江西省重点中学协作体2006届高考第一次联考数学试卷(理科)

江西省重点中学协作体2006届高考第一次联考
数学试卷(理科)
命题人: 九江一中 江民杰 审题人: 九江一中 段训明 2006. 2. 9
一、选择题(12×5分＝60分)
1. 复数Z=
i -11
的共轭复数是( ) A. 21－21i B. －21+21i C. 21+21i D. －21－2
1i
2. (4x 2－2x －5)(1－21
x
)4的展开式中, 常数项为( )
A. 21
B. －5
C. －16
D. －21 3. 设集合A=[－
2π
, π], B=[－1, 1], f: x →sinx 是从集合A 到集合B 的映射, 则在映射f 作用下, 像2
1
的原像有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 在首项为81, 公差为－7的等差数列{a n }中, 值最接近零的项是( )
A. 第11项
B. 第12项
C. 第13项
D. 第14项
5. 圆x 2
+y 2
－4x －2y+c=0与y 轴交于A 、B 两点, 圆心为P, 若∠APB=900
, 则c 的
值为( )
A. －8
B. 8
C. －3
D. 3
6. 已知f(x)=lg(a x
－b x
), 当a>1>b>0时, f(x)在(1, +∞)的值恒大于零, 则a 、b 应满足
的充要条件是( )
A. a －b ≥1
B. a －b>1
C. a －b=1
D. 0<a －b<1
7. 设m 、n 是两条不重合的直线, α、β是两个不重合的平面, 则下列四个命题:
(1) 若m ⊥n, m ⊥α, n ⊄α, , 则n ∥α (2) 若m ∥α, α⊥β, 则m ⊥β (3) 若m ⊥β, α⊥β, 则m ∥α和m ⊂α (4) 若m ⊥n, m ⊥α, n ⊥β, 则
α⊥β. 其中正确的命题是( )
A. 仅(1)
B. (2), (3)
C. (2), (4)
D. (1), (3), (4) 8. 已知∞
→n lim (1+
n 1)n =e(e 为常数), 则∞→n lim (1+n
21)n 等于( )
A. 1
B. e
C.
e D. e 2
9. 函数f(x)=21x +, 若a>b>c>0, 则
a a f )(,
b b f )(, c
c f )
(的大小关系是( )
A. a a f )
(<b b f )
(<c c f )
( B. a a f )(>b b f )(>
c c f )
( C. b
b f )(>
a
a f )
(>c c f )
( D. a a f )(>c
c f )(>
b
b f )
( 10. 已知非零向量→
a 、→
b 不共线, 令p=|→
a －→
b |, g=|→
a －t →
b |(t ∈R 且t ≠1), 若(→
a －
→
b )·→
b =0, 则( )
A. p<g
B. p=g
C. p>g
D. 不能确定
11. 曲线y=x 3过点(
3
2
, 0)的切线的方程是( ) A. y=0 B. 3x －y －2=0 C. y=0或3x －y －2=0 D. x=0和3x －y －2=0 12. 在100, 101, 102, …, 999这些数中, 各位数字按严格递增或严格递减顺序排列的数
共有( )
A. 216个
B. 204个
C. 168个
D. 120个
二、填空题(4×4分=16分)
13. 已知实数x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤≥++0634202y x y y x , 则集合A={(x, y)| x 2+y 2≤r 2, r>0}表示的图
形面积的最大值是______________
14. 若不等式|x －1|<a 2
+a+1成立的充分条件是0<x<4, 则实数a 的取值范围是
______________
15. 数列{a n }中, 从第二项起每一项与前一项的差成等比数列, 则称该数列为差等比数
列. 现已知a 1=1, 若差数列公比为1, 差数列首项为2, 则a n =_____________ 16. 设→
a =(cosx －sinx, 2sinx), →
b =(cosx+sinx, cosx), f(x)=→
a ·→
b , 给出下列四个命题: (1) 函数在区间[8π,8
5π
]上是减函数; (2) 直线x=
8
π
是函数图象的一条对称轴; (3) 函数f(x)的图像可由函数y=2sin2x 的图像按→
a =(－4
π
, 0)平移而得到; (4) y=|f(x)|的最小正周期是π.
