椭圆及其标准方程习题课第2课时
2.1.1椭圆的标准方程第二课时
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
例 3:如图,设点 A、 B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 9 分析:把题目条件直接用 x 、 y 表示出来 , x 、 y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
动画演示
目标升华: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直接法、待定系数法、相关点法等. 具体求轨迹方程时 ,我们既应严格按一般步骤 去展开过程 , 又应注意到 思考方法的灵活性的 尝 试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的 几何条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
(2). 已知B，C是两个定点，|BC|=8，且 △ABC的周长等于18，求这个三角形的顶 点A的轨迹方程。
解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy, 由|BC|=8，可知B(－4，0)，C(4，0)，
由|AB|+|AC|+|BC|=18，得|AB|+|AC|=10， 因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
x
标准方程
x y 1 a b 0 2 2 a b
y x2 2 1 a b 0 2 a b
焦点坐标
a,b,c的关系
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0c 0, a b 0)
焦点位置的 判断
看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
小试牛刀
1：过椭圆4 x 2 y 2 1的一个焦点F1的直线 与椭圆交于A、B两点，则三角形ABF2 周长为多少？ 2：（）若方程 1 x 2 ky 2 k 表示焦点在y轴上的椭圆， 求k的取值范围 x2 y2 （2）若方程 1表示焦点在y轴上的椭圆， k 3 k 3 求k的取值范围。
课时作业10：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2．2.1 椭圆及其标准方程(二)一、基础过关1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．不存在C ．圆D ．线段 答案 B解析 由于动点M 到两定点的距离之和等于8且小于|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹不存在．2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 D解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32B. 3C.72D ．4答案 C解析 不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14， ∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．5．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对答案 B解析 对于方程x 225＋y 29＝1，其焦点在x 轴上，且c ＝4.对于方程x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25.∴25－k >9－k ，且25－k －(9－k )＝16.由此可知，方程x 29－k ＋y 225－k＝1的焦点在y 轴上，且c ＝4. 故曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1有相等的焦距，不同的焦点． 6．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 A解析 如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)．又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.7．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．解 利用中垂线的性质，我们知道|P A |＝|PB |，|PB |＋|PF |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2>1，结合椭圆的定义，我们知道点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆．a ＝1，c ＝12，∴b 2＝34. ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1. 二、能力提升8．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1] 答案 B 解析 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34. 数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.9．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.答案 6解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝6.10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．答案 ②③解析 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．11．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上， ∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2. 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1， 即x 2＋y 2＝36，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.12．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 点在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1， 即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1 (a >b >0)． 三、探究与拓展13.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解 由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。
椭圆定义及标准方程习题课第二节
A
B
o
C
x
例2.已知椭圆两焦点坐标分别是(0,-2)， (0,2)，并且经过点（-3/2，5/2），求椭 圆的标准方程。
y
o
x x
【合作探究】
求经过两点P1（1/3，1/3），P2（0，-1/2） 的椭圆的标准方程。
卫星运动轨迹
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点 的轨迹叫做椭圆。 | PF | | PF | 2a (2a | F F |)
1 2 1 2
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
当堂检测：
x2 y2 (1)已知椭圆的方程为： 1，则 25 16 5 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 3 为：____________焦距等于______;若CD为过 6 (3,0)、(-3,0) 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________ 20y源自CF1 D0
x
F2
椭圆定义及标准方程
——习题课
例1.已知B，C是两个定点，|BC|=10， 且三角形ABC的周长等于22.求顶点A 满足的一个轨迹方程。
y
解：如图以BC所在的直线为x轴， 以BC的中垂线为y轴，建立直角坐 标系。 由题意知|AB|+|AC|+|BC|=18， |BC|=8，得 |AB|+|AC|=10 由定义知点A的轨迹是一个椭圆， 且 2c=8, 2a=10 即 c=4， a=5 所以
椭圆及其标准方程第二课时(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
3.1.2 椭圆及其标准方程第2课时教学设计（一）教学内容椭圆及其标准方程(二）教学目标1.通过知识的教学，使学生能熟练掌握椭圆的标准方程，焦点、焦距等概念以及a、b、c之间的关系，发展解析几何中代数运算素养.2.通过求点的轨迹方程,能使学生体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步体会坐标法和数形结合的思想.（三）教学重点及难点重点：求椭圆的标准方程.难点：轨迹方程的求法.（四）教学过程设计（主体内容）用问题分解教学目标1.课题导入问题1：上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的？追问1：椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？参数a、b、c的关系是怎样的？追问2：现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？师生活动：学生作答，老师适时补充，教师板书,明确求椭圆的标准方程不需要用坐标法，可用待定系数法确定a,b即可.设计意图：目的是使学生熟悉椭圆的定义及标准方程以及a，b，c各量的关系，熟悉焦距.为下一步求椭圆的标准方程做好铺垫.2.例题教学例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，-10)，P到与它较近的一个焦点的距离为2.(3)椭圆经过点（1，32)，（2)师生活动：通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想,体会椭圆标准方程的常规方法待定系数法，便于掌握本节的重点.设计意图：巩固椭圆及其标准方程.问题2：动点的轨迹和轨迹方程有何区别？例2 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。
