高三数学二轮复习 必考问题专项突破15 直线、圆及其交汇问题 理

必15 直线、圆及其交汇问题
1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案： A [由a ＝1可得l 1∥l 2，反之由l 1∥l 2可得a ＝1或a ＝－2，故选A.] 2．(2012·陕西)已知圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )． A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切
C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能
答案：A [把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32
＋0－4×3＝－3＜0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交，选A.]
3．(2012·重庆)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2
＋y 2
＝2的位置关系一定是( )．
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
答案：C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)，故选C.]
4．(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．
解析 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心为(1,1)，半径为1，
∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k 2
＝ 1－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
， 解得k ＝1或17
7.
答案 1或17
7
本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．
高考对解析几何的考查，主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题．运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中，要注意加强圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算能力的训练，努力提高灵活解题的能力．
必备知识
两直线平行、垂直的判定
(1)①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝
k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行； 若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直． (2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，
l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.
圆的方程
(1)圆的标准方程：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .
(2)圆的一般方程：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2
，－E 2，半径为
r ＝
D 2＋
E 2－4F
2
；二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是
⎩⎪⎨⎪
⎧
B ＝0，A ＝
C ≠0，
D 2＋
E 2－4A
F ＞0.
必备方法
1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．
2．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．
3．直线与圆中常见的最值问题
(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．
(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．
(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．
(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题． (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．
4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．
待定系数法求圆的方程
对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．该部分在高考中常以填空、选择的形式直接考查，或是在解答题中综合轨迹问题进行考查．
【例1】► 已知圆C 与圆x 2
＋y 2
－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程．
[审题视点] [听课记录]
[审题视点] 先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法．
解 设圆C 的圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＋3
a －3＝
3，
a －
2
＋b 2
＝1＋|a ＋3b |2
，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝0或⎩⎨
⎧
a ＝0，
b ＝－43，
所以r ＝2或r ＝6.
所以圆C 的方程为(x －4)2
＋y 2
＝4或x 2
＋(y ＋43)2
＝36.
求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、
圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【突破训练1】 已知圆过点A (1,2)，B (3,4)，且在x 轴上截得的弦长为6，求圆的方程．
解 法一 设圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2
＋Dx ＋F ＝0.
设弦的两端点的横坐标分别为x 1、x 2.
因圆在x 轴上截得的弦长为6，所以|x 1－x 2|＝6， 即D 2
－4F ＝36，①
又圆过点A (1,2)，B (3,4)， 所以D ＋2E ＋F ＋5＝0，② 3D ＋4E ＋F ＋25＝0，③
由①②③解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝12，
E ＝－22，
F ＝27
或⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－8，
E ＝－2，
F ＝7.
故所求圆的方程为x 2
＋y 2
＋12x －22y ＋27＝0或x 2＋y 2
－8x －2y ＋7＝0. 法二 设所求圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
r 2＝b 2＋32
，－a 2
＋
－b 2＝r 2
，－a 2＋
－b
2
＝r 2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－6，
b ＝11，
r 2＝130
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝1，r 2＝10.
故所求圆的方程为(x ＋6)2
＋(y －11)2＝130，或(x －4)2
＋(y －1)2
＝10. 直线与圆位置关系的考查
直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力．
【例2】► 如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .
(1)求圆A 的方程；
(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；
(3)B Q →·B P →
是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． [审题视点] [听课记录]
[审题视点] 第(1)问由圆A 与直线l 1相切易求出圆的半径，进而求出圆A 的方程；第(2)问注意直线l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论．
解 (1)设圆A 的半径为R ，
∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5
＝2 5.
∴圆A 的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝20.
(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .
∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 由|AQ |＝
|k －2|
k 2
＋1
＝1，得k ＝3
4.
∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，
∴所求直线l 的方程为：x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴A Q →·B P →
＝0， ∴B Q →·B P →＝(B A →＋A Q →)·B P →
＝B A →·B P →＋A Q →·B P →
＝B A →
·B P →
.
当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，
则B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又B A →
＝(1,2)．
∴B Q →·B P →＝B A →·B P →
＝－5.
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．
由
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋
，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .
∴B P →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k .
∴B Q →·B P →＝B A →·B P →
＝
－51＋2k －10k
1＋2k
＝－5， 综上所述，B Q →·B P →是定值，且B Q →·B P →
＝－5.
(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离
d 及半弦长l
2
构成直角三角形关系来处理．
(2)要注意分类讨论，即对直线l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防
漏解或推理不严谨．
【突破训练2】 (2012·临沂模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解 (1)曲线y ＝x 2
－6x ＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)． 故可设圆的圆心坐标为(3，t )， 则有32
＋(t －1)2
＝()222
＋t 2
.
解得t ＝1，则圆的半径为32＋t －2
＝3.
所以圆的方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝9.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2
＝9，
消去y 得到方程2x 2
＋(2a －8)x ＋a 2
－2a ＋1＝0， 由已知可得判别式Δ＝56－16a －4a 2
＞0， 由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝
a 2－2a ＋1
2
，①
由OA ⊥OB 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a . 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2
＝0.
由①②可得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.
直线、圆与圆锥曲线的交汇问题
常以直线、圆、圆锥曲线为载体结合平面向量来命题，考查解决解析几何问题的基本方法与技能，正成为高考命题新的生长点．
【例3】► (2012·杭州三校联考)已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .
