圆锥曲线练习试题含答案解析

圆锥曲线专题练习
一、选择题
1.已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ）
A ．
116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125
162
2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线
4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
5．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ）
A ．
25 B ．5 C ．2
15 D ．10 6．若抛物线2
8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ）
A ．(7,
B ．(14,
C ．(7,±
D ．(7,-± 7．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0
8．以椭圆
116
252
2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．
1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127
92
2=-y x D ．以上都不对 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2
1π
=
Q PF ，则双曲线的离心率
e 等于（ ）
A ．12-
B ．2
C ．12+
D ．22+
10．21,F F 是椭圆17
922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠0
2145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．
47 C ．27 D ．2
57 11．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622
2
=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）
A ．2
3x y =或2
3x y -= B ．2
3x y = C ．x y 92
-=或2
3x y = D ．2
3x y -=或x y 92
=
12．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）
A ．
2
p
B ．p
C ．p 2
D ．无法确定 13．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）
A ．1(,44±
B ．1(,)84±
C ．1(,44
D ．1(,)84
14．椭圆124
492
2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为
A ．20
B ．22
C ．28
D ．24
15．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得
最小值的M 的坐标为（ ）
A ．()0,0
B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21 C ．()
2,1 D ．()2,2
16．与椭圆14
22
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13
322=-y x D ．1222
=-y x 17．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，
那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-
） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,3
15
--）
18．抛物线2
2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线
m x y +=对称，且2
121-=⋅x x ，则m 等于
（ ） A ．
23 B ．2 C ．2
5
D ．3 二. 填空题
19．若椭圆2
2
1x my +=，则它的长半轴长为_______________. 20．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

21．若曲线
22
141x y k k +=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

22．抛物线x y 62
=的准线方程为 .
23．椭圆552
2=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

25．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

26．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。

27．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

28．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23
±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 29．设AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，
则AB OM k k ⋅=____________。

30．椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。

31．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为__ _。

32．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则
AB =______。

33．若直线1y kx =-与双曲线224x y -=始终有公共点，则k 取值范围是 。

34．已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线28y x =上的点到直线AB 的最段距离为__________。