当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.师生活动：(1)轨迹是指图形，轨迹方程是指方程.明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点M的坐标(x，y)所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件.（2）掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法，即通过建立点M与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解. (3)明确椭圆与圆的联系，椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线.设计意图：提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系.例3 如图4，设点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是4 -9，求点M 的轨迹方程.师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；(2)教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价；（4）此题反过来，就是椭圆的一条性质.课堂练习：教科书第109页练习第3，4题.设计意图：深化学生对求曲线的方程的方法、椭圆的几何特征的认识.师生活动：学生运用椭圆的概念与椭圆的标准方程解决第3题，运用求曲线的方程的方法解决第4题，教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程.问题3：什么是椭圆的焦点三角形？焦点三角形又蕴含哪些知识呢？定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆的焦点三角形.例4 椭圆22143x y+=，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．师生活动：教师在黑板上画出示意图，引导学生可联想解三角形的知识，由学生说出解决方案.（时间允许的话）从此题可推出一般结论：（1）.（2）当P 点在椭圆与y 轴的交点时，焦点三角形面积最大为bc.设计意图：例题的难度不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考独立分析解决问题的能力，通过练习，提醒学生在解决问题时，要根据题目的条件，灵活选用相关知识进行求解.3.课堂小结：问题4：回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论作个梳理吗？师生活动：先由学生对椭圆的标准方程和轨迹方程求法作梳理，教师进行补充.设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识.(五）目标检测设计1.课堂检测（1）.求符合下列条件的椭圆的标准方程：①经过点P(-，(1，；②a=2b0).设计意图：考查学生对椭圆的标准方程及a ，b ，c 之间的关系的理解与掌握水平，（2）.已知△ABC 的周长为6，顶点A ，B 的坐标分别为(0，1)，(0，-1)，则点C 的轨过方程为( ) (A)221x 2)43x y +=≠±（ (B)2212)34x y +=≠±（y (C)221x 0)43x y +=≠（ (D)2210)34x y +=≠（y设计意图：考查学生对椭圆及其标准方程的理解水平以及思维的严谨性.（3）.已知点A(-1.0)，B 是圆F ：229(1)x y +=-（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 师生活动：学生先独立完成，后相互交流，教师视学生错误情况进行点评、校正.教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程，考查学生求轨迹方程的掌握情况.2.课后作业教科书习题3.1第2，6，10题.（六）教学反思 点的纵坐标）是（P b S PF F 0021y .cy 2tan 2==∆θ。
2.2.1 椭圆的标准方程(习题课).ppt
焦点F1 (0,−c), F2 (0, c)
a 2 = b2 + c 2
椭圆标准方程的结构特征： 椭圆标准方程的结构特征：
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0 ) 2 a b y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0 ) 2 a b
的二元二次方程， （1）椭圆标准方程是关于 x, y 的二元二次方程， ） 不含有一次项； 不含有一次项； （2）方程的左边是平方和的形式，右边是常数 ； ）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1； （3）方程中 ）
椭圆的标准方程 （习题课）
椭圆的定义： 一. 椭圆的定义： 平面上到两个定点的距离的和等于定长2a 平面上到两个定点的距离的和等于定长 (大于 的点的轨迹叫椭圆。 大于2c)的点的轨迹叫椭圆。 大于 的点的轨迹叫椭圆 定点F 叫做椭圆的焦点 焦点。 定点 1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。 两焦点之间的距离叫做焦距（ ）。 焦距
D F1
；
C
F2
。
练习
x y 1.方程 + = 1表示焦点在 x轴上的椭圆， a 3 则 a的范围为 ( a>3 )。 x y 2.方程 + = 1表示焦点在 y轴上的椭圆， b 9 则 b的范围为 ( 0<b<9 )。 x2 y2 3.方程 + = 1表示椭圆 m 8-m 则 m 的范围为 ( 0 < m < 4或4 < m < 8 )。
∴ a 2 − b2 = 4
①
求椭圆标准方程的解题步骤： 求椭圆标准方程的解题步骤：
的值， （3）用待定系数法确定 、b的值， ）用待定系数法确定a、 的值
椭圆及其标准方程(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.1 椭圆及其标准方程（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.巩固椭圆的定义和标准方程，掌握求点的轨迹方程的三种方法：定义法、直接法、代入法（相关点法）；2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移的能力，激发学生学习兴趣，提高学生的创新意识.二、教学重难点1.重点：求动点轨迹方程的三种方法.2.难点：结合条件选取恰当的方式求动点的轨迹方程.三、教学过程1.复习巩固，引入新课上节课我们学习了椭圆的定义并推导出了它的标准方程，那椭圆的定义是什么？标准方程有哪几种形式？【答案预设】（1）平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．其中，叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距.1F 2F 21F F 1F 2F 21F F（2）椭圆标准方程有两种形式：焦点在x轴上， 焦点在y 轴上, 其中【设计意图】加深对椭圆定义及其标准方程的理解，为求动点的轨迹方程做准备.2.自主探究，得出新知活动1：如图所示，已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【活动预设】经过分析，发现点P 的轨迹符合椭圆的定义，再根据椭圆的定义求出点P 满足的标准方程.)(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 22c a b -=64)3(22=+-y x【设计意图】让学生掌握定义法求动点的轨迹方程.活动2：如图设A ，B 两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0). 直线AM ，BM 相交于点M ，且他们的斜率之积是，求点M 的轨迹方程.【活动预设】设动点M 的坐标为(x ，y)，根据题目意思用含x ，y 的式子表示直线AM ，BM 的斜率，得到x ，y 的关系式,求出轨迹方程.写出的关系式若学生没有注明限制条件时，引导学生关注特殊点的要求.【设计意图】类比椭圆标准方程推导过程，利用直接法求动点的轨迹方程，并去除不符合条件的特殊点.活动3：如图，在圆上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？【活动预设】由点M 是线段PD 的中点得到点M 的坐标与点P 坐标之间的关系式，并由点P 坐标满足圆的方程代入得到点M 的坐标所满足的方程.94-422=+y x【设计意图】让学生体会椭圆生成的另一种方式，利用代入法（相关点法）求动点的轨迹方程.思考：由活动3我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.想一想，能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？3.应用巩固，强化方法已知A(0，-1)，B(0，1)，三角形ABC的周长为6，求顶点C的轨迹方程.4.归纳小结，思维提升（1）回顾了椭圆的定义和标准方程，学习并体会了生成椭圆轨迹的几种方式，掌握了求轨迹方程的三种方法：①定义法②直接法③代入法(相关点法).（2）数学思想：数形结合、转化化归、类比归纳【设计意图】（1）梳理本节课学习的数学知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法；（2）培养学生敢于思考，不断总结的思维习惯，提升学生的数学核心素养，鼓励学生积极攀登知识高峰，为进一步的数学学习做好准备.四、课外作业1. 课本109页，练习第3、4题；2. 课本115页，习题3.1 第6、8、9、10题.课后探究：课下与同学一起探究完成思考题，体会由圆得到椭圆的两种方式，并思考由圆得到的椭圆有哪些性质.【设计意图】（1）通过练习巩固本节课所学的内容和方法，让学生学会用知识解决问题；（2）分层布置作业，让学有余力的同学多思考，多花时间研究问题.。
《椭圆及其标准方程》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《椭圆及其标准方程》第2课时教学设计1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程；2．掌握焦点、焦距、焦点位置与方程的关系；会求满足一定条件的椭圆的标准方程．求符合一定条件的椭圆的标准方程．复习巩固（老师通过幻灯片出示题目，安排学生动手加以解决） 1．填空（1）椭圆的定义是_________________________________________________________ ________________________________________________________________________． 数学语言是______________________________________________________________ ________________________________________________________________________． （2）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是________________________________________ ________________________________________________________________________． （3）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是________________________________________ ________________________________________________________________________． （4）椭圆的三个特征量是______，它们之间的关系是____________________________ ________________________________________________________________________． 2．已知椭圆方程为x 220＋y 211＝1，那么它的焦距是（ ）A ．6B ．3C ．331D ．31 3．a ＝6，c ＝1，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是________________． 答案：2．A 3．y 236＋x 235＝1学生活动：独立思考解决以上问题．设计意图：此组题目编排的目的是使学生熟悉椭圆的定义及标准方程以及椭圆方程中a ，b ，c 各量的关系，熟悉焦距．典型示例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）．（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，－10），P 到与它较近的一个焦点的距离等于2．（3）椭圆经过点（1，32），（－3，32）．通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想． 教师活动：将已有的知识更加明朗化；通过学生讨论与反思，体会椭圆标准方程的常规求法，便于掌握本节的重点，突破难点．