最新广东省2017届高三上学期第四次质量检查数学(文)试题

数学 (文)试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
参考公式：
样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式
V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式
V =Sh
2
4S R =π，343
V R =
π
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）
1.设⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是
A. 1<a
B.1≤a
C.2
1
<
a D. 2
1≤
a 2.i 为虚数单位，则复数341i
i
-+的虚部为 A. 72
-
B.
72 C. 72
i -
D. 72
i
3.下列命题中，真命题是 A. 2,2x x R x ∀∈> B. ,0x x R e ∃∈<
C.若,a b c d a c b d >>->-，则
D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件
4. 已知数列}{n a 中满足151=a ，
21=-+n a a n
n ，则n
a n 的最小值为 A. 10 B.1152-
C.9
D.
4
27
5.若抛物线2ax y =的焦点坐标是（0,1），则=a
A.1
B.
21 C.2 D.4
1
6. 已知函数x x x f ωωcos sin 3)(+=（ω>0）的最小正周期为4π，则该函数的图像
A ．关于直线x = π
3
对称 B ．关于直线x =
5π
3
对称 C ．关于点（
π3,0）对称 D ．关于点（5π3
,0）对称
7.已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于A ，B ，
C 三点．若球O
的表面积为36π，则O ，P 两点间的距离为
A. B. C.3
D.6
8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积1
2
=
（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23
π
，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 A. 6平方米
B.9平方米
C.12平方米
D.15平方
米
9.右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，
其中判断框内应填入的条件是 A ．5≥k B ．5<k
C ．5>k
D ．6≤k
10.已知约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-≤+-10012x y ax y x 表示的平面区域为D ，若区域D 内至少
有一个点在函数x e y =的图像上，那么实数a 的取值范围为
A.[)4,e
B.[)+∞,e
C.[)3,1
D.[)∞+，2
11.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线330x +=垂直，以C
的右焦点F 为圆心的圆()2
2
2x c y -+=与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为
A.4
B.2 D.
12.已知函数x x x g kx x f ln )(,)(=
=，若关于x 的方程)()(x g x f =在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡e e ,1内有两个实数解，则实数k 的取值范围是
A.⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡e e 21,12
B.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e 1,21
C.⎪⎭
⎫ ⎝⎛
210e ，
D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量)1,2(),3,4(-==b a
，如果向量b a λ+与b 垂直，则b
a λ-2的值为
14.一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥侧面中面积最大的是
15.圆014222=+-++y x y x 关于直线
),(022R b a by ax ∈=+-对称，则ab 的取值范围是
16.已知函数()()2
ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得)(x f ＞－)(x f x '⋅，
则实数b 的取值范围是
三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.） 17. （本小题满分12分）
函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示. （I ）求()f x 的解析式，并求函数(),124f x ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
在上的值域； （II ）在()=32,1ABC AB AC f A ∆==中，，，求sin 2B .
18．(本小题满分12分)
在各项均为正数的等比数列{a n }中，108,124321=+=+a a a a ， （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式 ；
（Ⅱ）记n n na b =，求数列{b n }的前n 项和S n ．
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥，底面ABCD 是等腰梯形，.,//BD AC BC AD ⊥ （Ⅰ）证明：PC BD ⊥；
（Ⅱ）若2,4==BC AD ，直线PD 与平面PAC 所成的角为 30，求四棱锥ABCD P -的体积．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于
1
2
，它的两个顶点恰好是双曲线
13
152
2=-x y 的焦点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）点)3,2(),3,2(-Q P ，在椭圆上，B A ,是椭圆上位于直线PQ 两恻的动点， ①若直线AB 的斜率为
1
2
，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当B A ,运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln a
f x b x x
=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为y x =. （I ）求函数()f x 的单调区间及极值； （II ）对()1,x f x kx ∀≥≤，求k 的取值范围.