其中正确的命题序号是_________________
三、解答题
17. (本小题12分)
△ABC 中, AB=3, AC=4, ∠BAC=600. (1) 求cos ∠ABC; (2) cos(∠ABC+x)=－
13
10
(－π<x<0), 求cosx.
18. (本小题12分)
如图, A 、B 两点由5条连线并联, 它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,
3, 4, 3, 2, 现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ. (1) 求ξ的分布列及数学期望;
(2) 把ξ≥10的并联网称为信息畅通, 把ξ=8或9的并联网称为信息基本畅通, 试
如图, 已知多面体ABCDE中, AB⊥平面ACD, DE⊥平面ACD, AC=AD=CD=DE=2a, AB=a, F为CD的中点.
(1)求证: AF⊥平面CDE;
(2)求异面直线AC、BE所成角余弦值的大小;
(3)求平面BCE和平面ACD所成锐二面角的大小.
20.(本小题12分)
设f(x)=ln(x+m), x∈[2－m, +∞), x=α是方程f(x)=x的一根.
(1)求f(x)－2x的最大值;
(2)定理: 设f(x)定义域为I, 对任意[a, b]⊆I, 存在x0∈[a, b], 使等式f(b)－
f(a)=(b－a) · f/(x
0). 求证: 方程f(x)=x有唯一解x=α.
已知F 1(－1, 0), F 2(1, 0), 点P 满足|1PF |+|2PF |=42. (1) 写出点P 的轨迹C 1的方程;
(2) 曲线C 2上点M 满足: |MF 1|=d+1, d 表示M 点到曲线C 1的左准线的距离, 过
点F 1的直线l 交曲线C 2于A 、B 两点, 且△ABF 2被x 轴分成的两个三角形面积比
2
121F BF F AF S S ∆∆=λ(
2
1
≤λ≤3), 求直线l 的倾斜角的取值范围.
正项数列{a n }满足a 1=1, n·a 2
n +(n －1) ·a n ·a 1-n －a 2
1-n =0(n ≥2) (1) 求a 2, a 3, a 4及a n ;
(2) 试确定一个正整数N, 使当n>N 时,
不等式a 1+a 2+2a 3+3a 4+…+(n －1) ·a n >121
241
成立; (3) 求证: (1+
n
1)n
<1+a 1+a 2+ … +a n .
参考答案
一、选择题(12×5分＝60分) ADBCC ADCAA CB 二、填空题(4×4分=16分)
13. 2π; 14. －2≤a ≤－1或0≤a ≤1; 15. a n =2n+1(n ∈N*) 16. (1), (2) 三、解答题(共6小题, 总分76分) 17. (1)BC=
BAC AC AB AC AB ∠⋅⋅-+cos 222=13 …………2分
cosB=BC AB AC BC AB ⋅-+2222=13
1>0 …………………5分
(2) ∵cosB>0, ∴B 为锐角, sinB=
13
32 ………7分
∵－π<B+x<
2
π
, cos(B+x)=－1310 < 0
∴－π<B+x<
2
π
, ∴sin(B+x)=－133 ………9分
∴cosx=cos[(B+x)－B]= … =－
13
10
6+ ………12分 18. (1) P(ξ=7)=351222C C C =51, P(ξ=8)= 3
5
12221122C C C C C +=101
, P(ξ=9)=35111212C C C C =52, P(ξ=10)=3
5
1
122C C C =101
…………7分 E ξ=8.4 …………8分
(2) 信息畅通的概率P 1=P(ξ=10) =
10
1
…………10分 信息基本畅通的概率P 2=P(ξ=8或ξ=9)=10
7
………12分
19. (1) ∵DE ⊥平面ACD, ∴DE ⊥AF
又∵AC=AD=CD, F 为CD 的中点
∴AF ⊥CD ∴AF ⊥平面CDE ………4分 (2) 取DE 的中点G , 连AG 、CG ,
则∠CAG 或其补角就是异面直线AC 、BE 所成角 …………6分
由题设可以求出: CG=AG =5a, AC=2a
∵cos ∠CAG=AG
AC CG AG AC ⋅-+2222=55
∴异面直线AC 、BE 所成角的余弦值为
5
5
………8分 (3) 延长DA 、EB 交于H 点, 连CH, 则CH ∥AF,
又由AF ⊥平面DCE, 故HC ⊥平面DCE,
从而∠DCE 就是平面BCE 和平面ACD 所成锐二面角 ………10分 由平面几何知: △CDE 为等腰直角三角形
∴∠DCE=450
∴平面BCE 和平面ACD 所成锐二面角为450
…………12分. 注: 采用向量法求解答题各小问的得分给出相应分数.