解：（1）由题意a ＝2，b ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1．（2）由题意a ＝10，a －c ＝2． ∴c ＝8．又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝6．∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1． （3）设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1． ∵椭圆经过点（1，32），（－3，32），∴⎩⎨⎧a ＋94b ＝1，3a ＋34b ＝1.解得a ＝14，b ＝13．∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1．说明：（1）标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标或纵坐标的绝对值实际即为a 与b 的值．（2）后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近．（3）要熟悉待定系数法求曲线的方程，学生在设方程方面需要给予引导． 说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程．巩固练习（1）两个焦点坐标分别是（－3，0），（3，0），且经过点（5，0）的椭圆方程为__________； （2）两个焦点坐标分别是（0，5），（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26的椭圆的标准方程为______________．答案：（1）x 225＋y 216＝1（2）y 2169＋x 2144＝12已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．分析：引导学生做出草图，点M 为主动点，P 是从动点．可用代入法求从动点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为（x ，y ），M 点的坐标为（x 0，y 0）．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 29＝1．∵M 是线段PP ′的中点，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y2.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1得x 236＋y 236＝1．即x 2＋y 2＝36． ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36．点评：由[例2]看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆；将椭圆按照某个方向均匀地拉长（压缩），可以得到圆（也可以得到椭圆）．3P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．分析：从已知我们不难知道|PF 1|＋|PF 2|，还可以知道|F 1F 2|以及∠F 1PF 2，据此我们利用余弦定理可求出|PF 1|与|PF 2|的积，有了这个积，又知道∠F 1PF 2的大小，由公式S ＝12absinC即可求出△PF 1F 2的面积．答案：1633从此题可得出一般结论：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22．4△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是－49，求顶点A 的轨迹方程．解析：设顶点A 的坐标为（x ，y ）．按题意得y －6x ·y ＋6x ＝－49．∴顶点A 的轨迹方程为x 281＋y 236＝1（y ≠±6）．点评：求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．教师活动：规范解题步骤，明确用定义法求标准方程的要领，培养学生应用数学语言的能力．设计意图：增强学生解题过程的规范化和解题的通性通法．变练演编1．一个椭圆过M （－2，3） ， N （1，23）两点，求该椭圆的标准方程． 2．求过点A （0，－2）且与椭圆x 28＋y 29＝1共焦点的椭圆的标准方程．1．提示：引导利用椭圆标准方程的统一形式mx 2＋ny 2＝1（m >0，n >0，m ≠n ）解题． 2．分析：由已知的椭圆方程可知，椭圆的焦点为（0，－1），（0，1），所以c ＝1． 又因为椭圆过点（0，－2），所以a ＝2．故所求方程为y 24＋x 23＝1．达标检测1．已知椭圆过点P （35，－4）和点Q （－45，3），则此椭圆的标准方程是（ ）A ．y 225＋x 2＝1 B ．x 225＋y 2＝1C ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）．∵椭圆过P 、Q 两点，∴⎩⎨⎧925a 2＋16b2＝1，1625a 2＋9b 2＝1.解得a 2＝1，b 2＝25，∴x 2＋y 225＝1为所求． 答案：A2．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1（a ＞5），它的两个焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．441 解析：∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上．∴a 2－25＝42，a ＝41． 由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝441． 答案：D3．已知曲线C 的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1，则曲线C 是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上或焦点在y 轴上的椭圆D ．可能不是椭圆解析：当a 2＝b 2时，曲线C 为圆． 答案：D4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′中点M 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．可能是圆也可能是椭圆D ．以上都有可能解析：设M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0），则x 20＋y 20＝4，x 0＝x ，y 0＝2y ，把x 0＝x ，y 0＝2y 代入x 20＋y 20＝4得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1．∴点M 的轨迹是一个椭圆． 答案：B课堂小结（让学生主动盘点收获，教师补充．主要围绕：1． 利用椭圆的定义和标准方程解题；2． 待定系数法．）布置作业 教材本节练习3，4． 补充练习1．方程x 2m ＋y 2m 2－2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 满足________．2．椭圆x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1，θ∈（π4，π2）的焦点坐标是____________．3．椭圆的两个焦点F 1，F 2都在y 轴上，且它们到原点的距离都是2，CD 是过F 2的弦，且△CDF 1的周长为12，则此椭圆的方程为____________．答案：1．（2，2） 2．（0，±sin 2θ－cos 2θ）3．x 25＋y 29＝1本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念，体现“教师为主导，学生为主体”的现代教学思想．设计主要是让学生掌握椭圆的标准方程，理解椭圆方程中各量a ，b ，c 以及它们的关系a 2－c 2＝b 2，能求椭圆的焦点，会求满足一定条件的椭圆的标准方程，设计让学生站在方程的角度认清椭圆两种标准方程形式上的特征，将学生的思维提升到了一个新的高度．为实现此目标，通过两组题目，循序渐进地实现教学目标．课后可以分层次布置作业，帮助学生巩固所学知识；课后探索更为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间．在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重点．自始至终很好地调动学生的积极性，挖掘他们的内在潜能，提高学生的综合素质．。
高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第二课时)大纲人教版必修
椭圆及其标准方程〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.求椭圆的标准方程.2.求符合某种条件的点的轨迹方程.〔二〕能力训练要求1.使学生掌握确定椭圆标准方程中的参数a 、b 的方法.2.使学生在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程.〔三〕德育渗透目标使学生通过求曲线的方程，学会分析问题，从具体问题中寻求关系建立数学模型，为解决问题的能力提高奠定基础.●教学重点求椭圆的方程.●教学难点待定系数法的应用.●教学方法指导学生自学法这部分内容，在学生准确掌握了定义，标准方程，思考过上节课后预习提纲中的问题的基础上，教师再帮助学生排除障碍后学生完全可以自学掌握，通过这种自学过程，逐步提高学生的自学能力.●教具准备投影片三X第一X ：P 93例1〔记作§8.1.2 A 〕第二X ：P 94例2〔记作§8.1.2 B 〕第三X ：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.〔记作§8.1.2 C 〕●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的? ［生］平面内与两个定点 F 1、F 2的距离和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点的轨迹叫做椭圆. ［师］这两个定点叫做椭圆的〔教师拉长语气，等待学生作答〕［生］焦点［师］两个焦点的距离叫做椭圆的——［生］焦距［师］椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？ ［生］)0(1),0(122222222>>=+>>=+b a bx a y b a b y a x 〔教师板书，学生作答〕［生］方程所表示的椭圆，其对称轴合于坐标轴.［师］参数a 、b 、c 的关系是怎样的？［生］c 2=a 2-b 2［师］关系式中的三个数都是正数，知道两个可求出第三个，要注意关系式的活用.［师］现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？［生］不需要.［师］那怎样求呢？［生］设标准方程，确定a、b的值.［师］怎样确定呢？［生］根据题设条件及c2=a2-b2确定［师］好，下面我们来看几个例子.Ⅱ.讲授新课［师］〔打出投影片8.1.2 A，读题〕分析指导：请看题中给了我们什么信息？这些信息有什么作用？又怎样应用这些信息呢？一般地，数学题中不会有干扰信息〔或无用信息〕如果题目做完了，还有余下的信息〔或条件〕没有被用，那么，这题做得一般是错误的.对于①小题，实质上是给了我们焦距及动点到两个定点的距离和.对于②小题，为了解决问题，同样我们需要知道a、b、c中三者中的两个，题中告诉了我们2c〔焦距〕，未明确告给我们2a,但告诉我们椭圆上一个点的坐标，因为椭圆是动点与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，就是说椭圆上任意一个点与给定的两个点的距离和是定值，因为这个点既然在椭圆上，那么它与两个定点的距离和就是2a，这样问题得以解决.［师］下面请同学们看课本，进一步熟悉此题的求解过程，并思考求椭圆的标准方程的关键是什么？怎样表述？〔给学生留出一些时间看书并讨论这两个问题〕［师］好，同学们看了解题过程并进行了讨论，那么谁来谈一下，求椭圆标准方程的方法和步骤.［生］首先，根据题意设出标准方程，其次根据条件确定a、b的值，第三写出椭圆的标准方程.