人教A版 必修第二册 第8章 立体几何
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所以长方体的对角线的最大值为 66.
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空间想象能力的训练 例 2：下面是一多面体的展开图，如图 2 每个面内都给了字 母，请根据要求回答问题：
图2 (1) 如 果 A 在 多 面 体 的 底 面 ， 那 么 哪 一 面 会 在 上 面 __________； (2)如果面 F 在前面，从左边看是面 B，那么哪一个面会在 上面__________； (3)如果从左面看是面 C，面 D 在后面，那么哪一个面会在 上面__________． 答案：(1)F (2)E (3)A
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个 面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱 互相平行，符合棱柱定义．
(2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BMB1－CNC1，下方部 分是四棱柱 ABMA1－DCND1.
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1－2.将 8 个棱长为 1 的正方体按不同的方式摆放成实心长 方体，求所得长方体的对角线的最大值．
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2．正棱锥的性质： (1)正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形； (2)等腰三角形底边上的高(即棱锥的斜高)都相等． 3．正棱台的性质： (1)各侧棱相等； (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形； (3)正棱台的斜高相等．
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重难点 棱柱的两个本质特征 1．有两个面(底面)相互平行． 2．其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平 行． 因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形． 但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的 几何体”不一定是棱柱．
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解：∵正四棱锥的底面边长为 a，
∴AO＝
2 2 a.
∴在 Rt△PAO 中，
PA＝ PO2＋AO2＝
∵OE＝12a， ∴在 Rt△POE 中，
h2＋
22a2＝
2 2
a2＋2h2.
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斜高 PE＝ PO2＋OE2＝ h2＋a22＝12 a2＋4h2.
即此正四棱锥的侧棱长为
A．D、E、F C．E、F、D
图4 B．F、D、E D．E、D、F
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有关计算问题 例 3：如图 5，正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 a，高为 h， 求它的侧棱 PA 的长和斜高(侧面的高)PE.
图5 思维突破：把侧棱、斜高分别放到 Rt△PAO、Rt△POE 中， 解三角形即可．
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第八章 空间几何体
8．1 空间几何体的结构
8．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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1．棱柱至少有__5_个面，五棱台有__7_个面． 2．一个棱锥至少有_4__个面，它既叫__四_面体，又叫__三_棱锥. 3．四棱柱的侧棱及顶点的数目分别为( C ) A．四条侧棱、四个顶点 B. 八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D. 六条侧棱、八个顶点
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棱柱、棱锥、棱台的结构特征 例 1：长方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB＝3，AD＝4，AA1 ＝5，求对角线的长． 解：AC1＝ 32＋42＋52＝ 50＝5 2.
长方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB＝a，AD ＝b，AA1＝c，对角线 AC1＝ a2＋b2＋c2.
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2－1.如图 3，纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记 为上、下、东、南、西、北．现有沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面 的方位是( B )
A．南
B．北
图3 C．西
D．下
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2－2.如图 4，一个封闭的正方体，它的六个表面各标有 A、 B、C、D、E、F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的 位置，则字母 A、B、C 对面的字母分别为( D )
13 cm.
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例 4：如图 6，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，AD＝ 2，CC1＝4，一条绳子从 A 沿着表面拉到 C1，求绳子的最短长 度．
解：将 8 个棱长为 1 的正方体排成一排组成长方体，其棱 长分别为 1,1,8，所得长方体的对角线长为 12＋12＋82＝ 66；
将 8 个棱长为 1 的正方体排成两排组成长方体，其棱长分 别为 1,2,4，所得长方体的对角线长为 12＋22＋42＝ 21；
将 8 个棱长为 1 的正方体排成正方体，其棱长分别为 2,2,2， 所得长方体的对角线长为 22＋22＋22＝2 3.
2 2
a2＋2h2，
斜高为12 a2＋4h2.
空间问题平面化，平面问题三角化．
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3－1.正四棱台 AC1 的高是 17 cm，两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
解：如图 1，设棱台的两底面的中心分别是 O 和 O1，B1C1 和 BC 的中点分别是 E1 和 E，连接 OO1、O1E1、OE、EE1，则 OBB1O1 和 OEE1O1 都是直角梯形．
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1－1.如图 1，长方体 ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的 几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果 不是，说明理由．
图1
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4．过正三棱柱底面一边的截面是( B ) A．三角形 B．三角形或梯形 C．不是梯形的四边形 D．梯形
重点 棱柱、正棱锥和正棱台的性质 1．棱柱的性质： (1)侧棱都相等，侧面都是平行四边形； (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
图1
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∵A1B1＝4 cm，AB＝16 cm， ∴O1E1＝2 cm，OE＝8 cm，
O1B1＝2 2 cm，OB＝8 2 cm. ∴BB1＝ OO21＋OB－O1B12＝19(cm)， EE1＝ OO21＋OE－O1E12＝5 13(cm)， ∴这个棱台的侧棱长为 19 cm，斜高为 5
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空间想象能力的训练 例 2：下面是一多面体的展开图，如图 2 每个面内都给了字 母，请根据要求回答问题：
图2 (1) 如 果 A 在 多 面 体 的 底 面 ， 那 么 哪 一 面 会 在 上 面 __________； (2)如果面 F 在前面，从左边看是面 B，那么哪一个面会在 上面__________； (3)如果从左面看是面 C，面 D 在后面，那么哪一个面会在 上面__________． 答案：(1)F (2)E (3)A
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个 面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱 互相平行，符合棱柱定义．
(2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BMB1－CNC1，下方部 分是四棱柱 ABMA1－DCND1.
