地球椭球的基本几何参数及相互关系

§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系
7.1.1地球椭球的基本几何参数
地球椭球
参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。

地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。

有关元素
O 为椭球中心；
NS 为旋转轴；
a 为长半轴；
b 为短半轴；
子午圈（或径圈或子午椭圆）；
平行圈（或纬圈）；
赤道。

旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率： α=-a b a (7-1)
椭圆的第一偏心率： a
b a e 22-= (7-2) 椭圆的第二偏心率： b b a e 22 -=' (7-3)
其中：a 、b 称为长度元素；
扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。

e 和e /是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。

五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b ），人们习惯于用a 和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。

引入下列符号：
b
a c 2
= tgB t =
B e 222cos '=η (7-4)
式中B 为大地纬度，c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数， B e V B
e W 2222cos 1sin 1'+=-= (7-5)
传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。

由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成
为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。

长半经变化于6378135m ～6378145m 之间，扁率分母变化于298.25～298.26之间，可见精度已很高。

比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的有： 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS 应用的是WGS-84系椭球参数。

7.1.2地球椭球参数间的相互关系
由(7-2)和(7-3)式得：
2222
a b a e -= 22
22b
b a e -=' 2221a b e =- 22
21b a e ='+ 并得：
1)1)(1(22='+-e e (7-6)
推得： 222
1e e e '
+'= 22
21e e e -=' (7-7) 同理可得：
221 1e a b e b a -=+=
2211e c a e a c -='+=
221 1 e e e e e e -'='+=' 2211e V W e W V -='+= (7-8) e 2222=-≈ααα 还有(7-9)式。