［师］既然是求标准方程，那么设出标准方程不就行了吗？为什么还要根据题意设出标准方程呢？［生］椭圆的标准方程有两种形式，焦点位置不同，其标准方程形式也不一样，根据题意设出标准方程，其实质就是根据焦点的位置，设出标准方程.［师］如果题中未告诉焦点的位置，应该如何去设标准方程呢？［生］如果题中未告诉焦点的位置，那么要根据题意判断能否确定椭圆的焦点位置，假设能，那么设出相应的标准方程即可，假设不能，那么椭圆的焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，这种情况下，椭圆的标准方程就有两种形式，哪一种也不能丢.［师］很好，下面我们再来看一个例子.〔打出投影片8.1.2 B，请一名同学读题〕分析指导：这是一道求动点的轨迹方程的题目，一般地，要用坐标法“三步曲〞：建系、设点；写出代数关系式；化简，但据题意给出的信息，由于△ABC的周长等于16，|BC|=6，可知点A到B、C两点的距离和是常数10，即|AB+BC|=16-6=10，因此点A的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，据此可建立适当的坐标系，求出椭圆的标准方程，所谓“适当〞是指：求出的方程形式结构简单明了，既然我们清楚了轨迹类型，建系之后，就没有必要再用坐标法求动点轨迹方程了，尽可设出方程再依据题设条件确定方程中待定的系数a、b就行了，下面请同学们自己看课本.(给学生几分钟时间，让他们看课本)［师］题解过程中，BC、AB、AC的长度都加了绝对值号，这是不是必要的，为什么？［生］完全有必要，因为解析几何中的线段都是有向线段，表示其长度必须加绝对值号.注意①：解析几何中表示线段长度或两点间距离时，必须在字母的两边加绝对值号. 〔教师板书：注意①〕［师］在求出的方程后面附加了一个条件y ≠0，不附加此条件不行吗？［生］不行，没有此条件，点A 的纵坐标就可以是0，点A 的纵坐标为0时，A 、B 、C 三点就在一条直线上了，不能构成三角形.因此，求出方程之后，要注意须附加y ≠0这个条件.［师］很好，请同学们注意求出曲线的方程之后，要检查一下方程曲线上的点是否都符合题意，如果有不合题意的点，就在所得方程后注明限制条件.〔教师板书，注意②〕［师］再一点，由此题可以看出求满足条件的点的轨迹方程时，假设清楚轨迹类型时可设出其方程，确定方程中参数即可；假设不清楚轨迹类型，再用坐标法.〔教师板书：注意③〕［师］下面，我们来做几个练习题.Ⅲ.课堂练习P 96练习2，32.如果椭圆上13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是.答案：143.写出适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)a =4,b =1，焦点在x 轴上.(2)a =4,c =5，焦点在y 轴上.(3)a +b =10,c =25答案：〔1〕11622=+y x (2)11622=+x y (3)11636116362222=+=+x y y x 或 Ⅳ.课时小结本节课我们讨论学习了求椭圆标准方程的方法，应该注意，求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.另外，求满足条件的点的轨迹方程时，假设不清楚轨迹类型用坐标法，假设清楚轨迹类型那么建立适当的坐标系设出其方程再确定方程中的参数即可.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 96习题8 1、2、3、4、5〔二〕1.预习内容：课本P 95例32.预习提纲：〔1〕点的轨迹方程与点的轨迹有什么不同？〔2〕求满足条件的点的轨迹时需要先干什么？〔3〕点M的轨迹类型清楚吗？此题是如何求点M的轨迹方程的？。
椭圆及其标准方程(第2课时)教案
2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案一、教学目标： 知识与技能：①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程;②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。
过程与方法：①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。
②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观：①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点与难点重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。
难点：掌握求椭圆方程的基本方法。
三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境：如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.（复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案）回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。
由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10的椭圆。
其标准方程是1162522=+x y 回顾旧知：1．椭圆的定义：我们把叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的,两个焦点之间的距离叫做椭圆的，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为。
2．椭圆的标准方程焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为:. 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充：（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义，a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距.有关系式 222c b a += 成立。
3.1.1椭圆及其标准方程(第二课时)课件(人教版)
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
k
y2
16 k
1
新课讲授：
例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，
它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为
3m，求这个椭圆的标准方程．
上一点
P
与椭圆两焦点
F1，F2
连线的夹角为直
角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48 [由题意知||PPFF11||＋ 2＋|P|PFF22|＝|2＝141，00， 由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196， ∴2|PF1||PF2|＝96， ∴|PF1||PF2|＝48．]
学以致用：
1.焦点在 x 轴上，焦距等于 4，且经过点 P(6,0)的椭圆的标准方程是 ________．
3x62 ＋3y22 ＝1 [由已知得2c＝4，a＝6， 所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32， 所以椭圆的标准方程为3x2 ＋ y2 ＝1 49 24
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1
2
2
……②
联立①②可求得：a2 10, b2 6
∴椭圆的标准方程为 y2 x2 1 10 6
P
F2
x
F1
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为
由椭圆的定义知，
2a ( 3 )2 ( 5 2)2
2
2
3 10 1 10
课时作业11：2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
2.1.1 椭圆及其标准方程(二)一、选择题1．平面内，若点M 到定点F 1(0，－1)，F 2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．直线F 1F 2C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线考点 椭圆的定义题点 由椭圆定义确定轨迹答案 C解析 由|MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|知，点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线考点 椭圆的定义题点 由椭圆定义确定轨迹答案 B解析 设右焦点为F 2，由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)考点 椭圆标准方程的求法题点 直接法求椭圆方程答案 A解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ). 由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 B解析 ∵△PF 1F 2的最大面积为12×2c ×b ＝12， 即bc ＝12，又∵c ＝4，∴b ＝3，∴a ＝5，∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1. 5．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 考点 椭圆的定义题点 由椭圆定义确定轨迹答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2 a ·9a ＝6， 当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．6．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 D解析 当l ⊥x 轴时，|AF 2|＋|BF 2|的值最大，此时，|AF 2|＝52， 由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|＝32，|F 1F 2|＝24－b 2. 则|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2，即254＝94＋4(4－b 2)， 解得b ＝ 3.7．长度为2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，点M 分AB 的比为23，则点M 的轨迹方程为( )A.925x 2＋425y 2＝1 B.2536x 2＋2516y 2＝1 C.259x 2＋254y 2＝1 D.3625x 2＋1625y 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法题点 相关点法求轨迹方程答案 B解析 设点M 的坐标为(x ，y )，则A 的坐标为⎝⎛⎭⎫53x ，0，B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，52y . 因为|AB |＝2，所以⎝⎛⎭⎫53x 2＋⎝⎛⎭⎫52y 2＝4，即259x 2＋254y 2＝4， 所以点M 的轨迹方程是259x 2＋254y 2＝4. 即2536x 2＋2516y 2＝1. 8．过已知圆内一个定点作圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．圆或椭圆D ．线段考点 椭圆的定义题点 由椭圆定义确定轨迹答案 C解析 如图，设已知圆的圆心为A ，半径为R ，圆内的定点为B ，动圆的半径为r .若点A 与点B 不重合，由于两圆相内切，则|AC |＝R －r ，由于r＝|BC |，∴|AC |＝R －|BC |⇒|CA |＋|CB |＝R .∴动点C 到两个定点A ，B 的距离和为常数R .∵B 为圆内的定点，∴|AB |<R .