(1)证明：点F 在直线BD 上；
(2)设F A →·F B →＝8
9
，求△BDK 的内切圆M 的方程．
[审题视点] [听课记录]
[审题视点] (1)设出A 、B 、D 的坐标及l 的方程，进而表示出直线BD 的方程．再验证；
(2)由FA →·FB →＝8
9可求直线l ，BD 的方程，再由A 、D 关于x 轴对称可设圆心M (t,0)，则M 到
直线l ，BD 的距离相等．
解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)．
(1)证明：将x ＝my －1代入y 2
＝4x 并整理得y 2
－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.①
直线BD 的方程为y －y 2＝
y 2＋y 1
x 2－x 1
·(x －x 2)， 即y －y 2＝4y 2－y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2
24.
令y ＝0，得x ＝
y 1y 2
4
＝1.
所以点F (1,0)在直线BD 上．
(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2
－2，
x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.
因为F A →＝(x 1－1，y 1)，F B →
＝(x 2－1，y 2)，
F A →·F B →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4
＝8－4m 2
，
故8－4m 2
＝89，解得m ＝±43
.
所以l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 又由①知y 2－y 1＝±m
2
－4×4＝±4
3
7，
故直线BD 的斜率
4y 2－y 1＝±3
7
， 因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.
因为KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)，M (t,0)到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|
4
.
由
3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝1
9
或t ＝9(舍去)， 故圆M 的半径r ＝3|t ＋1|5＝23
.
所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －192＋y 2＝4
9.
对直线与圆的综合性问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后
综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．
【突破训练3】 (2011·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆
x 2
4
＋y 2
2＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k
.
(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d .
解 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1，－
22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－2
2－1＝2
2
.
(2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 2
2＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，
A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2
3，－43.
于是C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23
＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2
3－43－2312
＋1
2
＝
22
3
.
直线问题“误”汇
易错点1：忽视截距为零或认为截距是距离的情况
【示例1】► 经过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________________． 解析 (1)直线在两坐标轴的截距为0时，直线方程为y ＝1
2
x .
(2)直线在两坐标轴的截距不为0时，设直线方程为x ＋y ＝a .因为点(2,1)在直线上，所以2＋1＝a ，即a ＝3.直线方程为x ＋y ＝3.故所求直线方程为y ＝1
2
x 或x ＋y ＝3.
答案 y ＝1
2
x 或x ＋y ＝3
老师叮咛：考生可能产生2种错误，第1种错误：忽视截距为零的情况，只答出第
种情况；第2种错误：认为截距是距离，把直线在两坐标轴上的截距互为相反数的也带进来，导致有错误答案为“所求直线方程为y ＝1
2
x 或x ＋y ＝3或x －y ＝1”.
【试一试1】 已知直线l 过点(2，－6)，它在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．
解 当直线l 过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，适合题意，此时直线方程为y ＝－6
2
x ＝－3x ，可化为3x ＋y ＝0； 当直线l 不过原点时，设它在x 轴上的截距为a (a ≠0)，则它在y 轴上的截距为2a ，则直线的截距式为x a ＋
y 2a ＝1，把点(2，－6)的坐标代入得2a －6
2a ＝1，解得a ＝－1，故此时直线的方程为－x －y
2
＝1，可化为2x ＋y ＋2＝0. 综上，直线的方程为3x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0. 易错点2：忽视直线的斜率不存在的情况
【示例2】► 已知直线l 过点(－2,0)，直线x ＋2y －5＝0和3x －y －1＝0的交点到直线l 的距离为3，求直线l 的方程．
[满分解答] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y －5＝0，
3x －y －1＝0得，
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，即直线x ＋2y －5＝0和3x －y －1＝0
的交点坐标为(1,2)．(2分)
(1)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，点(1,2)到该直线的距离为3，适合题意．(6分)
(2)当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的点斜式方程为y ＝k (x ＋2)，可化为kx －y ＋2k ＝0.
依题意得|k －2＋2k |
k 2＋1＝3，
解得k ＝－5
12
.
所以，此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋10＝0.(10分) 综上，直线的方程为x ＋2＝0或5x ＋12y ＋10＝0. (12分)
老师叮咛：忽视直线的斜率不存在的情形，也是一类常见错误.在相关问题中，需设直线的斜率时，一定要注意分析直线的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分类讨论.
【试一试2】 已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则a 等于( )．
A ．1
B ．0
C ．1或0
D ．1或－1
答案： C [法一 依题意有a ·(2a －1)＋(－1)·a ＝0；解得a ＝0或a ＝1. 法二 ①a ＝0时直线l 2斜率不存在，直线l 1的斜率为0，两直线垂直．
②a ≠0时，直线l 1的斜率为a ，直线l 2的斜率为－2a －1
a
，因为直线l 1与直线l 2垂直，
所以a ·⎝
⎛⎭
⎪
⎫－2a －1a ＝－1，解得a ＝1.故所求a 值为0或1，选C.] 【试一试3】 C [将圆C 方程配方得：(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝8，圆C 的圆心坐标和半径分别是：C (－1，－2)，R ＝2 2.设与直线l ：x ＋y ＋1＝0平行且距离为2的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，由
|m －1|
2
＝2知，m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，圆心到直线的距离d 1＝
|－1－2－1|
2＝22＝R ，直线与圆相切，满足要求的点只有一个；当m ＝3时，圆心到直线的距离d 2＝|－1－2＋3|
2＝0＜R ，直线与圆相交，满足要求的点有两个．故满足要求的点共
有3个．选C.]
必考问题。