长郡理科实验班招生 考试数学试卷(四)

长郡理科实验班招生 考试数学试卷（四）
时量：60分钟 满分：100分
一、选择题（每题5分，共30分）
1.已知
<COSA<Sin80°，则锐角A 的取值范围是（ ） A.6080A ︒<<︒ B.3080A ︒<<︒ C.1060A ︒<<︒
D.1030A ︒<<︒
2.设1x 、2x 是方程20x x k ++=的两个实根，若恰有22
21122
2x x x x k ++=成立，则k 的值为（ ） A.1-
B.1
2
或1-
C.12
D.12
-或1
3.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14
，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如右图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了.（ ）
A.20分钟
B.22分钟
C.24分钟
D.26分钟
4.内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ） A.24
B.22
C.20
D.18
5.如图，已知E 、F 点分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，BD 、DF 分别交EC 于点C 、H ，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）
A.26
B.28
C.24
D.30
6.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：
请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案.此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ） A.500元 B.600元 C.700元 D.800
元
二、填空题（每题5分，共30分）
7.若1
4x x
-=，则2421x x x =++ .
8.如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从4点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 .
9.若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 .
10.方程20x ax b ++=的两根为1x ，2x ，且3322
12
1212x x x x x x +=+=+，则有序实数对()
,a b 共有 对.
11.如右图，直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点()4,0A 与()0,3B -，现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB 相切.
12.二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为 .
三、解答题（每题10分，共40分）
13.已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求：代数式
432234x x y x y xy xy ++++的值.
14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边BC 与直角坐标系中的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为()0,1P ，若抛物线221y kx kx =++的顶点为A .求： （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用k 表示B 点的坐标； （3）当k 取何值时，60ABC ∠=︒.
15.如图，在△ABC 中，AC BC =，CD 是AB 边上的高线，且有23CD AB =，又E ，F 为CD 的三等分点，求证：180ACB AEB AFB ∠+∠+∠=︒.
16.已知二次函数2224y x mx m =-+-的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D.
（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存.
在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；
（2）当1m =-时，将函数2224y x mx m =-+-的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω.当直线1
2
y x b =+与图象Ω有两
个公共点时，求实数b的取值范围.
数学试卷（四）参考答案
一、选择题（每题5分，共30分） 1.D 2.A 3.C 4.B. 5.B 6.B 二、填空题（每题5分，共30分）
7.119
8. 9.14x ≤≤ 10.3
11.73或173
12.5三、解答题（每题10分，共40分）
13.解：由已知条件可知xy 和()x y +是方程217660t t -+=的两个实数根， 16t =，261111xy t x y =⎧=⇒⎨
+=⎩或11
6x y xy +=⎧⎨=⎩
当11xy =，6x y +=时，x 、y 是方程26110y y -+=的两个根 ∵36440t ∆=-<，∴此方程没有实数根.
当6xy =，11x y +=时，x ，y 是方程21160u u -+=的两个根 ∴2121240∆=->，∴此方程有实数根， 这时()2
222109x y x y xy +=+-= ∴432224x x y x y xy y ++++
()()44222222x y x y xy x y xy x y =+++++ ()()2
222222x y x y xy x y =+-++
12499=
14.（1）∵221y kx kx =++，
∴.对称轴1x =-，易见抛物线是以Rt △ABC 的直角边AC 所在直线为对称轴，由题易得
()1,1A k --，又当0x =时，1y =，则抛物线过()0,1P ， 故开口向下.
（2）如图，1AC k =-，1BC CO OB OB =+=+，
AB AD BD AE OB AC CE OB OB k =+=+=-+=-， 由勾股定理得
()
()()2
22
11111,0111k k k k OB OB k OB OB B k k k ---⎛⎫
-++=-⇒=
⇒=⇒ ⎪+++⎝⎭
（3）∵60ABC ∠=︒，∴tan ABC ∠=
又2
1tan 2k ABC k
-∠==210k +-=.
∴12k =，22k =-.
又∵0k <，∴2k =.
15.证明：∵23CD AB =，且,E F 为CD 三等分点，D 为AB 中点， ∴11
32
CD AB =，即AD DF =，∴45AFD ∠=︒ ∴22222AF AD DF DF FE FC =+==⋅. ∴AFE CFA ∆∆:，∴CAF AEF ∠=∠. 即∴45ACD AED AFD ∠+∠=∠=︒.
∴90ACD AED AFD ∠+∠+∠=︒，所以得证.
16.解：令0y =得22240x mx m -+-=，解得12x m =-，22x m =+， ∴()2,0A m -，()2,0B m +，()20,4D m -. （1）∵点D 在y 轴正半轴，∴240m ->，
设存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形，则BO OD =，则224m m +=-， ①当20m +>时，242m m -=+，解得3x =或2x =-（舍去）； ②当20m +<时，2420m m -++=，解得1x =或2x =-（都舍去）； ③当20m +=时，点,,O B D 重合，不合题意，舍去； 综上所述，3m =，
（2）当1m =-时，223y x x =+-，则()3,0A -，()1,0B 顶点为()1,4--. 因为直线1
2y x b =+与图象Ω由两个公共点，
则当直线12y x b =+过A 点准时3
2b =，
当直线12y x b =+过()1,0B 时，1
2
b =-，
当直线12y x b =+与223y x x =--+只有一个公共点时，73
16b =，
根据图像，可得1322b -<<或73
16
b >.
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