f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函
数，所以()()()1x
f x f x e
x -=-=-+，A 错误；
B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x
f x e
x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当
()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()3
2
3f e -=-
，
()
2
1
20f
e -=-
<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线3
2
y e =-有3个交点，即函数()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；
C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2
[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当
[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；
D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]
3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，
因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]
3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()21
20f e -=-<，所以23
12k e e
-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】
本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.
7．函数1()
()0()x f x x ⎧=⎨⎩
为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的值域是{0,1}
C ．方程(())f f x x =的解为1x =
D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =
【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】
当x -为有理数时，x 也为有理数
∴()1f x -=
当x -为无理数时，x 也为无理数
∴()0f x -= ∴1()
()0()x f x x ⎧-=⎨
⎩
为有理数为无理数
∴()()f x f x -=
()f x ∴是偶函数，A 对；
易知B 对；
1x =时，()((1))11f f f ==
∴C 对
(())()f f x f x =的解为全体有理数
∴D 错
故选：ABC. 【点睛】
本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.
8．已知函数1(),f x x x =+
221
()g x x x
=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2
【答案】BC 【分析】
利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】
2211()()f x g x x x x x
+=+
++ ()
22
221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+
+-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+-
()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；
221(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
()()22221
111()()f x x x x x
g x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭-⎝∴-⋅-=⎭
()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；
2211()()224f x g x x x x x +=+
++≥+=，当且仅当1
x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
令1
t x x
=+
()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->
，得3t >
或3
t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增
∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错
故选：BC. 【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.
9．已知函数12
()123
x x x f x x x x ++=
+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（ ） A ．()f x 在定义域内有三个零点 B ．函数()f x 的值域为R C ．()f x 在定义域内为周期函数 D ．()f x 图象是中心对称图象
【答案】ABD 【分析】
将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++
⎪+++⎝⎭
，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】
解：由题意知，111
1()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-
+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭
，
定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，
()
()
()
2
2
2
1
1
()0121
3f x x x x '=
+
+
>+++，
所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确； 当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-
=-++<=+> ⎪⎝⎭
，则()1,-+∞上有一个零点， 当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫
-<-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以在()2,1x ∈--上有一个零点， 当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫
⎛⎫
-
<-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以在()3,2x ∈--上有一个零点， 当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确； 当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；
()1
111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确； 故选:ABD. 【点睛】 结论点睛:
1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；
2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；
3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；
4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；
5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.
10．设s,t 0>，若满足关于x s =恰有三个不同的实数解
123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）
A ．1230x x x ++>
B ．64
25s t ⋅=
C ．
45
t s = D ．144
25
s t +=
【答案】CD 【分析】
设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程
()=f x s
必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】
设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，
所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，
①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；
②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()
f x s ==，
5
4454
x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=
，
又
()f x 在(),t +∞上递增，35 4
x t ∴=，即3564516=,4
2545
x s t t s t ===
==， 6454144
, 2516525
t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.
11．一般地，若函数()f x 的定义域为[]
,a b ，值域为[]
,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结
论正确的是（ ）
A ．若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间，则2b =
B ．函数()1
1f x x
=+
存在跟随区间
C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
D ．二次函数()2
12
f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】
根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】
对A, 若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间,因为()2
22f x x x =-+在区间[]
1,b 为增
函数,故其值域为2
1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦
,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+
在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1
1f x x
=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,
解得：12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 故存在, B 正确.
对C, 若函数(
)f x m =[]
,a b ,因为(
)f x m =,故由
跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨
=⎪⎩a b < 即(
)()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,
1=.
易得01≤
<.
所以(1a m m =-=--,
令t =
20t t m --=,
同理
t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.
故1400
m m +>⎧⎨
-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦,故C 正确. 对D,若()2
12
f x x x =-
+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()21
2
f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程
21
32
x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）
A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-
B ．函数在定义域R 上为增函数
C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞
D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立 【答案】BC 【分析】
对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】
对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2
()2f x x x -=--，
又()f x 是奇函数，所以2
()()2f x f x x x =--=+，
即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2
()2f x x x =+，故A 错；
对于B ，2
()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由
奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；
对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2
()23f x x x =+=，解得11x =，
23x =-（舍去），即(1)3f =，
所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<， 又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <， 所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2
()2f x x x =-+
2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，
当(0,)x ∈+∞时，2
()2f x x x =+
222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；
故选：BC 【点睛】
方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
13．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0
g g >⎧⎨
->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2
3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.
14．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]
0,1x ∈时，
()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点
【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，
()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个
单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，
()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
15．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2a
b +=
C ．223a b +>
D ．01ab <<
【答案】ABD 【分析】
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函
数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】
由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-， 函数2x y =与2log y x =互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，
则(
),2
a
A a ，()2
,log B b b .
