江西省九江第一中学2017届高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

九江一中2017届高三第一次月考数学(理科）试卷
满分：150分 时间：120分钟
命题：高三数学备课组
审题:高三数学备课组
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1已知复数21i z i
-=+，则z 所对应的点在复平面内所在的象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限 C 。

第三象限 D.第四象限 2
{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则A
B =
（ )
A.[]2,5-
B.[2,2]-
C.[]1,2-
D. [2,1]-- 3 设向量,a b 的夹角为θ,则“0a b ⋅<"是“θ为钝角”的（ )
A.充分不必要条件 B 。

必要不充分 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要
4已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数()(21)lg(1)g x f x x =--的定义域是（ )
A. [0,1]
B.
(0,1)
C. [0,1) D 。

(0,1]
5在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若sin 3
A =，
2a =,cos +cos =2cos c B b C a B ，则b 的值为（
)
A 。

B.4
C 。

D
6已知函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
向右平移3
π
个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．52
D ．3
7各项均为正数的等比数列{}n
a 的前n 项的为n
S ，若14,23==n n
S S
，则=
n S 4（ ）
A ．80
B ．30
C ．26
D ．16
8若函数
2
()sin
sin 2f x x x x πωωω⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
（0ω>） 的最小正周期为π，则()
f x 在区间203，π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上的值域为（ ）
A ．3[0]2，
B ．13[]22，-
C ．1[1]2，-
D ．31
[]22，
- 9曲线2
276y x
x =-+-与直线y x =-的图像所围成的封闭图形的面积为
（ )
A 。

23
B 。

2 C.83
D 。

3
10
25(1)x x ++展开式中，5x 的系数为（ ）
A 。

7
B 。

8 C. 9 D 。

10 11已知,,A B
C 是单位圆上互不相同的三点，且满足||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值为（ ）
A ．14
- B ．12
- C ．34
-
D ．1-
12若函数()f x 满足1
()1(1)
f x f x +=
+，当[0,1]x ∈时,()f x x =，若在区间(1,1]- 上
()()2g x f x mx m
=--有两个零点,则实数m 的取值范围是（ )
A ．103m <≤
B ．1
02m <<
C ．112m <≤
D ．113
m <<
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题,学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13已知函数
2log ,1()24,1
x
x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则1
(())2f f =
14已知向量a ,b 的夹角为120，且||2a =，||1b =, 2a b +=
15 已知α为第一象限角，且2
3
sin sin cos 5ααα+=
,2tan()3
αβ-=-,则tan(2)βα-=
16 已知函数
()f x 的定义域为(0,＋∞），若()f x y x
=在(0，＋∞）上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2
()
f x y x =
在（0,＋∞)上为增函
数,则称()f x 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数"组成的集合记为1
Ω,所有“二阶比增函数"组成的集合记为2
Ω。

已知函数
32()2f x x mx mx =--，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，实数m 的取值范围 ；
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17(本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
2cos()
cos a b A C c C
++= （Ⅰ）求角C 的大小,
(Ⅱ）若2c =，求使ABC ∆面积的最大值．
18（本小题满分12分）已知数列{}n
a 各项均为正数，其前n 项和为n
S ，
且1
1,a
=12n n n a a S +=，*n N ∈
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}2n
a n ⋅的前n 项和n
T
19.(本小题满分12分)某卫视推出一档全新益智答题类节目，这档节目打破以往答题类节目的固定模式，每档节目中将会有各种年龄层次，不同身份，性格各异的10位守擂者和1位打擂者参加，以PK 的方式获得别人手中的奖品，一旦失败，就将掉下擂台，能否“一站到底”成为节目最大悬念。

现有一位参赛者已经挑落10人，此时他可以赢得10件奖品离开或者冲击超级大奖“马尔代夫双人游”,冲击超级大奖会有一定的风险，节目组会精选5道题进行考核，每个问题能正确回答进入下一道，否则失败，此时只能带走5件奖品,若5道题全部答对则可以带走10件奖品且还可以获得超级大奖“马尔代夫双人游"。

若这位参赛者答对第1,2，3,4,5道题的概率分别为
52111
,,,,63236
,且各轮问题能否正确回答互不影响，求： （Ⅰ）该参赛者选择冲击大奖最终只带走5件奖品的概率；
（Ⅱ）该参赛者在冲击超级大奖的过程中回答问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望 20.（本小题满分12
分）已知12,F F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦
点，,D E 分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率e =21DEF S =-若点0
(,)M x y 在椭圆C 上，则点0
(,
)x
y N a b
称为点M 的一个“椭点”，已知
直线l 与椭圆交于,A B 两点,且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q . （Ⅰ） 求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ） 是否存在过左焦点1
F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐
标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
21。

