微积分人大3版81市公开课金奖市赛课一等奖课件

z=y2c2，x=c。
这个曲面称为双曲抛物面。 x
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y
铃 第20页
O
y
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x
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卦限： 三个坐标面把空
间分成八个部分，每 第三卦限 z 一部分叫做卦限。
第四卦限
第二卦限
O
y
第一卦限
x
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卦限： 三个坐标面把空
间分成八个部分，每 一部分叫做卦限。
•练习
z
第七卦限
第八卦限
O
第六卦限
y
x
第五卦限
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第6页铃
程F(x, y, z)=0称为曲面S方程，而曲面S称为方程F(x, y,
z)=0图形。
z F(x，y，z )=0
M(x，y，z )
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铃 第12页
例3 一动点M(x, y, z)与二定点M1(1,1,0)、M2(2,0,2) 距离相等，求此动点M轨迹方程。
解：依题意有|MM1|=|MM2|，由两点间距离公式得
x
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z
z=x2y2
O
y
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铃 第19页
例9 作曲面 z=y2x2图形。
解：当c0时，平面z=c与截痕为双曲线 y2x2=c，z=c。
当c=0时，平面z=c与曲面截痕为直线 yx=0，z=0； yx=0，z=0。
平面y=c与曲面 截痕为抛物线
cyx>=<00
z
z=c2x2，y=c。
平面x=c与曲面 截痕为抛物线
d =| M1M2| = (x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (z2 z1 ) 2 。
例1 求证以M1(4, 3, 1)、M2(7, 1, 2)、M3(5, 2, 3)三点 为顶点三角形是一个等腰三角形。
解：由于 | M1M2|2 =(74)2(13)2(21)2=14，
| M2M3|2 =(57)2(21)2(32)2=6，
1 O1
拇指方向
y
x轴(横轴)
成了一个空间直角坐
x
标系。
四指转向
•练习
右手规则
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坐标面： 三条坐标轴中任意两
条能够拟定一个平面，这 样定出三个平面统称为坐 标面。
z
zOx面
xOy面
O
y
x
yOz 面
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卦限：
三个坐标面把空
间分成八个部分，每
z
一部分叫做卦限。
(x 1)2 ( y 1)2 z 2 = (x 2)2 y 2 (z 2)2 。 化简后可得点M轨迹方程为
xy2z3=0。
动点M轨迹是线段M1M2垂直平分面，因此上面所求 方程是该平面方程。
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铃 第13页
例4 求三个坐标平面方程。 解：注意到xOy面上任一点坐标必有z=0，而满足 z=0点也必定在xOy面上，因此xOy面方程为z=0。 同理，yOz面方程为x=0；zOx面方程为y=0。
例5 作z=c(c为常数)图形。 解：方程z=c中不含x、y， 这意味着x与y可取任意值而总有 z=c，其图形是平行于xy平面平 面。
z
c M(x, y, c)
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O
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y
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平面方程： 前面讨论了几种平面方程，它们都是一次方程，
能够证实空间内任意一个平面方程为三元一次方程 AxByCzD=0，
d =| M1M2| = (x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (z2 z1 ) 2 。 特殊地，点M (x, y, z )与原点O(0, 0, 0)距离为
|OM |= x 2 y 2 z 2 。
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第9页铃
二、空间两点间距离
设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，则两点间 距离为
点坐标：
设M为空间一点，过点M作三个平面，分别垂直于x
轴、y轴和z轴，得到三个平面在x轴、y轴、z轴上交点P、
Q、R。 设OP=a、OQ=b、OR=c， z
则点M唯一拟定了一个三元有序数组
(a, b, c)。
R
反之，对任意一个三元有
M
序数组(a, b, c)，也能够唯一地
拟定空间一个点M。
O
Qy
三元有序数组(a, b, c)称为 P
其中A、B、C、D均为常数，且A、B、C不全为0。
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铃 第15页
球面方程：
例6 求球心为点M0(x0, y0, z0)，半径为R球面方程。 解：设M(x, y, z)为球面上任意一点，则有|MM0|=R， 由距离公式有
(x x0 )2 (y y0 )2 (z z0 )2 = R 。
z = R2 x2 y2 。
O
Ry
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铃 第17页
例7 作曲面x2y2=R 2图形。
解：方程x2y2=R2 在 xOy 面上表示以原点为圆心、
以R为半径圆。
z
在空间直角坐标系中，任意作一
条通过 xOy 面上圆 x2y2=R2且平行于
z 轴直线，则直线上点都满足方程
l
x2y2=R2，即直线在 x2y2=R2所表示
§8.1 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、空间两点间距离 三、曲面与方程
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一、空间直角坐标系
空间直角坐标系： z
过空间一个定点
O，作三条互相垂直 数轴，它们都以 O 为 原点且普通含有相同
z轴(竖轴) (坐标)原点
1
y轴(纵轴)
长度单位。它们正向 通常符合右手规则。 这样三条坐标轴就构
点M坐标，记为M(a, b, c)。
•练习
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、空间两点间距离
设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，求两点间
距离d。
z
作一个以 M1和 M2 为对角线 z2
顶点长方体，使其三个相邻面分
M2
别平行于三个坐标面。
z1 M1
注意：|M1P|=|x2x1|， | PQ |=|y2y1|， |M1Q|=|z2z1|。
化简得球面方程
z
(xx0)2(yy0)2(zz0)2=R 2。
M R
M0
O
y
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铃 第16页
球面方程：
球心为点M0(x0, y0, z0)，半径为R球面方程为 (xx0)2(yy0)2(zz0)2=R 2。
特殊地，球心为原点球面方程为
x2y2z2=R 2。
上半球面方程为：
z
z = R2 x2 y2 ； 下半球面方程为：
| M1M3|2 =(54)2(23)2(31)2=6，
因此| M2M3|=| M1M3|，即DM1M2M3为等腰三角形。
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铃 第10页
二、空间两点间距离
设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，则两点间 距离为
d =| M1M2| = (x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (z2 z1 ) 2 。 例2 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7)和 B(3, 5, 2)等距 离点。 解：设所求点为M(0, 0, z)，则有|MA| 2=|MB| 2，
P
x1 O
y1
x2
x
Q y2 y
由于 |M1M2|2 =|M1Q|2+|M2Q|2 =|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2 ，
因此 d =| M1M2| = (x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (z2 z1 ) 2 。
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二、空间两点间距离
设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，则两点间 距离为
O
Ry
曲面上。
x
R x2y2=R2
因此，这个曲面能够当作是由平行于 z 轴直线 l 沿
xOy 面上圆x2y2=R2移动而形成圆柱面。
直线 l 叫做它母线，x2y2=R2叫做它准线。
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铃 第18页
例8 作曲面z=x2y2图形。 解：当c>0时，平面z=c与曲面 截痕为圆 x2y2 =c， z=c。 当c=0时，平面z=c与曲面 截痕只为原点(0, 0, 0) 。 当c<0时，平面z=c与曲面 无截痕。 平面x=a或y=b与曲面截 痕均为抛物线。 我们称曲面z=x2y2为旋转抛物面。
即 (04)2(01)2(z7)2=(30)2(50)2(2z)2。
解之得 z = 14 ，所以，所求的点为 M(0, 0, 14 )。
9
9
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铃 第11页
三、曲面与方程
假如曲面S上任意一点坐标都满足方程F(x, y, z)=0，
而不在曲面S上点坐标都不满足方程F(x, y, z)=0，那么方