∴动点C 的轨迹为椭圆．若A ，B 重合为一点，则此时动点C 的轨迹为以已知圆的半径为直径的圆．二、填空题9．设△ABC 的三个顶点A ，B ，C 对应三边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c (a >b >c )成等差数列，A ，C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，则顶点B 的轨迹方程为_____________________． 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 x 24＋y 23＝1(－2<x <0) 解析 设点B 的坐标为(x ，y )．∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即|BC |＋|BA |＝2|AC |，∴|BC |＋|BA |＝4.根据椭圆的定义易知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1. 又∵a >b >c ，∴a >c ，即|BC |>|AB |，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，∴x <0，∴点B 的轨迹是椭圆的一半，方程为x 24＋y 23＝1(x <0)． 又当x ＝－2时，点B ，A ，C 在同一直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)． 10．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的___________倍．考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 7解析 依题意，不妨设椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，设P 点的坐标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0， 知x 1－32＝0，∴x 1＝3. 把x 1＝3代入椭圆方程x 212＋y 23＝1， 得y 1＝±32， 即P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3，±32，∴|PF 2|＝|y 1|＝32. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝43，∴|PF 1|＝43－|PF 2|＝43－32＝732. 即|PF 1|＝7|PF 2|.11．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ＋3，y )，b ＝(x －3，y )，且|a |＋|b |＝4，则点M (x ，y )的轨迹C 的方程是________________．考点 椭圆标准方程的求法题点 直接法求椭圆方程答案 x 24＋y 2＝1 解析 ∵a ＝(x ＋3，y )，b ＝(x －3，y )，|a |＋|b |＝4，∴(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝4，由椭圆的定义可知，M 点的轨迹是椭圆．则该椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. 12.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 2 3解析 由题意知34c 2＝3，则c ＝2， ∴P (1，3)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1， 得1b 2＋4＋3b2＝1，得b 2＝2 3.三、解答题13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 相关点法求椭圆的方程解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，又P 点在椭圆上， ∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1(a >b >0)． 四、探究与拓展14．已知△ABC 的顶点A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 2解析 ∵A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上， ∴|CA |＋|CB |＝8，|AB |＝4，∴由正弦定理得，sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |＝84＝2. 15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，且a＝2，c＝1的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．。
课时作业15：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2.2.1 椭圆及其标准方程(二)一、选择题1．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．4 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－26．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题7．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m ＝________.8．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．9．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．10．若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________．三、解答题11．已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆，求实数m 的取值范围．12．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．13．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．答案精析1．C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.25 8．62 9.(0，±1) 10.211．解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时，则有5－2m >m ＋1>0，解得－1<m <43； (2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时，则有m ＋1>5－2m >0，解得43<m <52. 综上，m 的取值范围为(－1，43)∪(43，52)． 12．解 设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ⎪⎪|MF |d ＝12， 由此得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12. 将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48，即点M 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1. 13．解 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，得⎩⎨⎧ x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y . ∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， ∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1. 故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是(x －12)2＋4y 2＝1.。
椭圆及标准方程第2课时教学课件PPT
椭圆及标准方程第2课时教学课件PPT不同点标准方程图形焦点坐标共同点定义a、b、c的关系焦点的位置的判定(a>b>0)(a>b>0)项中哪个分母大，焦点就在哪一条轴上。
F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)a最大；b、c大小不确定xOyF1F2MxyOF1F2M?M||MF1|+|MF2|=2a（常数）?（2a>2c）10思考:M为PF1的中点，则|OM|=_________1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程基础练习典例剖析例1：平面内两个定点的距离为8，一个动点M到这两个定点的距离和为10，建立适当的直解坐标系，写出动点M的轨迹方程。
xOyF1 F2M方法一：直接法。
方法二：定义法。
例1：平面内两个定点的距离为8，一个动点M到这两个定点的距离和为10，建立适当的直解坐标系，写出动点M的轨迹方程。
xOyF1F2M解：(直接法)设两定点分别为F1,F2,以F1,F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴，建立坐标系如图。
则F1(－4,0)，F2(4,0)，设M(x,y),由|MF1|+|MF2|=10得：化简得：∴动点M的轨迹方程为：典例剖析例1：平面内两个定点的距离为8，一个动点M到这两个定点的距离和为10，建立适当的直解坐标系，写出动点M 的轨迹方程。
xOyF1F2M解：(定义法)设两定点分别为F1,F2,以F1,F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴，建立坐标系如图。
∴动点M的轨迹方程为：由题意知：点M的轨迹是以两定点为焦点的椭圆。
∵2a=10，2c=8∴a=5，c=4∴b2=a2－c2=25－16=9典例剖析例2已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。
.以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系.所以可设椭圆的标准方程为：BCAyox解：所以,A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.∴所求椭圆的标准方程为：例3.设点A，B的坐标分别为（-3，0），（3，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.xyo例2：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向轴作垂线段PP′，求线段PP′中点M的轨迹。
椭圆及其标准方程(第二课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
点 D为垂足.当点 P在圆上运动时，线段 PD的中点M 的轨迹是什
么？为什么？
| MD | 1 | PD | 2
| MD | k | PD | ( k 0, 且k 1)
y
o
x
例3.如图,设点 A, B 的坐标分别为 ( 5, 0 ) ，( 5, 0 ) ．直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是 4 ，求点M 的轨迹方程．
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a , b , c 的关系
b2 a2 c2
同
点 焦点位置的判断 标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上
3.经过椭圆
x2 y2 25 16
1 的右焦点 F2
作垂直于 x
轴的直线
AB，交椭
圆于A ，B 两点，F1 是椭圆的左焦点.