三.解答题
35．已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称。

36．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。

37、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12
-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3
2
4时，求直线l 的方程.
38．已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=
2
10，求椭圆的方程
参考答案
1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．C 2222218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=
得5,4a b ==，2212516x y ∴+
=或125
162
2=+y x 3．D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上
4．
C 22222
22,2,2,a c c c a e e c a =====5．B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p
6．C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-
的距离，得7,P p x y ==±7．D 焦点在y 轴上，则222
1,20122y x k k k
+=>⇒<< 8．C 当顶点为(4,0)±
时，22
4,8,11648x y a c b ===-=； 当顶点为(0,3)±
时，22
3,6,1927
y x a c b ===-= 9．C Δ12PF F
是等腰直角三角形，21212,PF F F c PF ===
12222,1c PF PF a c a e a -=-==
== 10．
C 1212216,6F F AF AF AF AF =+==-
2
2
2
2
2112112112cos4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+
2211117
(6)48,,2
AF AF AF AF -=-+=
1772222
S =⨯⨯=
11．D 圆心为(1,3)-，设2
2
1
12,,6
3x py p x y ==-=-
； 设229
2,,92
y px p y x ===
12．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,2
p
x y p =
=±min 2AB p = 13．B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =，过点P 所作的高也是中线
18x P ∴=
，代入到x y =2
得y P =
1(,8P ∴ 14．D 2222
12121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==，相减得
12121
296,242
PF PF S PF PF ⋅==
⋅= 15．D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取得最小值，即
2y M =，代入x y 22=得2x M =
16．
A 2
41c c =-=，且焦点在x 轴上，可设双曲线方程为22
22
13x y a a -=-过点(2,1)Q 得222
22
4112,132
x a y a a -=⇒=-=- 17．D 222
2226,(2)6,(1)41002x y x kx k x kx y kx ⎧-=-+=---=⎨=+⎩有两个不同的正根
则2
2122
1224024040,11001k k x x k x x k ⎧∆=->⎪⎪
⎪
+=>⎨-⎪
-⎪=>⎪-⎩
得1k <<- 18．A 2221212121211
1,2(),2
AB y y k y y x x x x x x -=
=--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)
在直线y x m =+上，即
2121
2121,222
y y x x m y y x x m ++=++=++ 2
2
2
21212121213
2()2,2[()2]2,23,2
x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==
19．1,2或 当1m >时，22
1,111
x y a m
+==； 当01m <<时，22222
223111,1,,4,21144y x a b e m m a a a m m
-+==
=-=====
20．22
1205
x y -
=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，
2
2
1,25,204
4
x y λ
λλλ
λ
-
=+
==；
当0λ<时，
2
21,()25,2044
y x λλλλλ-=-+-==--- 21．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或
22．32x =- 3
26,3,22
p p p x ===-=-
23．1 焦点在y 轴上，则2225
1,14,151y x c k k k +==-==
24．54,4-或 当89k +>时，22
2891,484
c k e k a k +-==
==+； 当89k +<时，22
29815
,944
c k e k a --==
==- 25．1- 焦点在y 轴上，则22811,()9,181y x k k k k k
-=-+-==--- 26．(4,2) 22
1212124,840,8,442
y x x x x x y y x x y x ⎧=-+=+=+=+-=⎨=-⎩
中点坐标为1212
(
,)(4,2)22
x x y y ++= 27．(],2-∞ 设2(,)4t Q t ，由PQ a ≥得222222
(),(168)0,4
t a t a t t a -+≥+-≥
2
2
1680,816t a t a +-≥≥-恒成立，则8160,2a a -≤≤
28．
(
渐近线方程为y x =
，得3,m c ==，且焦点在x 轴上 29． 22b a - 设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212(,)22x x y y M ++，得2121
,AB y y
k x x -=-
2121OM
y y k x x +=+，22
2122
21
AB OM y y k k x x -⋅=-，22222211,b x a y a b += 2
2
2
2
22
22,b x a y a b +=得2
2
2
2
2
221
21
()()0,b x x a y y -+-=即222
212
2
221y y b x x a
-=-- 30
．( 可以证明12,,PF a ex PF a ex =+=-且2221212PF PF F F +<
而3,2,a b c e ====
22222222()()(2),2220,1a ex a ex c a e x e x ++-<+<< 22111,,x x e e e <
-<<
即e <<31
．
2
渐近线为y =，其中一条与与直线210x y ++=
11,24t ==
221,2,42
x y a c e -====
32
．222122
848
,(48)40,42y x k k x k x x x k y kx ⎧=+-++=+==⎨=-⎩
得1,2k =-或，当1k =-时，2
440x x -+=有两个相等的实数根，不合题意
当2k =
时，12AB x =-===
33
．1,±222224,(1)4,(1)2501
x y x kx k x kx y kx ⎧-=--=-+-=⎨=-⎩
当210,1k k -==±时，显然符合条件；
当2
10k -≠
时，则2
20160,2
k k ∆=-==±
34
直线AB 为240x y --=，设抛物线28y x =上的点2
(,)P t t
225d =
==≥= 35．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211
,4
AB y y k x x -=
=--
而2
2
113412,x y +=2
2
223412,x y +=相减得2
2
2
2
21213()4()0,x x y y -+-=
即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-
而00(,)M x y 在椭圆内部，则2291,43m m +<
即m << 36．解：设抛物线的方程为2
2y px =，则22,21y px
y x ⎧=⎨
=+⎩
消去y 得 21212214(24)10,,24
p x p x x x x x ---+=+=
=
12AB x =-=
==，
24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或
37、（Ⅰ）解：设点(,)P x y
12=-， 整理得.
1222
=+y x
由于x ≠所以求得的曲线C
的方程为2
21(2x y x +=≠
（Ⅱ）由.04)21(:.1,
12
222
2=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去解得x 1=0, x 2=212
,(214x x k k +-分别为M ，N 的横坐标）
由
,234
|214|
1||1||22212=++=-+=k
k k x x k MN .1:±=k 解得 所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0
38． [解析]：设所求椭圆的方程为122
2
2=+b y a x ，
依题意，点P （11,y x ）、Q （22,y x ）的坐标
满足方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧+==+11
22
22x y b y a
x
解之并整理得
0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a 或
0)1(2)(2
22222=-+-+a b y b y b a 所以2
22212b a a x x +-=+，
2
22221)1(b a b a x x +-= ①
2
22212b a b y y +=+，22
2221)
1(b a a b y y +-= ② 由OP ⊥OQ 0212
1=+⇒y y x x 22222b a b a =+⇒ ③
又由|PQ |=2102212212)()(y y x x PQ -+-=⇒=2
5
212
21212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=25
212
21212
214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=25
④
由①②③④可得：0
4832
4=+-b b 32222=
=⇒b b 或
2
32
22==⇒a a 或
故所求椭圆方程为123222=+y x ，或12232
2=+y x。