20. (1) 令g(x)=f(x)－2x=ln(x+m)－2x, 则g /(x)=
m
x +1
－2 ………2分 ∵x ≥2－m ∴x+m ≥2 ∴m x +1
≤2
1 从而g /(x)=
11+x －2≤2
1
－2<0 ………4分 ∴g(x)在[2－m, +∞)上单调递减
∴x=2－m 时,
g(x)=f(x)－2x 最大值=ln(2－m+m)－2(2－m)=ln2+2m －4 …………6分 (2) 假设f(x)=x 还有另一解x=β(α≠β) 由假设知
β－α=f(β)－f(α)=f /(x 0)·(β－α) x 0∈[2－m, +∞) ……………8分
故f /
(x 0)=1, 又∵f /
(x 0)=
m x +01≤2
1
<1 矛盾 …………11分
故f(x)=x 有唯一解x=α ………12分
21. (1) P 的轨迹椭圆C 1: 82x +7
2
y =1 ……………4分
(2) 椭圆C 1的左准线方程为x=－8, F 1(－1, 0),
由|MF 1|=d+1知曲线C 2是以F 1(－1, 0)为焦点, x=－9为准线的抛物线
故C 2的方程为: y 2
=16(x+5) …………… 6分 设l : x=ay －1, A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),
由⎩⎨⎧+=-=)5(1612x y ay x 消去x 得y 2
－16ay －64=0, 2
121F BF F AF S S ∆∆=λ⇔
1
1
BF AF =λ 即1AF =λ2BF 于是: y 1=－λy 2 ① 又y 1+y 2=16a ② y 1·y 2=－64 ③, 由①②③消去y 1, y 2得: a 2
=
41(λ+λ
1
－2), (21≤λ≤3) ………9分
当
21≤λ≤1时, a 2∈[0, 8
1], 当1≤λ≤3时, a 2∈[0, 3
1
],
∴a 2∈[0, 3
1
] ……………10分
从而当a=0时, 倾斜角为2
π
,
当a ≠0时, k 2=21a
≥3故k ≥3或k ≤－3, 倾斜角α∈[3π, 2π)⋃(2π, 32π
],
故倾斜角范围为: [3π,3
2π
] ………………12分
22. (1) n·a 2
n +(n －1) ·a n ·a 1-n －a 2
1-n =0⇒(n ·
1-n n a a －1)(1
-n n a a
+1)=0, 又∵a 1-n >0, a n >0, 故
1-n n a a =n
1
, a 1=1 …………2分 a 2=
21=!21, a 3=!31, a 4=!41, …, a n =!
1
n ………4分 (2) 由(k －1)a k =
!1k k -=)!1(1-k －!
1
k (k ≥2), a 1+a 2+2a 3+3a 4+…+(n －1) ·a n =1+(
!11－!21)+(!21－!31)+ … +()!1(1-n －!1n )=2－!
1
n …… 6分
从而有2－!1n >121
241
, ∴
!1n <121
1, 即n ！>121, ∵5！=120, 6！=720,
∴n>5取N=5, n>N 时, 原不等式成立. …………8分 (3) (1+
n
1)n
展开式通项: T 1+r =C r
n ·(n
1)r
=n n ·n n 1-·n n 2-· … ·n r n 1+-·!1r <!1r (r=0, 1, 2, 3, …, n)…………12分 (1+n 1)n <!01+!11+!21+!31+ … +!
1
n =1+a 1+a 2+ … +a n ……14分。