江苏省南京市聋人中学2021年高二数学理期末试题含解析

江苏省南京市聋人中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的两个焦点是F1和F2，则（）
A. B. 2 C. 3 D. 4
参考答案：
D
【分析】
根据双曲线的方程，可直接得出焦距.
【详解】因为双曲线方程为，
所以其焦距为.
故选D
【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.
2. 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15. 5) 2 [15.5,19.5) 4
[19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18
[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
[35.5,39.5) 7 [39.5,43. 5) 3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
3. .“”是“函数在内存在零点”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件参考答案：
A
分析：先求函数在内存在零点的解集，，再用集合的关系判断充分条件、还是必要条件。

详解：函数在内存在零点，则，所以的解集那么是的子集，故充分非必要条件，选A
点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。

4. “a＜2“是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也必要条件
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据圆的定义求出“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的充要条件，判断即可．
【解答】解：由x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，
即（x﹣1）2+（y+1）2=2﹣a表示圆，
故2﹣a＞0，解得：a＜2，
故a＜2“是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的充要条件，
故选：C．
5. 已知椭圆的焦点为，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
6. 曲线在横坐标为的点处的切线为，则点（3,2）到的距离是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
7. 在（1+x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n=（）
A．8 B．9 C．10 D．11
参考答案：
C
【考点】二项式定理的应用．
【分析】本题的项的系数和二项式系数相等，根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值．
【解答】解：∵只有x5的系数最大，
又∵展开式中中间项的二项式系数最大
x5是展开式的第6项，
∴第6项为中间项，
∴展开式共有11项，
故n=10
故选项为C
8. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A. B. C. D. ]
参考答案：
B 略
9. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面，则tan∠DMD1的最大值为（）．
A. B.1 C. 2 D.
参考答案：
D
10. 已知函数在处的导数为1，则=
A．3 B． C．
D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

当水面升高1米后，水面宽度是________米。

参考答案：
略
12. 在复平面内，复数6+5i , -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________________. 参考答案： 2+4i 略
13. 设
（1）若，使成立，则实数m 的取值范围是
； （2）若
，
使得
，则实数a 的取值范围
为。

参考答案：
[3，＋∞]，（1，
）
14. 给出下面的数表序列：
其中表（=1,2,3 ）有行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表中所有的数之和为
，例如
，
，
.则
=
. 参考答案：
略
15. 对于函数f （x ）=xlnx 有如下结论： ①该函数为偶函数； ②若f′（x 0）=2，则x 0=e ； ③其单调递增区间是[，+∞）；
④值域是[，+∞）；
⑤该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点．（本题中e 是自然对数的底数） 其中正确的是 （请把正确结论的序号填在横线上）
参考答案：
②③⑤
【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可．
【解答】解：f （x ）=xlnx 的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误； f′（x ）=lnx+1，令f′（x 0）=2，即lnx 0+1=2，解得：x 0=e ，故②正确； 令f'（x ）＞0，即lnx+1＞0，
解得：x ＞，
∴f（x ）的单调递增区间是[，+∞），故③正确； 由f （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增， 得：f （x ）的最小值是f （）=﹣，
故f （x ）的值域是[﹣，+∞），故④错误；
故该函数的图象与直线y=﹣有且只有一个公共点，⑤正确； 故答案为：②③⑤．
16. 一射手对同一目标独立进行４次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中
率为 。

参考答案：
略
17. 某学院的三个专业共有名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有
420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）（2015春?沧州期末）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A，B两种不同的数学方式对甲、乙两个班进行教学实验，为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下：（记成绩不低于90分者为“成绩优秀”）．
（1Ⅰ）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中不放回地抽取2次，每次抽取1个，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率；
（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为
参考答案：
考点：独立性检验的应用；茎叶图．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（I）A={第1次抽取的成绩低于90分}，B={第2次抽取的成绩仍低于90分}则P（A）=，
P
（AB）==，即可得到概率．
（II）根据所给的数据，列出列联表，根据列联表中的数据，做出观测值，把观测值同临界值表进行比较，得到有90%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
解答：解：（I）设A={第1次抽取的成绩低于90分}，B={第2次抽取的成绩仍低于90分}
则P（A）=，P（AB）==，∴P（B|A）==；
∴K2=≈3.1847》2.706，
∴能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与数学方式有关．
点评：本题考查条件的概率，考查列出列联表，考查根据列联表做出观测值，考查临界值表的应用，本题是一个综合题目．
19. （14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且
PD=BC=3AD=3．
（Ⅰ）画出四棱准P﹣ABCD的正视图；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；简单空间图形的三视图；直线与平面平行的性质．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）画出正视图即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理证明即可；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：四棱准P﹣ABCD的正视图如图所示．
；
（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PD⊥AD．
因为AD⊥DC，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AD⊥平面PCD，
因为 AD?平面PAD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅲ）分别延长CD，BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得，
下证AE∥平面PCD，
因为AD∥BC，BC=3AD，
所以，即，
所以．
所以AE∥OP，
因为OP?平面PCD，AE?平面PCD，
所以AE∥平面PCD．
【点评】本题考查了三视图问题，考查面面垂直、线面垂直的判断定理，是一道中档题．
20. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AD=1,AB=2,
且PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PC的中
点．
（I）求证：EF⊥平面PCD；
（II）求二面角C-PD-E的余弦值。

参考答案：
解：（I）建立如图所示的坐标系，
因为E、F分别为AB，PC的中点,
则,，，C(2,1,0), ．,那么
．
所以．
又,所以，所以平面．…………………………6分
（Ⅱ）由（I）可知,，设平面的一法向量为
则因此取，则……………9分
又由（Ⅰ）可知：为平面的一法向量．…………………………10分
所以
所以所求二面角的余弦值为……………………………12分
略
21. （本题满分10分）在中，角所对的边为，且满足
（1）求角的值；
（2）若且，求的取值范围．
参考答案：
22. 已知点的坐标分别为（-1,0），（5,0），直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试讨论点的轨迹是什么。

参考答案：
解：（1）当时，M的轨迹是圆；
（2）当时，M的轨迹是椭圆；（3）当时，M的轨迹是双曲线
略。