请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分）
22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （I ）求1C 和2C 的参数方程； （II ）已知射线1:(0)2
l π
θαα=<<
, 将1l 逆时针旋转
6π得到2:6
l π
θα=+, 且1l 与1C 交于O 、P 两点，2l 与2C 交于O 、Q 两点，求OP OQ ⋅取最大值时点P 的极坐标.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值
高三毕业班第四次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.） AADDD DBBCB DA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 55 15. ]41,(-∞ 16. 49
<b
三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.）
18. 解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的首项为1a ，公比为q （q ＞0），
由已知得 ⎩⎨
⎧=+=+108
123
12
111q a q a q a a ，则解得31=a 3=q
所以数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列， ………………4分
即n n n a 3331=∙=- ……………………………………………6分 解法2：等比数列的性质也可以解答。

（Ⅱ）由(Ⅰ)得n n n n na b 3∙== ……………………………………7分
所以()1...............3333231321321n n
n n b b b b S ∙++∙+∙+∙=++++= ………8分 ()()2...............33133323131432+∙+∙-++∙+∙+∙=n n n n n S …10分 由（1）－（2），得
()
11
32133
13133
33332++∙---=∙-+++∙+=-n n
n n n n n S
()
分12 (4)
33)412(32431311+∙-=∙+-=∴++n n n n n n S ……………………12分
19. 解：（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以…………2分
又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，
所以PAC BD 平面⊥. …………………………………………4分 而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥. ………………………………5分
（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，PAC BD 平面⊥ ……6分
所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=
. 由PAC BD 平面⊥，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥.
在POD Rt 中，由DPO ∠30=
，得OD PD 2=.
因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，
所以BOC AOD ∆∆,均为等腰直角三角形， ………………………………8分 从而梯形ABCD 的高为
111
(42)3,222AD BC +=⨯+=
于是梯形ABCD 面积1
(42)39.2S =
⨯+⨯=
………………………………9分 在等腰三角形AOD 中，2OD AD ==
所以2 4.PD OD PA ===
= …………………………10分
高三数学（文）第四次月考答案 第1页 共4页
故四棱锥P ABCD -的体积为11
941233
V S PA =
⨯⨯=⨯⨯=.……12分 20.解：(1）设椭圆C 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
则
b =分
由
2
221,2
c a c b a ==+，得4a =--------------3分 ∴椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=. ------4分 （2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21
， 代入
2211612
x y +=， 得
01222=-++t tx x 由0∆>，解得4
4<<-t 由韦达定理得
12,22121-=-=+t x x t x x .----5分 四边形APBQ 的面积221348362
1
t x x S -=-⨯⨯=
∴当0=t
，max S = 7分
②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k 则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-
由223(2)(1)1(2)1612
y k x x y -=-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
（1）代入（2）整理得222
(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= 2
143)32(82k
k
k x +-=
+ 同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ， 可得2
2243)
32(843)32(82k k k k k k x ++=+---=
+---------9分
∴21212
22
161248,3434k k
x x x x k k --+=-=++ --------10分 2
14)(3)2(3)2(212121212121=--+=---++-=--=
x x k x x k x x x k x k x x y y k AB
所以AB 的斜率为定值
2
1
. …………12分
.
请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分） 22.解：在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为2
2
(2)4x y -+=
所以1C 参数方程为22cos (2sin x y α
αα
=+⎧⎨
=⎩为参数）. …………2分
高三数学（文）第四次月考答案 第3页 共4页
·11· 曲线2C 的直角坐标方程为22
(2)4x y +-=. 所以2C 参数方程为2cos (22sin x y βββ=⎧⎨=+⎩
为参数） …………4分 （2）设点P 极坐标为1(,)ρα, 即14cos ρα=,
点Q 极坐标为2(,)6πρα+, 即24sin()6π
ρα=+. …………5分 则124cos 4sin()6OP OQ πρραα⋅==⋅
+
116cos cos )2ααα=⋅+ 8sin(2)46π
α=++ …………8分
7(0,).2(,)2666ππππαα∈∴+∈ 当2,626
πππαα+==时…………9分 OP OQ ⋅取最大值，此时P
点的极坐标为)6
π. …………10分 23.解：(I)当1a =时，不等式()8f x x ≥+可化为138x x x ++-≥+.
当1x <-时, 有(1)(3)8x x x -+--≥+, 解得2x ≤-; …………1分
当13x -≤≤时,有(1)(3)8x x x +--≥+,解得4x ≤-, 不合要求; …………2分 当3x >时，有(1)(3)8x x x ++-≥+，解得10x ≥. …………3分
综上所述，2x ≤-或10x ≥. ∴原不等式解集为(,2][10,)-∞-⋃+∞…………5分 (II)()33()(3)3f x x a x x a x x a x a =++-=++-≥++-=+ ……8分 令35a +=，解得2a =或8a =-. …………10分。