（本小题满分12分)已知函数()1x
f x e -=-
（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1
x
f x x ≥+； (Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x
f x ax ≤
+,求a 的取值范围
四 请考生在第22—23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2
π
4cos()103
ρ
ρθ---=．以极点为平面直角坐标
系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数
方程是cos ()sin x t t y t α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数.
(Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,
且||AB =求直线的倾斜角α的值．
23。

（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()2
1a b x x +-≤ 恒成立。

（Ⅰ）求11
a b +的最小值；(Ⅱ)试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b
+=的位置关
系，并说明理由.
解：（1)由2
π
4cos()103
ρρθ---=
得
圆C 的方程
为
22(1)(5x y -+=……………………………………………4分
（2)
将cos sin x t y t α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩代入圆的方程得2
2(cos 1)
(sin )5t t αα-+= (5)
分
化简得
22cos 40t t α--= (6)
分
设A B 、两点对应的参数分别为1
2
t t 、,则12122cos 4
t t t t α
+=⎧⎨
=-⎩………………………
7分
所以1
2||||AB t t =-===8分
所以2
4cos 2α=
,cos 2
α=±
，π3π4
4
αα==或 (10)
分
24.解：(1）因为()2
1a b x x +-≤，0x >,所以1a b x x
+≤+……………………1分
因为12x x
+≥，所以2a b +≤…………………………………………………………3分 11112()24b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+≥++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以112a b +≥……………………5分
所
以
11
a b
+的最小值
为2
…………………………………………………………………6分
（
2
）
因
为222211112()()1222
a b a b ++
≥≥=………………………………………………7分
所
以
22112a b
+≥……………………………………………………………………………8分
即()2
2221121a b
-+≥>,所以点()1,1P -在椭圆22221x y a b +=的外部……………………10分
17解析
1,(1)22n n n a n T n +==-+
18.（1）∵A+C=π﹣B ，即cos （A+C ）=﹣cosB ， ∴由正弦定理化简已知等式得：
=
，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB ，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ， ∵sinA≠0， ∴cosC=﹣，
∵C 为三角形内角， ∴C=
；
(Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，
∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即4=a 2+b 2+ab≥2ab+ab=3ab， ∴ab≤,(当且仅当a=b 时成立）， ∵S=absinC=ab≤，
∴当a=b 时，△ABC 面积最大为，此时a=b=，
则当a=b=
时，△ABC 的面积最大为．
19解:（1）因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，所以0.006a =.………4分
(2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4+⨯=，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4。

………8分
(3）受访职工中评分在[50,60)的有:500.006103⨯⨯=(人），记为1
2
3
,,A A A ；
受访职工中评分在[40,50)的有：500.004102⨯⨯=（人),记为1
2
,B B .
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是1
2
1
3
{,},{,}A A A A ，
1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A A A B A B A B A B B B ，
又因为所抽取2人的评分都在＝错误!.若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点,则OP ⊥OQ ，而OP ＝错误!，OQ ＝错误!，因此OP ·OQ ＝0，即错误!×错误!＋y 1y 2＝错误!＋y 1y 2＝0，即错误!＝0，解得k ＝±错误!。

所以所求的直线方程为y ＝错误!x ＋错误!或y ＝－错误!x －错误!.
21．解：（1）f ′（x )＝a e x （x ＋2)，g ′（x ）＝2x ＋b .
由题意，两函数在x＝0处有相同的切线，
∴f′（0）＝2a,g′（0）＝b.
∴2a＝b，f（0)＝a＝g(0）＝2，∴a＝2,b＝4。

∴f（x）＝2e x(x＋1），g（x）＝x2＋4x＋2。

（2)由（1)得f′（x)＝2e x（x＋2)．
由f′(x）＞0得x＞－2,由f′（x）＜0得x＜－2,
∴f（x）在(－2，＋∞)上单调递增,在(－∞,－2）上单调递减．∵t＞－3,∴t＋1＞－2.
当－3＜t＜－2时，f（x)在上单调递减，上单调递增，
∴f（x)min＝f（－2）＝－2e－2。

当t≥－2时，f(x)在上单调递增，
∴f（x)min＝f（t)＝2e t(t＋1）．
综上所述，当－3＜t＜－2时，f(x）min＝－2e－2；
当t≥－2时，f(x）min＝2e t(t＋1)．
（3）由（1）得F(x）＝4e x（x＋1)－x2－4x.
则F′（x）＝4e x(x＋1)＋4e x－2x－4＝2（x＋2）（2e x－1）,
由F′（x）＞0得x＞－ln 2或x＜－2，
由F′（x）＜0得－2＜x＜－ln 2，
所以F（x)在(－∞,－2）,(－ln 2，＋∞）上单调递增，在(－2，－
ln 2）上单调递减，
故F（x)极小值＝F（－ln 2）＝2＋2ln 2－(ln 2)2＝2＋ln 2(2－ln 2)＞0，F（－4）＝4e－4×(－4＋1）－16＋16＝－12e－4〈0,
故函数F（x)＝2f(x)－g（x)＋2只有一个零点．。