外接球问题四种模型

第四种模型关键是算对两个面的半径。 三角形AMN可以用正玄定理，底面是 等腰梯形，而且对角线垂直于腰。
l MN 2
3
,
MN sin 60
2r1
r1
2
BN
NC, CMLeabharlann BM , r2BC 2
2
3
r12
r2 2
( l )2 2
R2
22 (2 3)2 ( 2 3 )2 13 S 52
外接球问题四种 模型
模型1 长方体外接球问题
• 已知长方体的长宽高分别为a、 b、c，则长方体外接球直径 的平方等于长宽高的平方和。
•a2 b2 c2 (2R)2
一般题目不会直接告诉你是长方体的 外接球类型，必须自己去类比分析， 只要出现两两垂直的三条棱都可以用。
例1.在棱锥P-ABC中，侧棱 PA、PB、PC两两垂直，Q 为底面
侧棱记做 l ，此处将底面 h2 l 2 r 2
小圆半径记做 r
h2 (2 5)2 22 h 4
(h R)2 r2 R2
(4 R)2 22 R2 R 5 4R2 25
2
例4
r 2 2
h 2 2
代入公式可得 R 2 2
V 1 sh 2
3
3
模型3 一条棱垂直于底面
a2 b2 c2 50
正四面体就可以放入正方体之中，利用类似方法可以很快求出正四面体外接球半 径
每条侧棱都相等的棱柱，每条侧棱可以看做同一个圆锥的母线， 所以棱锥顶点,球心，底面小圆圆心三点共线。
底面圆半径可以用正玄定理 a 2R sin A
23 sin 60
2r
r
2
棱锥的高可以用勾股定理
∆ABC内一点，若点Q 到三条侧棱的距离分别为2、2、 ，则
以线段PQ为直径的球的表面积为
.
22
8
到三条侧棱的距离恰好是以PQ为对角线的
长方体三个相邻面上的三条对角线，则可 得
a2 b2 22 a2 c2 22
a2 b2 c2 8
b2 c2 (2 2)2
此题可改为Q到三个侧面的距离。做题时多 利用长方体，可简化问题。
例2 四面体ABCD中，已知AB=CD= 29 ， AC=BD= 34，AD=BC= 37 。则四面体ABCD 的外接球的表面积为 50
在长方体中恰好存在相 对棱相等的四面体，三 条棱恰好可作为长方体 的三条对角线
a2 b2 ( 29)2
a2 c2 ( 34)2 b2 c2 ( 37)2
2
结束语
谢谢大家聆听！！！
12
利用第三种模型： l 3, r 2 ( 3 )2 ( 2 )2 5 R2 S 5
2 2 24
模型4 两个面垂直
如图，侧面PAC⊥底面ABC。侧面圆心， 球心，底面圆心，公共棱中点恰好构成
矩形，利用勾股定理可得外接球半径。
r12
r2 2
( l )2 2
R2
这种类型不是很常见，常以折叠成直二面角形式出现
一条棱垂直于底面时，如图可构造矩形，利用勾股定理。棱
r 锥垂直于底面的棱记为 l ，棱锥底面外接圆半径记做 ，
( l )2 r2 R2 2
当底面三角形是直角三角形时也可以用构造长方体的方法。
此题可用第一种模型构造长方体，两两垂直的棱刚好是长方体的三条 棱。也可以用第三种模型。
构造长方体： a 1,b 1,c 3 12 12 ( 3)2 4R2 5 S 5