学而思初一数学暑假班第3讲.有理数四则运算.教师版

定义示例剖析
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对
值相加.
♦♦♦
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值♦♦♦
较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的♦♦♦♦
绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数. 3 5 8
5 3 5 3 2 3 0 3
有理数加法的运算步骤：
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：
①确定和的符号；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.
有理数加法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式.
②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.
③多个加数相加时，若后互为相反数的两个数，可先结合相加得零.
④若后可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
⑥符号相同的数可以先结合在一起.
有理数加法的运算律：
①两个数相加，交换加数的位置，和小艾.
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相
加，和/、变. abba (加法交换律)
(a b) c a (b c)(加法结合律)
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
♦♦♦
有理数减法的运算步骤：a b a ( b)(减法法则)
模块一有理数的加减法
（北京师范大学附属实验）
【解析】⑴
24;⑵1;⑶
3.
2
【例3】计算：
⑴ 7.34 12.74 12.34 7.34 ⑵ 31
5.5 11
31
3 3 2
⑶ 3
4
| 15|
7
⑷ 2 3 J 3 2 2
3 4 2 4
3
①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行 运算.
有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
3 0.15 9 5 11 ( 3) ( 0.15) ( 9) ( 5) ( 11)
它的含义是正 3,负0. 15,负9,正5,负11的和.
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则
转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加 号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.
【例1】计算：
-
3
⑴ 7.5 3-
⑵
7.5
【解析】⑴11.1;⑵11.1;⑶
23
3
【例2】计算：
33 5
53
（人大附中期中）
4
3 4 3
- 3 2
⑸ 6- 24 4 — 16 6.8 3.2
5 5
_ ___ 一 一 ，、
1 【解析】⑴
0.4;⑵ 7;⑶1; (4)—
2
11 + 192+ 1993+19994 + 199995 + 1999996 + 19999997 + 199999998 + 1999999999
9+8+ 7+ 6+5 + 4+3+2 + 1,依次与各数配对相加，得: =20+ 200+ 2 M03 +2M04 + …+ 2 M09-(9+8+7+6+5 +4+ 3+2+1) =2222222220-45 =2222222175.
(4) 1 1
2 (1 2 3
(4 25 6 1
1 3 1
2 1 L
19 4 20 1 59 3 59
1 5 - I 30
—) 60 3 一) 60
41 6 - 42 (2 3 1 7 - 56 2 2 4 5
58 (59 71 8 72 59 1 9 - 90 --) 59 60 (4)
原式
1 12
1 20
1 30 1 42
1 56 9 -
72
1 90
12 20
1 30 1 42
56 72 90
⑸原式
12 20
30 42 56 72
90
1 10
7 10
82
10 2 (3 3) (4 4 4)
1
(
60 60 60
59
60)
4
18 5
[4—+(
533 5
53.6
4 18 5
100
1 7)]+[(-
7)+6行]
100 104 7
添上 原式
能力提升
【例4】计算:
1 2 4 59
2 2 2 2 2
1
(1 2 3 59)
2
1 (1 59) 59
2 2
885
定义示例剖析
【例5】计算:
3 11
定 义
示例剖析
有理数混合运算的运算顺序：
⑴ 先乘方（下节课学习），再乘除，最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行；
⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行.
加减法升-级运算，乘除法为二级运算，乘方 及开方（以后学）称为三级运算.
同级运算，按从左到右的顺序进行；/、同级运 算，应先算三级运算，然后二级，最舟-级；
如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先 算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
运算顺序可以简记为：
从左到右，从高（级）
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
到低（级），从小（括号）到大（括号） ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦
易错点1:注意运算顺序，先乘除后加减，同级的从左到右依次运算，有括号的先算括号里的.
易错点2:如果只有乘除的，先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算.
，一、
3 ⑴ 0.25 0.5
70- 4 5 【解析】⑴35且；⑵ 9.
4 1
5 1 1 9 1 5 2
【例6】计算：
⑴36
11111 2 3 4 6 9 1 36
1 1
2 48
⑶ 8
12
—
9 9 5
12— 4
12 —
16
16
1 1 (4) 0.25 5
3.5
【解析】⑴11;⑵
模块三
能力提升
【例9】从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是
第一组： 5, 3
1
, 4.25, 5.75;
3
第二组：2；工；
3 15
第三组：2.25, — ,
4 .
