广东省深圳市福田区2017届九年级数学下学期入学试卷(含解析)

2016-2017学年广东省深圳市福田区九年级（下）入学数学试卷一．选择题
1.||的值是（）
A．B．C．﹣2 D．2
2．近几年山东省教育事业加快发展，据2015年末统计的数据显示，仅普通初中在校生就约有334万人，334万人用科学记数法表示为（）
A．0.334×107人 B．3.34×106人C．33.4×105人D．3.34×102人
3．下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．如图，它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（）
A．B．C．D．
5．如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1=50°，则∠E=（）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（）
A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m
7．下列运算中，结果正确的是（）
A．a4+a4=a4B．（﹣2a2）3=﹣6a6C．a8÷a2=a4D．a3•a2=a5
8．下列命题，真命题是（）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等
9．若A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）为双曲线上三点，且y1＞y2＞0＞y3，则k的范围为（）
A．k＞0 B．k＞1 C．k＜1 D．k≥1
10．已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC 的周长一半．则△ABC的面积等于（）
A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2
11．如图，点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF﹣OE的值是（）
A．6 B．5 C．4 D．2
12．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）
A．B．C．1 D．0
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分，请把正确答案填写在答题卷上的表格里）13．因式分解：3a2﹣3= ．
14．不等式组的解集为．
15．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的中位数是岁．
16．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN= ．
三.解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分）
17．计算：（）﹣2﹣（﹣1）0+2cos60°+|﹣1|．
18．某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为95%，根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）D型号种子的粒数是粒；
（2）A型号种子的发芽率为；
（3）请你将图2的统计图补充完整；
（4）若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到B型号发芽种子的概率．19．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB=∠EAG
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
21．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利90元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低70元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品80 件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点F在线段DE上，且EF=2DF，过点C的直线CG交OA 的延长线于点G，且∠CGO=∠CDE．
（1）求证：CG与弧AB所在圆相切．
（2）当点C在弧AB上运动时，△CFD的三条边是否存在长度不变的线段？若存在，求出该线段的长度；若不存在，说明理由．
（3）若∠CGD=60°，求图中阴影部分的面积．
23．如图，已知抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B 两点，与y轴交于点C，且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若∠DBA=30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
2016-2017学年广东省深圳市福田区红岭中学九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1. ||的值是（）
A．B．C．﹣2 D．2
【考点】绝对值．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得||=．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的性质．
2．近几年山东省教育事业加快发展，据2015年末统计的数据显示，仅普通初中在校生就约有334万人，334万人用科学记数法表示为（）
A．0.334×107人 B．3.34×106人C．33.4×105人D．3.34×102人
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：334万=334×104=3.34×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
4．如图，它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】展开图折叠成几何体．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：四个方格形成的“田”字的，不能组成正方体，A错；
出现“U”字的，不能组成正方体，B错；
以横行上的方格从上往下看：C选项组成正方体．
故选：C．
【点评】如没有空间观念，动手操作可很快得到答案．需记住正方体的展开图形式：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种．
5．如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1=50°，则∠E=（）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】平行线的性质．
【专题】常规题型．
【分析】根据对顶角相等求出∠1的对顶角的度数，再利用两直线平行，同位角相等求出∠3，然后利用直角三角形的两锐角互余进行解答．
【解答】解：如图，
∵∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
∵EG⊥AB，垂足为G，
∴∠E=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°．
故选C．
【点评】本题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质以及直角三角形的角的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（）
A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m
【考点】相似三角形的应用．
【分析】利用相似三角形对应线段成比例解题．
【解答】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则=，
即=
∴x=8
故选：C．
【点评】此题主要考查相似三角形中的对应线段成比例．
7．下列运算中，结果正确的是（）