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1－2.将 8 个棱长为 1 的正方体按不同的方式摆放成实心长 方体，求所得长方体的对角线的最大值．
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2．正棱锥的性质： (1)正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形； (2)等腰三角形底边上的高(即棱锥的斜高)都相等． 3．正棱台的性质： (1)各侧棱相等； (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形； (3)正棱台的斜高相等．
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重难点 棱柱的两个本质特征 1．有两个面(底面)相互平行． 2．其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平 行． 因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形． 但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的 几何体”不一定是棱柱．
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解：∵正四棱锥的底面边长为 a，
∴AO＝
2 2 a.
∴在 Rt△PAO 中，
PA＝ PO2＋AO2＝
∵OE＝12a， ∴在 Rt△POE 中，
h2＋
22a2＝
2 2
a2＋2h2.
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斜高 PE＝ PO2＋OE2＝ h2＋a22＝12 a2＋4h2.
即此正四棱锥的侧棱长为
A．D、E、F C．E、F、D
图4 B．F、D、E D．E、D、F
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有关计算问题 例 3：如图 5，正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 a，高为 h， 求它的侧棱 PA 的长和斜高(侧面的高)PE.
图5 思维突破：把侧棱、斜高分别放到 Rt△PAO、Rt△POE 中， 解三角形即可．
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第八章 空间几何体
8．1 空间几何体的结构
8．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
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1．棱柱至少有__5_个面，五棱台有__7_个面． 2．一个棱锥至少有_4__个面，它既叫__四_面体，又叫__三_棱锥. 3．四棱柱的侧棱及顶点的数目分别为( C ) A．四条侧棱、四个顶点 B. 八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D. 六条侧棱、八个顶点
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棱柱、棱锥、棱台的结构特征 例 1：长方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB＝3，AD＝4，AA1 ＝5，求对角线的长． 解：AC1＝ 32＋42＋52＝ 50＝5 2.
长方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB＝a，AD ＝b，AA1＝c，对角线 AC1＝ a2＋b2＋c2.
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2－1.如图 3，纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记 为上、下、东、南、西、北．现有沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面 的方位是( B )
A．南
B．北
图3 C．西
D．下
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2－2.如图 4，一个封闭的正方体，它的六个表面各标有 A、 B、C、D、E、F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的 位置，则字母 A、B、C 对面的字母分别为( D )
13 cm.
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例 4：如图 6，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，AD＝ 2，CC1＝4，一条绳子从 A 沿着表面拉到 C1，求绳子的最短长 度．
解：将 8 个棱长为 1 的正方体排成一排组成长方体，其棱 长分别为 1,1,8，所得长方体的对角线长为 12＋12＋82＝ 66；
将 8 个棱长为 1 的正方体排成两排组成长方体，其棱长分 别为 1,2,4，所得长方体的对角线长为 12＋22＋42＝ 21；
将 8 个棱长为 1 的正方体排成正方体，其棱长分别为 2,2,2， 所得长方体的对角线长为 22＋22＋22＝2 3.
2 2
a2＋2h2，
斜高为12 a2＋4h2.
空间问题平面化，平面问题三角化．
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3－1.正四棱台 AC1 的高是 17 cm，两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
解：如图 1，设棱台的两底面的中心分别是 O 和 O1，B1C1 和 BC 的中点分别是 E1 和 E，连接 OO1、O1E1、OE、EE1，则 OBB1O1 和 OEE1O1 都是直角梯形．
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1－1.如图 1，长方体 ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的 几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果 不是，说明理由．
图1
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4．过正三棱柱底面一边的截面是( B ) A．三角形 B．三角形或梯形 C．不是梯形的四边形 D．梯形
重点 棱柱、正棱锥和正棱台的性质 1．棱柱的性质： (1)侧棱都相等，侧面都是平行四边形； (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
图1
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∵A1B1＝4 cm，AB＝16 cm， ∴O1E1＝2 cm，OE＝8 cm，
O1B1＝2 2 cm，OB＝8 2 cm. ∴BB1＝ OO21＋OB－O1B12＝19(cm)， EE1＝ OO21＋OE－O1E12＝5 13(cm)， ∴这个棱台的侧棱长为 19 cm，斜高为 5