直接法
明确所求曲线上点的几何特征，将其转化为代数表示，列出方 程并化简，最后检验轨迹上的点是否都符合题意，如有不符合题意 的点，应在方程后注明．
课堂小结
1.椭圆的概念 2.椭圆的标准方程 3.求轨迹方程的三种方法：
直接法、相关点法（代入法）、定义法
作业：课本第115页第6题、第9题
谢谢大家
9
解：设点M的坐标为( x , y ),依题意得
直线
AM
的斜率k AM
y x5
直线 BM 的斜率kBM
y x5
y
y
4
kAM
kBM
x5
x5
9
化简,得点M的轨迹方程为 x2 25
y2 100
1
(x
5) ,
ห้องสมุดไป่ตู้
椭圆的标准方程(第二课时)
椭圆的标准方程（第二课时）教学目标：1、能根据已知条件求椭圆的标准方程；2、 能根据给出的曲线方程判定曲线是否是椭圆； 教学重点:1、建立曲线方程的基本步骤；2、掌握椭圆的标准方程及其应用；教学难点: 1、建立曲线方程的基本步骤；2、掌握椭圆的标准方程及其应用；教学过程:（一）、复习引入1．椭圆的定义： ；2．求下列椭圆的的焦点坐标：（1）221312x y += ：1F ，2F ；（2）4222=+y x ：1F ，2F ； （二）、例题讲解：例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）3,5==b a ： ；（2）一个焦点为)0,4(2F ，且经过点)3,0(： ；例2．已知椭圆经过点)2,2(-和)214,1(-，求它的标准方程；例3．已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的焦点，P 为椭圆上的一点，且21PF PF ⊥， 则21PF F ∆的周长为 ，面积为 ；练习：已知21,F F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且321π=∠PF F ， 求21PF F ∆的周长和面积；例4．将圆422=+y x 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线；练习：设动点P 到点)0,1(F 的距离是到直线9=x 的距离的31，求点P 的轨迹方程，并判断此轨迹是什么图形；（三）、课堂小结：（四）、课后作业 姓名 班级 学号1、经过点)1,32(),2,3(--N M 的椭圆的标准方程是 ；2、过点)2,3(-且与椭圆369422=+y x 有相同焦点的椭圆方程为 ；3、两个焦点坐标分别是()()5,0,5,0-，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26，则椭圆的标准方程为4、求焦距是2，且过点)0,5(-P 的椭圆的标准方程为 ；5、椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于___________；6、过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的三角形2ABF ∆的周长为 ；7、椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若△12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为___________________；8、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点)62,3(-M ；（2）经过)23,2(),22,2(---B A 两点；（3）52,10==+c b a9、已知椭圆方程为11922=-+-k y k x ，求满足下列条件的k 的取值范围： （1）焦点在x 轴上； （2）焦点在y 轴上； （3）焦点在坐标轴上；10、已知P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，21,F F 是两个焦点，且02130=∠PF F ， 求21PF F ∆的面积；11、ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AC AB ,的斜率的乘积是94-，求顶点A 的轨迹方程；。
课时作业4：2.5.1 第2课时 椭圆及其标准方程的综合问题
第2课时 椭圆及其标准方程的综合问题课时对点练1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 等于( ) A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．2答案 C解析 由题意得2c ＝2，得c ＝1，当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，因为a 2＝b 2＋c 2，所以m ＝4＋1＝5，当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，因为a 2＝b 2＋c 2，所以4＝m ＋1，解得m ＝3，综上，m ＝3或m ＝5.2．已知椭圆C 经过点A (－5,0)，B (0,4)，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 25＋y 24＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 225＋y 29＝1 答案 B解析 因为椭圆C 经过点A (－5,0)，B (0,4)，所以a ＝5，b ＝4，且焦点在x 轴上，所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1. 3．已知点F 为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的右焦点，点P 为椭圆C 与圆(x ＋2)2＋y 2＝16的一个交点，则|PF |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．2 5答案 A解析 由题意，点F 为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的右焦点， 则F (2,0)，左焦点为F 1(－2,0)，圆(x ＋2)2＋y 2＝16的圆心坐标为(－2,0)，半径为4，可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，又由P 为椭圆C 与圆(x ＋2)2＋y 2＝16的一个交点，根据椭圆的定义可得|PF |＋|PF 1|＝2a ＝6，|PF 1|＝4，所以|PF |＝2a －|PF 1|＝6－4＝2.4．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 答案 B解析 由△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，可得|AB |＋|AC |＝12>|BC |， 所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中2a ＝12,2c ＝8，所以a ＝6，c ＝4.所以b 2＝36－16＝20，方程为x 220＋y 236＝1. 因为A ，B ，C 三点构成三角形，三点不能共线，所以x ≠0，故点A 的轨迹方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)． 5．已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点为F ，点P 在椭圆上，若|PF |＝32，则点P 的横坐标为( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－32 D.32答案 D解析 因为椭圆C ：x 23＋y 22＝1， 所以a 2＝3，b 2＝2，所以c 2＝1，所以F (1,0)，设P (x 0，y 0)，则|PF |＝(x 0－1)2＋y 20＝32， 又x 203＋y 202＝1，解得x 0＝92或x 0＝32， 而－3≤x 0≤3，所以x 0＝32. 6．(多选)已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 216＋y 29＝1 C.x 29＋y 216＝1 D.x 212＋y 216＝1答案 AD解析 依题意，不妨令|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，且△PF 2F 1为直角三角形，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝52－32＝16，∴|F 1F 2|＝4，∴c ＝2，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12，又椭圆的焦点位置不明确，故所求的椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或x 212＋y 216＝1. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，c a ＝33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为________________．答案 x 23＋y 22＝1 解析 由题意知4a ＝43，即a ＝3， 又因为c a ＝33，所以c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 8．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，又∵|MF |＝2，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a ＝4，c ＝15，焦点在y 轴上；(2)a ＝23，经过点A (－3，－1)，焦点在x 轴上；(3)经过点(0,2)，且焦距为2.解 (1)由a ＝4，c ＝15，得b 2＝a 2－c 2＝1，∵焦点在y 轴上，∴其标准方程为y 216＋x 2＝1. (2)根据条件设所求椭圆的标准方程为x 212＋y 2b 2＝1(0<b <23)， 由A (－3，－1)在椭圆上，则912＋1b 2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1. (3)由题意得c ＝1，若焦点在x 轴上，则b ＝2，∴a ＝5，∴椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1， 若焦点在y 轴上，则a ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. 10．已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A (2,3)，且点F (2，0)为其右焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是(1)中所求椭圆上的动点，求PF 的中点Q 的轨迹方程．解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 若点F (2,0)为其右焦点，则其左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4， 又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，∵Q 为PF 的中点，∴⎩⎨⎧ x ＝x 0＋22，y ＝y 02⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ， 又P 是x 216＋y 212＝1上的动点， ∴(2x －2)216＋4y 212＝1，即Q 点的轨迹方程是(x －1)24＋y 23＝1.11.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1 答案 C解析 由题意可得该椭圆的半焦距c ＝25，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 取椭圆的右焦点F 1(25，0)，连接PF 1，如图，因为|OP |＝|OF |， 所以|OP |＝|OF 1|，所以PF ⊥PF 1，又|PF |＝4，|FF 1|＝45，所以|PF 1|＝|FF 1|2－|PF |2＝8，所以2a ＝|PF |＋|PF 1|＝12，即a ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝16，所以椭圆方程为x 236＋y 216＝1. 12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝22，P 是C 上一点，若|PF 1|－|PF 2|＝a ，且sin ∠PF 1F 2＝13，则椭圆C 的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 26＋y 23＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.x 24＋y 22＝1答案 D解析 因为|F 1F 2|＝22，所以c ＝ 2 ，P 是C 上一点，由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又|PF 1|－|PF 2|＝a ，所以|PF 1|＝3a 2，|PF 2|＝a 2， 又sin ∠PF 1F 2＝13，则cos ∠PF 1F 2＝223， 所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos ∠PF 1F 2，即⎝⎛⎭⎫a 22＝⎝⎛⎭⎫3a 22＋8－2×3a 2×22×223， 整理得a 2－4a ＋4＝0，解得a ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. 