新初中数学方程与不等式之无理方程解析含答案(1)

新初中数学方程与不等式之无理方程解析含答案(1)
一、选择题 1．解方程91449
x x x ++=+时，设91y x += 换元后，整理得关于y 的整式方程是____________________．
【答案】y²-4y+4=0
【解析】
【分析】
设91y x
+=,则原方程可化为关于y 的一元二次方程即可. 【详解】
解:设91y x
+=, 则原方程可化为，44y y
+=即y²-4y+4=0,故答案为：y²-4y+4=0. 【点睛】 本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,解题的关键是理解
9x x +是91x
+的倒数. 2．方程
的解为 ． 【答案】3．
【解析】
首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值．
解：两边平方得：2x+3=x 2
∴x 2﹣2x ﹣3=0，
解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，
检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解，
当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
3．方程(x 32x 0--=的解是______．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
求出x 2x 0-=，求出即可．
【详解】
解：(x 30-=Q ，
2x 0∴-≥，
x 2∴≤，
x 30∴-≠，
0=Q ，
x 2=，
故答案为：x 2=．
【点睛】
0=是解此题的关键．
4．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．
【答案】0a =或316a ≥-
【解析】
【分析】
，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +
-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．
【详解】
y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +
-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，
∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043
a +=， 解得：316
a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-
， 故答案为：0a =或316
a ≥-
【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.
5．方程32
x-=的解是__________．
【答案】x=7
【解析】
【分析】
将方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
将方程两边平方得x-3=4，
移项得：x=7，
代入原方程得73
-=2，原方程成立，
故方程3
x-＝2的解是x=7．
故本题答案为：x=7．
【点睛】
在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．
6．方程-x=1的根是______
【答案】x=3
【解析】
【分析】
先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.
【详解】
解：整理得：=x+1，
方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1，
移项合并同类项，得：x2=9，
解得：x1=3，x2=-3，
经检验，x2=-3不是原方程的解，
则原方程的根为：x=3.
故答案为：x=3.
【点睛】
本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.
7．
1
4
(1)(1)(2)(8)(9)
x x x x x x
+⋅⋅⋅=
+++++
的解是______．
【答案】9【解析】【分析】
设()11111
y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】
设
()()()()()111
1112894
y y y y y y ++=+++++L ， ∴1111111112894
y y y y y y -+-++-=+++++L ， 即11194
y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，
即y 2+9y-36=0，
∴y=-12或y=3，
，
，
∴x=9，
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111
y y y y =-++的应用.
8．3的解是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
移项到右边，再两边同时平方
＝1，再两边进行平方，得x ＝1，从而得解.
【详解】
3，
两边平方得，x +3＝9+x ﹣，
移项合并得，＝6，
1，
两边平方得，x ＝1，
经检验：x ＝1是原方程的解，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一元一次方程是解题的关键.
9．方程6x x +=的根为 ．
【答案】x=3
【解析】 两边平方得x+6=x 2,解一元二次方程得x 1=3,x 2=-2(舍去)，所以方程的根为
10．33x x +=的解是___________。

【答案】－3或－2
【解析】
【分析】
将原式移项后，两边平方再进行合并同类项运用因式分解求解即可。

【详解】
3=+3x x +
∴3x +=（3x +）2
∴x 2+5x+6=0
∴(x+3)(x+2)=0
∴x 1=-3,x 2=-2检验知x=-3或x=-2是方程的解.
【点睛】
本题考查了无理方程，利用平方将方程转化一元二次方程，选择合适、简便的方法求解二元一次方程是正确解题的关键.
11．232x x +=的解是__________．
【答案】1x = 【解析】
【分析】
先左右两边同时平方，然后解整式方程即可，注意检验求出的整式方程的根是否为原方程的增根．
【详解】
232x x +=，
∴222(3)(2)x x +=，
即2234x x += ，
解得1x =或1x =-．
当1x =-2,22,22x ==-≠- ，
∴1x =-是原方程的增根，
∴原方程的解为1x =．
故答案为：1x =．
【点睛】
本题主要考查无理方程的解法，掌握无理方程的解法是解题的关键．
12．1x =+的根是__________
【答案】x ＝2
【解析】
【分析】
先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x 2＝4，求出x 的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解．
【详解】
解：方程两边平方得，2x ＋5＝x 2＋2x ＋1，
移项合并同类项得：x 2＝4，
解得：x 1＝2，x 2＝−2，
经检验x 2＝−2不是原方程的解，
则原方程的根为x ＝2；
故答案为x ＝2．
【点睛】
本题考查了解无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
13．2=的根是__________．
【答案】4．
【解析】
【分析】
把无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】
两边平方得到：2x ﹣4=4，解得：x =4，经检验：x =4是原方程的解．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．
14．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．
【答案】4±
【解析】
【分析】
根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．
【详解】
解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，
4=，
即2
4(4)16a +-=， 2(4)12a -=，
4a -=±，
4a =±
故答案为：4±
【点睛】
本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．
15．已知1sin 2
3y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，则x 等于_____． 【答案】2
【解析】
【分析】
先化简方程，再求方程的解即可得出答案.
【详解】
解:根据题意可得x ＞0
∵10
10
2
x ＝2.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查无理方程，化简二次根式是解题的关键．
16．关于x 1k =+无实数根，则k 的取值范围是___________．
【答案】k ＜-1
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性即可知，当10+<k 时，方程无实数根．
【详解】
解：若关于x 1k =+无实数根，则10+<k ，
∴k ＜-1,
故答案为：k ＜-1
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+<k 时，方程无实数根．
17．如果关于x x =的一个根为3，那么a =_______
【答案】3
【解析】
【分析】
把3x =代入原方程即可得到答案．
【详解】
解：把3x =3=，
两边平方得：69a +=，
所以：3a =，经检验：3a =符合题意，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查方程的解的含义以及解无理方程，掌握方程的解及解无理方程的方法是关键．
18．0=的根是__________________． 【答案】x=2 【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．
【详解】
∵x+1≥0，x-2≥0，
∴x ≥2．
0=，
∴x+1=0或x-2=0，
∴x 1=-1（舍去），x 2=2．
故答案为：x=2．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．
19．3x m =
+有一个根是x=3，那么m=__________________． 【答案】2
【解析】
【分析】
3x m =
+有一个根是x=3,代入后即可求解关于m 的无理方程. 【详解】
3x m =
+有一个根是x=3，
1m =+，
两边平方得：15-3m=1+2m+m²,
解得：m=-7或2，
当m=-7时，1+m=-6<0,不合题意，舍去，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握用平方法解无理方程.
20．若等式=成立，则x 的值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
将方程变形后两边同时平方即可求出x 的值.
【详解】
∵=
∴=
∴=
=两边同时平方得，2x-5=27，
解得，x=16.
经检验，x=16是原方程的根.
故答案为：16.
【点睛】
此题主要考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要验根.。