【全国百强校】河北省石家庄市第二中学2016-2017学年高一下学期期末

【全国百强校】河北省石家庄市第二中学2016-2017学年高一下学期
期末考试数学（理）试题
一、选择题
1.在中，，，，则的值为（）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】C
【解析】试题分析：据题意,由正弦定理,将，，代入可得,那么为或.故本题选.
考点：余弦定理；特殊角的三角函数值
2.如果三点，，在同一直线上，则 ()
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以由题设，应选答
案C。

3.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 ()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：逐一分析四个答案中几何体的三视图，比照已知中的三视图，可得答案．
解：A中，的三视图为：，满足条件；
B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；
C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；
D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满
足条件；
故选：A
点评：本题考查的知识点是三视图的画法，能根据已知中的直观图，画出几何体的三视图是
解答的关键．
4.已知等差数列中，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设及等差数列的通项公式可得，则
，应选答案D。

5.已知变量满足，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出：原点到区域内的点的距离
的最小值即是原点到直线的的距离，也即，则
，应选答案B。

6.若直线经过点，则直线在轴和轴上的截距之和的最小值为（）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设可得，而直线在两坐标轴上的截距分别是，
故（当且仅当时取等号），也
即时取等号，所以，应选答案D。

7.如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使
得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三个说法中正确的个数是（）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：对于命题①，若直线SA⊥平面SBC，则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与为锐角矛盾，所以命题①不正确；对于命题②，因为
平面直线，故平面内的直线与相交或异面，所以命题②不正确；对于命
题③，取的中点，则CF∥AE，由线面平行的判定定理可得CF∥平面SAE，所以命题③
正确，故应选.
考点：1、线面垂直的判定定理；2、线面平行的判定；
8.若直线与两直线和分别交于两点，且的中点是，则直线的斜率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意设，则，故，直线的斜率
，应选答案A。

9.在等比数列中，公比，前87项的和，则（）
A．20 B．56 C．80 D．136
【答案】C
【解析】由题设可得，即，则
，应选答案C。

10.在△ABC中，内角所对应的边分别为，若，且，则
的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，由余弦定理可得即，故，则，所以，应选答案C。

11.三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥外接球的
表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：设外接圆圆心为,半径为,由余弦定理的推论有,所以,由有,设外接球的球心为,半径为,则,
所以,故外接球表面积为,选D.
考点：1.正弦定理,余弦定理； 2.外接球的性质.
12.已知点为直线上的一点，分别为圆与圆
上的点，则的最大值为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题设可求得关于直线的对称点为
，结合图形可知
，
则
，由于
，所以
，应选答案C 。

点睛：解答本题的难点在于如何运等价转化的数学思想先求圆心关于直线的对称点为，再借助和运用平面几何中的“在三角形中，两边之差小于第三边”的几何结论求得，再运用“两边之和大于第三边”的结论求出
，从而使得问题巧妙获解。

二、填空题1.直线
的倾斜角为 .
【答案】150°【解析】
试题分析：已知直线的斜率为，因此倾斜角为
150°．
考点：直角的斜率与倾斜角．
2.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，若
A 1C 1＝2，△ABC 的面积为2
，则A 1B 1的
长为_____.
【答案】
【解析】由斜二测画法的画法规则可知
，则
，即
，故由画法规则可得
，在
中，由余弦定理可得
，应填答案。

3.若方程有且只有一个实数解，则实数
的取值范围为___________
【答案】
【解析】
由题设可知等式两边可分别看做直线与上半圆的图形的交点问题，借助图
形可以看出：当时，直线与上半圆的图形的交点只
有一个，则实数的取值范围是，应填答案。

4.对于数列，定义为的“好值”，若已知某数列的“好值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为
__________________
【答案】
【解析】由题设可知，则，以
上两式两边相减可得，即，故
，则，由题意，即
，应填答案。

点睛：解答本题关键是充分借助题设中新定义的“好值”的概念，借助题设条件得到，再运用
数列通项之间的递推关系建立方程，即
，从而求得，进而借助题
设中的，建立不等式组，即，通过解不等式组使得问题获解。