12
【例7】 计算:
1 5 2
4 8
11
（北师大附属实验中学期中）
【例8】 9 12
2 1 —
6； 9；
计算：⑴
5 12
⑴ 30
7 12
24
10 4 - 13 11 2
21
6
48 1
2005X 2003 -1001X^1
2004
1002
2008 200920092009 2009 200820082008
1001
⑵ 原式=(2004 + 1)
X
2003
—(1002- 1) 2004
1002
=(2003 — 1001) + (2003+幽)
2004 1002
2001 =1003 —
2004
⑶ 原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
（清华附中期中）
探索创新
1 1 1 5 【斛析】所有乘积的总＞和是：（5 3- 4.25 5.75）（2一-）（2.25 —4）
3 3 15 12680
25—
【例10]⑴用或“V”填空
①如果ab 0, ac 0那么b 0；
c
②如果a 0 , b 0那么ac _____________ 0.
b c
ac
⑵ 如果一0, bc 0,且a(b c) 0,试确定a、b、c的符号. b
【解析】⑴①；②；
⑵bc 0说明b、c异号，那么c 0 ；
b
又因为ac 0,所以a 0； b
因为a(b c) 0,所以b c 0,
进而得b c ,且bc 0,
所以b 0, c 0.
⑵ 已知有理数x,y,z两两不等，则口,上^,〜中负数的个数是( )
y z z x x y
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个或2个
⑶ 若a, b , c , d是互不相等的整数，且abcd 9,则a b c d的值为(
)
A. 0
B. 4
C. 8
D.无法确定
⑷ 如果4个不同的正整数m , n , p, q满足(7 m)(7 n)(7 p)(7 q) 4 ,
那么m n p q的值是多少？
【解析】⑴B.由19a 98b 0,得19a 98b ,可知a、b的符号相反或者a b 0 ,故有ab 0;
⑵B.三数乘积为1,则要么为3正，要么为1正2负；分析可知为1正2负.
⑶A. a, b, c d 4个数分别是1, 3 ,所以abcd 0 ;
⑷(7 m)(7 n)(7 p)(7 q) 1 ( 1) 2 ( 2),
所以m, n, p,q这4个数分别为5 , 6 , 8 , 9 ,
所以m n p q 28.
【例12 ] 计算
74 33
12 6 1
0.125 (7— 3-) 9 2
4 3 7 5
1 2 一 6
【斛析】设a = 7 — 3— , b = 0.125, c =9
一4 3 7
9
勺
><0.125+ —7
7
4
2」
上)
3?
3 25,
【例11]⑴若19a 98b 0 ,则ab是(
A.正数
B.非正数
)
C.负数
D.非负数
原式=—— Xb+ -) ab c a
a a
b c
---- x ------
ab c a
【点评】此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：
1 2 6 1 一、…，，
7 — 3—, 0.125, 9—2—,因此，采用变量替换就大大减少了计算量.
4 3 7 5
16
第3讲・尖端预备班・教师版 11
实战演练 区:1
知识模块一有理数加减法课后演练
【演练1】填空:
1.3 23
5
1.25 【解析】⑴ 1.3;⑵
【演练2】⑴ 5.5
3.2 2.5
4.8 8.5 1 3 3 1
11
2
(4) (6)
2.
8
17 5 - 37 5.5 9.5
3.2 3
4 — 74 2.5
7.5
4.
8 32 17 23 17 11；⑵ 0；⑶ 1；
⑷7.5;⑸ 1.4;⑹ 89. 知识模块二有理数乘除法课后演练
【演练3】⑴ 0.03
31 2 331
3
1 8
2 1 - 7 1 1
- 4 3
4 5
15
14 16
【解析】⑴7;⑵ 2
2;⑶
【演练4】计算：⑴ 15
71
第3讲・尖端预备班・教师版
12 知识模块三有理数加减乘除混合运算 课后演练
【演练5】计算： 1 12 5 3 0.5 4 6 8 八, 1
【解析】-
6 【演练6】⑴如果a 0, b 0,试确定ac 的符号； b c
⑵已知整数a,b,c,d 满足abcd 25,且a b c d ,那么a b c
【解析】⑴a 0说明a 、b 异号；b 0说明b 、c 异号，所以a 、c 同号，所以 b c ⑵易知 a 5, b 1 , c 1, d 5,则 a b c d 5 1 ( 1)( 36 12
1 2- 1
3 2
0.75 _ ___ 一 1 一 【解析】⑴575-;⑵ 12;⑶ 245 d ________ ac 的符号为正; 5) 8。