八年级数学(人教版上)同步练习第十三章第二节立方根

八年级数学（人教版上）同步练习第十三章第二节立方根
第一节 立方根
一﹨教学内容：
1﹨立方根的概念﹨表示﹨求法 2﹨用估算的方法求无理数的近似值 3﹨用计算器进行开方运算
二﹨教学目标
1﹨了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2﹨能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质. 3﹨能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。

4﹨能应用立方根的概念及性质解决实际问题。

三﹨知识要点分析
1﹨立方根的概念
（这是重点）如果一个数x 的立方等于a,即a x =3
，那么这个数x 就叫做a 的立方根。

数a 3
a ，这里的“３”是根指数，不能省略．开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方.被开立方的数可以是正数﹨负数﹨0.开立方运算的结果是立方根. 立方根的性质：每个数都有一个立方根.正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0. 两个重要公式：
⑴a a =33
)((a 为任意数)；
⑵a a =33
(a 为任意数)． 2﹨用估算的方法求无理数的近似值
通过估算检验计算结果的合理性，主要是依据两个公式：⑴2
()(0)a a a =≥；（2）
a a =3
3(a 为任意数)．
估算一个根号表示的无理数所采用的方法可概括为“逐步逼近”.例如要估算43的大
小，要求精确到小数点后一位.首先找出与43邻近的两个完全平方数，如36＜43＜49，则
___＜43＜___，由此可得43的整数部分是____，然后再由6.52=42.25，6.62
=43.56，
得6.5＜43＜6.6，从而知43的一位小数应为5，即43≈6.5或6.6. 3﹨用计算器开方
（这是重﹨难点）开方运算要用到键“”和键“
3
”。

对于开平方运算，按键顺序
为：“
”，被开方数，“＝”；对于开立方运算，按键顺序为：“
3
”，被开方数，“＝”。

【典型例题】
考点一：立方根的概念 例1：求下列各数的立方根
（1）22710
（2）-0.008 (3)-343 （4）0.512
【思路分析】由立方运算求一个数a 的立方根，先找出立方等于a 的数，写出立方式，再由立方式写出a 的立方根的值，并用数学表达式表示开立方的结果。

正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。

解：（1）因为22710=2764，（34）3=2764，所以22710的立方根为34，即
327102
=34。

（2）因为（-0.2）3
=-0.008，所以-0.008的立方根为-0.2，即3008.0-=-0.2。

(3)因为（-7）3
=0.343，所以-343的立方根是-7，即3343-=-7。

（4）因为（0.8）3
=0.512，所以0.512的立方根是0.8，即3512.0=0.8。

方法与规律:不论是正数还是负数都有一个立方根.
考点二：用估算的方法求无理数的近似值
例2： 校园里有旗杆高11米，如果想要在旗杆顶部点A 与地面一固定点B 之间拉一根 直的铁丝，小强已测量固定点B 到旗杆底部C 的距离是8m ，小军已准备好一根长12.3m 的铁丝，你认为这一长度够用吗?
【思路分析】如图，由题意可知，AC=11m ，BC=8m ，因为旗杆AC 垂直于地面，所以 △ABC 是直角三角形，由勾股定理可求出AB 2
的值，用此值与12.32
比较大小，即可得出是否够用.
解：由勾股定理得AB 2
=AC 2
+BC 2
=112
+82
=185.因为12.32
=151.29＜185， 所以185＞29.151，因此这一长度不够用.
方法与规律:利用勾股定理解决实际问题是近几年中考的热点问题，往往与求算术平方根相结合，要注意掌握.
例3. 下列估算结果是否正确？为什么？
(1)2.374≈6.8；(2)3
800≈20.
【思路分析】 通过估算检验计算结果的合理性，一般首先考虑两个数的数量级是否相同，像第(1)小题，不难看出2.374＞10，结论自然是不难得出；如果两个数看起来比较接近，再去进行精确度更高的估算.
解：(1)错，因为2.374＞100=10，而显然6.8＜10；
(2)错，因为3800＜3
1000=10，而20＞10.
过程与方法：熟记检验计算结果的合理性的两个公式是解决本题的关键.
考点三：利用计算器开方
例4. 用计算器求21.52的平方根(精确到0.001)
【思路分析】先用计算器求出21.52的算术平方根,然后按题意写出其平方根按键顺序为:“
”，21.52，“＝”，显示结果为：4.6389654
解：±52.21≈±4.639
方法与规律:掌握用计算器开方的按键顺序，根据题意准确地写出结果.
考点四：思维能力拓展
例5: 求下列各式中x 的值。