A．a4+a4=a4B．（﹣2a2）3=﹣6a6C．a8÷a2=a4D．a3•a2=a5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法和合并同类项进行计算即可．
【解答】解：A、a4+a4=2a4，故A错误；
B、（﹣2a2）3=﹣8a6，故B错误；
C、a8÷a2=a6，故C错误；
D、a3•a2=a5，故D正确；
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
8．下列命题，真命题是（）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行线的性质、矩形的性质、平行四边形的判定等知识分别判断即可．
【解答】A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题；
D、在同一圆中，相等的弦所对的两条弧不一定相等，故错误，是假命题，
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、矩形的性质、平行四边形的判定等知识，难度不大．
9．若A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）为双曲线上三点，且y1＞y2＞0＞y3，则k的范围为（）
A．k＞0 B．k＞1 C．k＜1 D．k≥1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据A（1，y1）、B（2，y2）为双曲线上两点，且y1＞y2＞0可得y随x的增大而减小，进而可得k﹣1＞0，再解即可．
【解答】解：∵A（1，y1）、B（2，y2）为双曲线上两点，且y1＞y2＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数y=的性质，当k＞0时，图象的两支在第一三象限，在图象的每一支上，y随x的增大而减小
10．已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC 的周长一半．则△ABC的面积等于（）
A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2
【考点】位似变换．
【分析】根据位似变换的性质、相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，
∴△ABC的面积为24cm2，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
11．如图，点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF﹣OE的值是（）
A．6 B．5 C．4 D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；垂径定理；切线的性质．
【分析】利用P点在双曲线y=上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点，再利用△BPE≌△APF列出OE与OF之间的关系即可．
【解答】解：设E（0，y），F（x，0）其中y＜0，x＞0
∵点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，
∴P（ 2，2），
又∵PF⊥PE，
∴∠EPF=90°，
∵∠BPE+∠EPA=90°，
∴∠EPA+∠FPA=90°，
∴∠FPA=∠BPE，
∵，
∴△BPE≌△APF（ASA），
∴AF=BE，
∴OF﹣OA=BE，
即x﹣2=2﹣y，
∴x+y=4，
又∵OE=|y|=﹣y，OF=x，
∴OF﹣OE=x+y=4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数与全等三角形的判定与性质的综合运用，要熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
12．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）
A．B．C．1 D．0
【考点】二次函数的最值；正比例函数的性质．
【专题】新定义；数形结合．
【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；
③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分，请把正确答案填写在答题卷上的表格里）13．因式分解：3a2﹣3= 3（a+1）（a﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣3，
=3（a2﹣1），
=3（a+1）（a﹣1）．
故答案为：3（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．不等式组的解集为2≤x＜3 ．
【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
由①得：x≥2，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是2≤x＜3．
故答案为：2≤x＜3．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
15．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的中位数是16 岁．
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的定义，数据已经按大小排列，直接找出最中间的两个数求其平均数即可．【解答】解：∵共有12名学生，
∴第6名和第7名学生的平均成绩为中位数，
中位数为： =16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
16．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，
则EM+FN= ．
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，根
据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．
【解答】解：如图，延长ME交⊙O于G，
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG，
过点O作OH⊥MG于H，连接MO，
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1，
OM=×6=3，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE•sin60°=1×=，
在Rt△MOH中，MH===，
根据垂径定理，MG=2MH=2×=，
即EM+FN=．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．
三.解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分）
17．计算：（）﹣2﹣（﹣1）0+2cos60°+|﹣1|．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分
别化简求出答案．
【解答】解：原式=4﹣1+2×+1
=5．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
18．某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为95%，根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）D型号种子的粒数是500 粒；
（2）A型号种子的发芽率为90% ；
（3）请你将图2的统计图补充完整；
（4）若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到B型号发芽种子的概率．
【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式．
【分析】（1）利用总人数乘以对应是百分比即可求解；
（2）首先根据百分比的意义求得A型号的粒数，然后求得发芽率；
（3）首先求得C型号的种子粒数，然后乘以发芽率即可求解；