13．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1 B.y 29＋x 24＝1 C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)， 由OM →＝35OA →＋25OB →， 可得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)， 则⎩⎨⎧ x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝53x ，y 0＝52y ，因为|AB |＝5，所以⎝⎛⎭⎫53x 2＋⎝⎛⎭⎫52y 2＝25，即x 29＋y 24＝1. 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则sin A ＋sin C 2sin B ＝________. 答案 56 解析 由椭圆的方程得a ＝5，b ＝4，c ＝3.∵△ABC 的顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 216＝1上， ∴|BC |＋|AB |＝2a ＝10，∴由正弦定理可知sin A ＋sin C 2sin B ＝|BC |＋|BA |2|AC |＝2a 4c ＝56.15．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝32|BF 2|，|BF 1|＝2|BF 2|，则椭圆C 的方程为__________．答案 x 25＋y 24＝1 解析 设|BF 2|＝2m ，则|AF 2|＝3m ，|BF 1|＝4m ，由椭圆定义知|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝6m ，所以|AF 1|＝6m －3m ＝3m ，所以|AF 1|＝|AF 2|，故点A 为椭圆的上(下)顶点，设A (0，±b )，由AF 2—→＝32F 2B —→，得B ⎝⎛⎭⎫53，±23b ， 又点B 在椭圆上，故259a 2＋49b 2b2＝1， 解得a 2＝5，又由c ＝1，可得b ＝2，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 16．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程． 解 圆A 的方程整理可得(x ＋1)2＋y 2＝16，点A 的坐标为(－1,0)，如图所示，因为|AD |＝|AC |，所以∠ACD ＝∠ADC .因为EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC .所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)．|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且2a ＝4，c ＝1， 所以a 2＝4，b 2＝3，所以点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．。
课时作业4：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用课时对点练1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 答案 A解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．2．直线x ＋4y ＋m ＝0交椭圆x 216＋y 2＝1于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为1，则m 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 A解析 ∵x ＋4y ＋m ＝0，∴y ＝－14x －m 4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 2116＋y 21＝1，x 2216＋y 22＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 216(y 1＋y 2)＝－14. ∵AB 中点的横坐标为1，∴纵坐标为14， 将⎝⎛⎭⎫1，14代入直线y ＝－14x －m 4，解得m ＝－2. 3．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( )A.159B.259C.2959D.3059答案 A解析 设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由题意可得a －c a ＋c ＝2930， 整理得a ＝59c ，即c a ＝159. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是159. 4．(多选)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( )A ．－22B ．－12 C.12 D.22答案 AD解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， ∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 5．经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32且与椭圆x 24＋y 2＝1相切的直线方程是( ) A ．x ＋23y －4＝0B ．x －23y －4＝0C ．x ＋23y －2＝0D ．x －23y ＋2＝0 答案 A解析 显然当x ＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当斜率k 存在时，设直线方程为y －32＝k (x －1)，与椭圆的方程联立得⎩⎨⎧ y －32＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1，得到(1＋4k 2)x 2＋4kx (3－2k )＋4k 2－43k －1＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝0，即[4k (3－2k )]2－4×(1＋4k 2)×(4k 2－43k －1)＝0，解得k ＝－36，∴切线方程为x ＋23y －4＝0. 6．已知过圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m ＋y 0y n ＝1.过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)作椭圆的切线l ，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －2＝0C ．2x ＋3y －3＝0D ．3x －y －10＝0答案 B解析 过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)的切线l 的方程为3x 12＋(－y )4＝1，即x －y －4＝0，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为－1，故过A 点且与直线l 垂直的直线方程为y ＋1＝－(x －3)，即x ＋y －2＝0.7．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_____________________________．答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)， 与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7， 所以椭圆的长轴长为27.8．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________．答案 9x ＋y －5＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为点A ，B 在椭圆上，所以y 219＋x 21＝1，① y 229＋x 22＝1.② ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＋(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.③ 因为P ⎝⎛⎭⎫12，12是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0.9．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0， 消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0， 得⎩⎨⎧ x ＝－83，y ＝13，即P ⎝⎛⎭⎫－83，13. 10．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解 (1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)， 化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)．即点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)．(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，易知此时线段CD 的中点不是N ，不符合题意． 当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，将点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)的坐标代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得2x 21＋y 21＝2，①2x 22＋y 22＝2，②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1， 故直线l 的方程为y －1＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.11．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点的直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ， 消去y ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n. 由题意知y 0x 0＝22，∴m n ＝22. 12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.13答案 C解析 椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，可得2b 2a＝cos 60°，即a ＝2b ， 所以e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝32. 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相切，若椭圆C 的右焦点F (c ,0)关于直线l ：y ＝c bx 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( ) A.12 B.32C ．1D ．2 答案 C解析 联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E (图略)，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF .又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a， 所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a. 在Rt △F ′EF 中，由|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，c 2＝2.所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1. 14．已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程为________．