概率论与数理统计期末试卷5

新乡学院期末考试试卷
概率论与数理统计
考试范围 第1至7章
命题人
院系 数学与信息科学 考试形式
闭卷
课程类别
必修 学 期
专业
一、选择题（本题共_5__小题,每小题 3 分，共 15 分) (从下列备选答案中选择正确答案)
1．设A ，B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ） （A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤ （C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()
(A P A P ≥ 2. 下列函数为随机变量的密度函数的为：( )
(A) ⎩⎨⎧∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ⎪⎩⎪⎨⎧<=其他
,
02,
2
1
)(x x f
(C) ⎪
⎩⎪⎨⎧<≥=--0,
00
,21)(2
2
2)(x x e x f x σμπσ (D) ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x
3．设随机变量)4,(~2
μN X ，)5,(~2
μN Y ，}{41-≤=μX P P ，}{
52+≥=μY P P ，则（ ）
（A ） 对任意的实数21,P P =μ， （B ）对任意的实数21,P P <μ， （C ）只对实数μ的个别值，有21
P P =， （D ）对任意的实数21,P P >μ
4．如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+，则必有（ ） （A ）独立与Y X （B ）不相关与Y X （C ）0=DY （D ）0=DX
5．设随机变量X 的概率密度函数为()x f ，且)()(x f x f -=，又)(x F 为分布函数，则对任意实数a ，有（ ） (A) (),1)(0
dx x f a F a
⎰
-
=- (B) (),21
)(0
dx x f a F a ⎰-=
- (C) )()(a F a F =-， (D) ()1)(2-=-a F a F ， 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1.事件A 在4次独立实验中至少成功一次的概率为
81
80
，则事件A 在一次实验中成功的概率为 。

2.设随机变量X 的分布函数⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<=3
,
131,8.011,4.01,0)(x x x x x F ，则X 的分布列为
3.设随机变量~,12),1,0(~Y X Y N X 则+= 。

4.随机变量序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于常数a 是指对任意0>ε，有 =1成立。

5.若(
)
,~2
,σμN X ),,,(21n X X X 为X 的一个容量为n 的样本，X 为样本均值则
=X E ，DX = 。

三、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的概率。

若取出
的产品为正品，它是甲厂生产的概率是多少？（本题10分）
四、设随机变量()Y X ,的概率密度为()⎩
⎨⎧<<<<=其他,00,10,,x
y x Ax y x f
求(1)A ； （2）⎪⎭
⎫
⎝⎛<>21,21Y X P ； （3）()Y X E +（本题10分） 五、设二维随机变量(X,Y)在矩形区域：d y c b x a ≤≤≤≤,上服从均匀分布，求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度。

随机变量X 与Y 是否相互独
立？
（本题10分） 六、一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
()14104
x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，为确保消费者利益，工厂规定出售的设备若在
一年内损坏可以调换，若售出一台设备工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望（本题10分）。

七、在一保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000
元赔偿费。

求：保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？（本题10分） 八、设总体()(1)01
x x X
f x θ
θ⎧+<<=⎨
⎩其他
其中1θ＞－1,,n X X 是
X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. （本题10分）
九、在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008，样本方差2
0.1s =，问这堆
香烟是否处于正常状态，已知香烟（支）近似服从正态分布（0.025(35) 2.0301t =），（取0.05α=）。

（本题10分）
概率论与数理统计参考答案及评分标准
一、选择题（本题共_5__小题,每小题 3 分，共 15 分) BDABB
二、填空题（本题共 5 空，每空 3 分，共 15 分）
1、2
3；2、1 1 30.4 0.4 0.2-⎛⎫ ⎪⎝⎭
；3、N(1, 4)；4、}|1{|lim 1ε<-∑=∞→a X n P n i i n ；5、μ、2n σ
三、（本题10分）
解：}{这件产品是正品=B
}{1取的是甲厂的产品=A }
{2取的是乙厂的产品=A }{3取的是丙厂的产品=A 1分 2.0)(3.0)(,5.0)(321===A P A P A P ，
7.0)|(8.0)|(,9.0)|(321===A B P A B P A B P ， 4分
由全概率公式，得83.0)|()()(3
1
==
∑=i i
i
A B P A P B P 6分
542.083
.09
.05.0)()()|()()()|(1111≈⨯===B P A P A B P B P B A P B A P 10分
四、（本题10分） 解：(1) ⎰⎰
⎰
⎰
∞+∞-∞
+∞
-=
==
100
3
),(1x
A
Axdxdy dxdy y x f 3=∴A (见图) 2分
（2）169
3)21,21(12
121
0==<>⎰⎰xdxdy Y X P 4分
（3）⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-+=
+dxdy y x f y x Y X E ),()()(⎰
⎰
=
+=100
8
9
3)(x
xdxdy y x 10分 五、（本题10分）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤≤≤≤--=其它
0,)
)((1),(d
y c b x a c d a b y x f 2分
)(1
))((1),()(=<>-=
--==≤≤⎰⎰
∞+∞
-x f a
x b x a b dy c d a b dy y x f x f b x a X d
c
X 或当时当
)(1
))((1),()(=<>-=
--==≤≤⎰
⎰
∞
+∞
-y f c
y d y c d dx c d a b dx y x f y f d y c Y b
a Y 或当时当 6分
相互独立故一切成立）（对
则Y X y x y f x f y x f Y X ,,)()(),(= 10分
六、（本题10分）
解: 厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和－200元。

3分 (){}11
110014
x P Y P X e dx +∞
-==≥=
=⎰
1e - 6分 ()14
200(1)1P Y P X e -=-=<=- 8分
故 ()()()
14
1
4
14100
200130020033.64
E X e e e ---=⨯+
-⨯-=-
=（元）10分
七、（本题10分）
解：设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则(10000,0.006)X B 2分
因为“公司利润≥60000”当且仅当“060X ≤≤”，于是所求概率为
{
}060P X ≤≤≈Φ-Φ 6
分
(
)00.5⎛≈Φ-Φ≈ ⎝ 10
分
八（本题10分） 解 ：（1）()()()1
10
1
12
E X xf x dx x dx θθθθ+∞
+-∞
+==+=
+⎰
⎰ 2分 又 (
)
1
2
X E X θθ+==+ 故211X X θ-=- 所以θ的矩估计量211X X θ-=- 5分
（2）似然函数 ()()()1
1101(1,2
,)
0n
n n
i
i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩
∏∏其他
7
分
取对数()1
ln ln 1ln n
i
i L n x θθ
==++∑ ()01;1i
x i n <<≤≤
1
ln ln 01n
i i d L n
x d θθ==+=+∑ 9分 所以θ的极大似然估计量为1
1ln n
i
i n
X
θ==--
∑ 10分
九、（本题10分）
解：设000: 1.1; 1.1H μμμμ==≠= 2分
()()20.02536,0.05,135 2.0301n t n t αα==-==，21.008,0.1x s == 4分
0.0256 1.74561.7456(35) 2.0301
x t t t =
===<= 8分
所以接受0H ，认为这堆香烟（支）的重量正常。

10分。