由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，
则2a b +=，22log 2a
b +=.因为0a >，0b >，且a
b ，
所以2
012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭
，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫
=< ⎪
⎝⎭
，(1)10f =>， 所以
1
12
a <<. 因为22222
1(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<
⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
16．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．
112a b
+> C ．11a b a b
+
<+ D ．b a a a b b +<+
【答案】ABD 【分析】
根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．
【详解】
解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，5
8log b =，
因为33
4443
553
3535log 3log 54
<⇒<⇒<=， 又由3
3
444
3
883
5858log 5log 84
>⇒>⇒>=
，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，5
80log 1b <=<，则
11a >，11b >，所以11
2a b +>，选项B 正确；
因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，
1
1ab
>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+
-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以11
a b a b
+>+，故选项C 不正确； 由
1324a <<和3
14
b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
17．设函数ln(2),2
()1,2
x x f x x x ->⎧=⎨
+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）
A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根
C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根
D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.
【详解】
作出函数()f x 的图象：
令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；
当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，
，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；
②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，
由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117
x x -+⇒=
由22341515
12t x x x x -+=-=--⇒=
=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，
设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，
， 2
2
()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+2329
4
m m --≥
， 221329329144m m m m t m -----=---2325
4
m m --+=
， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以21325
4
m m t --+>
， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，
所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，
当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；
当20()t f x ==，得121
3x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，
352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.
18．设函数2,0()1
2,0
2x e x
f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩
，对关于x 的方程2
()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．
A ．当223b =-+时，方程有1个实根
B ．当3
2
b =
时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则
17
210
b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232
b -+<< 【答案】BD 【分析】
先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】
函数()2
2,0,0()132,01,0
22x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪
==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩
，作图如下：
由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，令()f x t =，则3,2
t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
，则方程转化为2
20b bt t +-=-，即2
22()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭
选项A 中，223b =-+时方程为(2
2234230t t -+-=+，即(2
310t +=，
故31t =，即131,12()f x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A
错误； 选项B 中，32b =
，方程即2
31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12
t =，当
()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1
()2
f x t ==
时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；
选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（
1）122
b
t t ==
，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或
10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2
204
b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-±，均不满足上面范围，舍去；（2）12t t ≠时，即(]123
,,02
t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2
220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭
，解得1710b =
，由123210t t b =-=，得(]21
,05
t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，
120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；
选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤
∈∈
⎥⎥⎝⎦⎝⎦
且12t t ≠，2
2
2
()2422b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
+-=+-图象如下：
需满足：()2
193
024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪
=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于对方程2
()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次
方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.
19．已知函数()
3
log,09
2sin,917 44
x x
f x
x x
ππ
⎧<<
⎪
=⎨⎛⎫
+≤≤
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
，若()()()()
f a f b f c f d
===，且a b c d
<<<，则（）
A．1
ab=
B．26
c dπ
+=
C．abcd的取值范围是()
153,165
D．+++
a b c d的取值范围是
316
28,
9
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【答案】ACD
【分析】
作出函数()
f x的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
由
3
log2
x≤可得
3
2log2
x
-≤≤，解得
1
9
9
x
≤≤.
作出函数()
f x的图象如下图所示：
由图象可得
1
19111517
9
a b c d
<<<<<<<<<，
由
33
log log
a b
=，可得
33
log log
a b
-=，即()
333
log log log0
a b ab
+==，得1
ab=，A选项正确；
令()
442
x
k k Z
πππ
π
+=+∈，解得()
41
x k k Z
=+∈，
当()
9,17
x∈时，令94117
k
<+<，解得24
k
<<，由于k Z
∈，3
k
∴=，
所以，函数[]
()
2sin9,17
44
x
y x
ππ
⎛⎫
=+∈
⎪
⎝⎭
的图象关于直线13
x=对称，
则点()(
),c f c 、()()
,d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；
()()()2
2613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a
+++=+
+，下面证明函数1
y x x =+在()0,1上为减函数，
任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则
()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()121221121212
1x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，
所以，函数1
y x x
=+
在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛
⎫+++=++∈ ⎪⎝
⎭，D 选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
20．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有
1212()()
(
),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21
()1
x f x x +=
- 【答案】ACD 【分析】
根据函数的解析式，求得1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】
对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则12
12(
)()12
x x f x x +=-++，
121212()()1
(2121)()122
f x f x x x x x +=-+-+=-++，
可得1212()()(
)22x x f x f x f ++=，满足1212()()
()22
++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235
,22x x =
=，则1222
x x +=， 可得3
51()()22
2f f ==-，所以
12()()1
22f x f x +=-，12()(2)02
x x f f +==， 此时1212()()
(
)22
x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3
()5f x x =+，
由幂函数3
y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3
()5f x x =+的图象， 如图所示，
取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()
2
D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
对于D 中，函数213()211
x f x x x +==+-- 由函数3
y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1
x f x x +=-的图象，
如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12
(
)2
C x x f y +=，12()()
2
D f x f x y +=，
因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.。