答案 x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－43<x <43 解析 设斜率为2的直线与椭圆x 22＋y 2＝1交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点为M (x ，y )，由点差法可知，k ＝2＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12×x y ， 即x ＋4y ＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴x 22＋⎝⎛⎭⎫－x 42<1，解得－43<x <43. ∴所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－43<x <43.15.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F ，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F 为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫35，1B.⎝⎛⎦⎤0，35C.⎝⎛⎦⎤0，45D.⎣⎡⎭⎫45，1 答案 B解析 当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．如图，AB 为长轴，F 为焦点时，e 最大，a ＋c ＝|BF |＝|BG |＝2，易知b ＝1，所以⎩⎨⎧ a ＝54，c ＝34，则e ＝c a ＝35，则离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，35.16．如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)和y 2b 2＋x 281＝1(x ≥0)组成，其中a >b >9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y ＝t (t ∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．解 (1)由题意知b ＝15，a ＋9＝34，解得a ＝25，b ＝15.所以“挞圆”方程为x 2252＋y 2152＝1(x ≤0)和y 2152＋x 292＝1(x ≥0)． (2)设P (x 0，t )为矩形在第一象限内的顶点，Q (x 1，t )为矩形在第二象限内的顶点， 则t 2152＋x 2092＝1，x 21252＋t 2152＝1， 可得x 1＝－259x 0. 所以内接矩形的面积S ＝2t (x 0－x 1)＝2t ×349x 0＝15×34×2·x 09·t 15≤15×34⎝⎛⎭⎫x 2092＋t 2152＝510， 当且仅当x 09＝t 15时，S 取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510 m 2.。
课时作业5：2.5.2 第二课时 椭圆方程及性质的应用
第二课时 椭圆方程及性质的应用一、选择题1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( ) A.8，6 B.4，3 C.2， 3 D.4，23答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为2b 2a ＝3.2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A.a 2＝25，b 2＝16 B.a 2＝9，b 2＝25C.a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D.a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上， 即有a ＝5，b ＝3.3.方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是( )A.m >12B.m >12且m ≠1C.m >1D.m >0答案 C解析方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎨⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，即m >12且m ≠1，所以方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m >1，故选C.4.(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A.椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B.椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C.|PQ |＝233D.△PF 2Q 的周长为43 答案 ACD解析 由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3.∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，又|PQ |＝2b 2a ＝23＝233.△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.5.如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B.2－ 3C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得 |MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 二、填空题6.已知A (－1，0)，C (1，0)是椭圆C 的两个焦点，过C 且垂直于x 轴的直线交椭圆于M ，N 两点，且|MN |＝3，则椭圆的方程为________；若B 是椭圆上一点，则△ABC 的最大面积为________. 答案 x 24＋y 23＝13解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，令x ＝c ，则y ＝±b 2a ，由|MN |＝3，得2b 2a ＝3，又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，结合椭圆知当B 点为椭圆与y 轴交点时，S △ABC 的面积最大，此时S △ABC ＝12×2×3＝ 3.7.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点.若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________. 答案 x 29＋y 26＝1解析 设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，如图所示，因为△F 2AB 是面积为43的等边三角形，所以12|AB |2×sin π3＝34|AB |2＝43，解得|AB |＝4，即△F 2AB 是边长为4的等边三角形， 该三角形的周长为12＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ， 可得a ＝3，由椭圆的对称性可知，点A ，B 关于x 轴对称， 则∠AF 2F 1＝π6且AB ⊥x 轴， 所以|AF 2|＝2|AF 1|＝4，∴|AF 1|＝2，∴2c ＝|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝23， ∴c ＝3，则b ＝a 2－c 2＝6，因此椭圆C 的标准方程为x 29＋y 26＝1.8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________答案 (2，4] 解析 ∵e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，b ＝1，0<e ≤32，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤32， 则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 三、解答题9.分别求满足下列条件的椭圆标准方程.(1)中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－2，0)，(2，－1)； (2)离心率e ＝22，且与椭圆y 216＋x 212＝1有相同焦点. 解 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由⎩⎨⎧4m ＝1，2m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝12.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由于所求椭圆与椭圆y 216＋x 212＝1的焦点相同，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 则c 2＝16－12＝4，所以c ＝2， 由e ＝c a ＝2a ＝22，得a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.10.已知点A (4，0)，B (2，2)，椭圆x 225＋y 29＝1，M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最小值和最大值.解 由已知得A (4，0)是椭圆的右焦点，设左焦点为F (－4，0). 根据椭圆的定义，得|MA |＋|MB |＝2a －|MF |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF |. 因为||MB |－|MF ||≤|FB |＝210， 所以|MB |－|MF |∈[－210，210]，故|MA |＋|MB |的最小值和最大值分别为10－210和10＋210.11.(多选题)如图所示，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A.a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)B.a 1－c 1＝a 2－c 2C.a 1c 2>a 2c 1D.e 1＝e 2＋12答案 ABD解析 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心， 可得2a 2＝a 1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点， 可得a 2＋c 2＝c 1.所以a 1＋c 1＝2a 2＋a 2＋c 2， 又a 2>c 2，所以a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)，所以A 正确；因为a 1－c 1＝2a 2－(a 2＋c 2)＝a 2－c 2，所以B 正确；因为a 1c 2＝2a 2c 2，a 2c 1＝a 2(a 2＋c 2)＝a 22＋a 2c 2，则有a 1c 2－a 2c 1＝2a 2c 2－a 22－a 2c 2＝a 2(c 2－a 2)<0，所以C 错误；因为e 1＝c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝e 2＋12，所以D 正确.12.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.2－ 3 C.5－2 D.6－3答案 D解析 设AF 1＝x ，则AB ＝x ，BF 1＝2x ，于是x ＋x ＋2x ＝4a ，解得x ＝(4－2 2 )a ，于是AF 2＝2a －(4－2 2 )a ＝(22－2)a ，由勾股定理得[(4－2 2 )a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2，整理得e 2＝c 2a 2＝9－62，所以e ＝9－62＝9－218＝6－3，故选D.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，求椭圆的离心率. 解 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 2F 1＝π6，∴∠F 1MF 2＝π－π3－π6＝π2，即F 1M ⊥F 2M ，∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴ca ＝21＋3＝3－1.14.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值；(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值. 解 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”， 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4， 即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去， ∴λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， |PF 1|＋|PB |＋|BF 1|≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.。