（4）根据概率公式即可直接求解．
【解答】解：（1）D型号种子的粒数是2000×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=500（粒），
故答案是：500；
（2）A型号的种子粒数是2000×35%=700（粒），则A型号的发芽率是=90%．
故答案是：90%；
（3）C型号的种子数是2000×20%=400（粒），C型号中发芽的粒数是400×95%=380（粒）．
；
（4）取到B型号发芽种子的概率是0.2．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】应用题．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DBA的度数，则∠ABC即可求得；（2）作AH⊥BC于点H，分别在直角△ABH和直角△ACH中，利用三角函数求得BH和CH的长，则BC 即可求得，进而求得时间．
【解答】解：（1）∵BD∥AE，
∴∠DBA+∠BAE=180°，
∴∠DBA=180°﹣72°=108°，
∴∠ABC=108°﹣78°=30°；
（2）作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠C=180°﹣72°﹣33°﹣30°=45°，
∵∠ABC=30°，
∴AH=AB=12，
∵sinC=，
∴AC===12．
则A到出事地点的时间是：≈≈0.57小时．
答：约0.57小时能到达出事地点．
【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB=∠EAG
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）只要证明△AEB≌△AGD即可解决问题．
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，利用勾股定理求出线段EB即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
AP==，AE=AG=，
∴EP=2，
∴EB===，
∴GD=．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会用转化的思想思考问题，求线段DG转化为求线段EB，属于中考常考题型．
21．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利90元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低70元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品80 件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）从题意中可得到相等关系有：每件商品的标价﹣每件商品的进价=90元；8件工艺品的利润=12件工艺品的利润．如果设进价为x元，则标价为（x+90）元，可列一元一次方程求解．
（2）从题意中可得到相等关系有：每件工艺品的利润×每天售出工艺品的件数=每天获得的利润，可列出函数解析式，配方成顶点式即可得出最大值．
【解答】解：（1）设该工艺品每件的进价为x元，则标价为（x+90）元，依题意有
[0.85（x+90）﹣x]×8=（x+90﹣70﹣x）×12，
解得x=310，
所以x+90=400．
所以每件工艺品的进价为310元，标价为400元；
（2）设每件工艺品应降价m元，所获利润为W，
则W=（80+4m）（90﹣m）
=﹣4m2+280m+7200
=﹣4（m﹣35）2+12100，
∴当m=35时，每天所获利润最大，为12100元，
答：每件工艺品降价35元出售，每天获得的利润最大，最大利润是12100元．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．掌握总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值是关键．
22．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点F在线段DE上，且EF=2DF，过点C的直线CG交OA 的延长线于点G，且∠CGO=∠CDE．
（1）求证：CG与弧AB所在圆相切．
（2）当点C在弧AB上运动时，△CFD的三条边是否存在长度不变的线段？若存在，求出该线段的长度；若不存在，说明理由．
（3）若∠CGD=60°，求图中阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据矩形的判断，可得OCDE的形状，根据矩形的性质，可得∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD，根据余角的性质，可得∠CGO+C OD=90°，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据矩形的性质，可得CD的长，根据EF与DF的关系，可得DF的长；
（3）根据锐角三角函数，可得CD、OD的长，根据根据图形割补法，可得阴影的面积．
【解答】（1）证明：如图：，
∵点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠DOE=90°，
∴ODCE是矩形，
∴∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD．
∵∠CGO=∠CDE，
∴∠CGO+COD=90°，
∴∠OCG=90°，
∵CG经过半径OC的外端，
∴CG是⊙O的切线，即CG与弧AB所在圆相切；
（2）DF不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，EF=2DF，∴DF=DE= OC=1，
DF的长不变，DF=1；
（3）∵∠CGD=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=OC•sin∠COD=OC=，OD=OC•cos∠COD=OC=，
图中阴影部分的面积×π×32﹣CD•OD=﹣．
【点评】本题考查了圆的综合题，利用了矩形的判定与性质，余角的性质，切线的判定，利用了矩
形的对角线相等，利用面积的和差是求阴影面积的关键．
23．如图，已知抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B 两点，与y轴交于点C，且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若∠DBA=30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后根据OA=OC，求得点D坐标，代入抛物线y=m（x+1）（x ﹣2）（m为常数，且m＞0），求得抛物线解析式；
（2）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF 转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
【解答】解：
（1）抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，
令y=0，解得x=﹣1或x=2，
则A（﹣1，0），B（2，0），
∵OA=OC，
∴C（0，﹣1），
∵点C（0，﹣1）在抛物线y=m（x+1）（x﹣2）上，
∴m×（0+1）×（0﹣2）=﹣1，
解得m=．
∴抛物线的函数表达式为：y=（x+1）（x﹣2）；
（2）∵∠DBA=30°，
∴设直线BD的解析式为y=﹣x+b，
∵B（2，0），
∴0=﹣×2+b，解得b=，
故直线BD的解析式为y=﹣x+，
联立两解析式可得，
解得，．
则D（﹣，），
如图，过点D作DN⊥x轴于点N，过点D作DK∥x轴，
则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
∵A点横坐标为﹣1，直线BD解析式为：y=﹣x+，
∴y=﹣×（﹣1）+=，
∴F（﹣1，）．
综上所述，当点F坐标为（﹣1，）时，点M在整个运动过程中用时最少．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）确定出满足条件的F点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问难度较大．。