三、解答题
1.设函数.
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式的解集不是空集，试求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) 或
【解析】
试题分析：（1）不等式化为
或或,
得或或,
故解集为. ……５分
（2）,
当时，；
当时，；
当时，.
故的最小值为4
若关于的不等式的解集不是空集，
则，得或. ……10分
考点：本小题主要考查绝对值不等式的求解与应用，考查分类讨论思想的应用.
点评：解决此类问题，要紧紧抓住含绝对值的不等式的解法.
2.已知直线（）.
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（3）若直线轴负半轴于，交轴正半轴于，△的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.
【答案】（1）无论k取何值，直线过定点(－2，1)；（2）；（3）△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0.
【解析】【试题分析】（1）将直线方程变形为含参数的项与不含参数的项，借助条件建立方程组，即可求出定点坐标；（2）借助（1）的结论，并数形结合建立关于的不等式组求解；（3）先求出两点的坐标，再建立△的面积关于斜率的函数，运用基本不等式求最小值，并借助函数取得最小值时的条件求出直线的方程：
(1)证明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令 x＋2="0" 且 1－y=0，得: x=-2 ， y=1
∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)
（2）直线方程可化为，
当时，要使直线不经过第四象限，则，解得；
当时，直线为，符合题意.
综上：的取值范围是。

（3）令y＝0得：A点坐标为,令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，＝|2k＋1|＝ (2k＋1)＝≥ (4＋4)＝4
∴S
△AOB
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，
即 x－2y＋4＝0.
点睛：解答本题时的第一问时，将直线方程变形为含参数的项k(x＋2)与不含参数的项(1－y)，借助条件建立方程组，从而求出定点坐标(－2，1)；求解第（2）问时，则充分借助（1）的结论，并数形结合建立关于的不等式组求出实数的取值范围；求解第（3）问时，先分别求出两点的坐标，再求出A点坐标为,令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，建立△的面积关于斜率的函数，运用基本不等式求最小值，并借助函数取得最小值时的条件4k＝求出直线的斜率k＝，进而求出直线的方程。

3.如图，在平行四边形中，，四边形为直角梯形，∥,
，, 平面平面.
(1)求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件及勾股定理先证线垂直，借助题设条件，
运用性质定理进行推证；（2）建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式的运算
及数量积公式求出两平面所成锐角二面角的余弦值：
（1）在△ABC中，所以，所以，所以，
又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABCD，所以平面ABEF..
(2) 如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，，D(，E(1,2,0)，
F(0,3,0)，是平面ABCD的一个法向量.
设平面DEF的法向量为，又，，
，则，得，取则。

故是平面DEF的一个法向量.设平面ABCD与平面DEF所成的锐二面角为，则.
4.在△ABC中，内角所对应的边分别为，若.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件先运用余弦定理获得三角形三边的关系，再余弦
定理求出内角的值；（2）先运用正弦定理求出三角形外接圆的半径，再借助正弦定理将三
角形的边转化为角的关系，最后运用三角变换公式将其表示的正弦函数的形式，进而借助正
弦函数的图像求出其最值（值域）：
（1）由，，得所以
，因为，所以，因为角A为三角形内角，所以.
（2），，
，
，，-
5.已知数列中，.
（1）证明：数列是等比数列；（2）求.
【答案】（1）见解析；（2），.
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件构设数列，然后运用等比数列的定义进
行分析推证；（2）借助（1）的结论直接求解出，再依据数列通项的递推关系式
求出：
（1）证明：设，则，因为
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）的，即。

由得.
点睛：本题旨在考查等比数列的定义及通项公式的求法和运用，从而借助分段函数的形式求
解数列的通项之间的递推关系的运用以及分析问题和解决问题的能力。

求解本题的第（1）
问时，先依据题设条件构设数列，然后运用等比数列的定义直接验证进
行分析推证；解答（2）问时，则充分运用题设条件并借助（1）的结论直接求解出，再依
据数列的通项的之间的递推关系式从而求出使得问题获解。

6.已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】试题分析：（1）设圆心或（舍）圆；
（2）当直线轴时，轴平分，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，，若轴平分，
点时，能使得总成立.
试题解析：（1）设圆心，则或（舍），所以圆.
（2）当直线轴时，轴平分，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，由
得：，∴，，
若轴平分，则
，
所以当点时，能使得总成立.
考点：直线与圆.。