(1)83383=
-x ; (2)27
)101.0(10001
3-=+x .
【思路分析】通过移项将(1)式化为64273=x ;将(2)式化为
27000)101.0(3
-=+x ,然后利用立方根的定义求解.
解: (1)∵
83383
=-x ,∴64273=
x ,∴4364273==x . (2) ∵27)101.0(10001
3-=+x ,
27000)101.0(3
-=+x , ∴
3
27000101.0-=+x , 即30101.0-=+x , ∴400-=x .
方法规律总结:解此类题,一般将其化为a x =3或
d c bx =+3)(的形式,再利用立方根的定义求解.
例6. 已知A=
n
m 10n m -++是m+n+10的算术平方根,B=32164+--+n m n m 是4m+6n-1
的立方根,求B-A 的立方根.
【思路分析】因为A 是m+n+10的算术平方根,可知m-n=2;B 是4m+6n-1的立方根,m-2n+3=3,通过解方程组求出m ﹨n 的值，再求出A ﹨B ，问题得以解决。

解：根据题意有⎩
⎨
⎧=+-=-②①3322n m n m
解方程组得⎩⎨⎧==42m n ，所以A=416=,B=3273
=
所以B-A=3-4=-1,113
3-=-=-A B .
方法规律总结:解决此类题的关键就是进一步透彻理解算术平方根﹨平方根及立方根的意义及其表示方法。

例7. 丽丽同学去海南旅游时买回了一颗珍珠，经测量体积为7.23456立方厘米。

现在，她打算做一个正方体盒子来装这颗珍珠，那么盒子的棱长可以为多少厘米？请你提供两个数
据供丽丽参考。

（球的体积：34πr 3,其中π取3.14）
【思路分析】当盒子的棱长比珍珠的直径大时，才能将这颗珍珠装进正方体盒子里。

解：设这颗珍珠的半径为x 厘米，根据题意，得34
πx 3=7.23456,所以x 3
=1.728，解得2.1728.13==x ，那么珍珠的直径为2.4厘米。

所以盒子的棱长应略大于2.4厘米，可取
2.5厘米等。

方法规律总结: 本题属于结论开放性题目，像这类题目的答案实际上有很多种，只要满足盒子的棱长大于珍珠的直径即可。

【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲了立方根的意义及性质﹨用估计的方法求无理数的近似值和用计算器开方。

在学习立方根的意义及性质时，我们利用了类比的数学思想方法，通过类比前面学过的平方根的性质来掌握立方根的性质；在利用立方根的概念和性质解决问题时，我们还用到了方程的数学思想。

预习导学案 (实数）
一﹨预习前知
1﹨什么是实数？ 2﹨如何对实数进行分类？ 3﹨实数与数轴的关系是什么？ 二﹨预习导学
探究与反思
探究任务1：实数的概念
1﹨在实数范围内，相反数﹨倒数﹨绝对值的意义和有理数范围内的相反数﹨倒数﹨绝对值的意义完全一样。

2﹨用数轴表示无理数.
【反思】（1）a 是一个实数，则其相反数是_____,绝对值是______？ （2）如果a ≠0,则其倒数是多少?
探究任务2：实数的运算
1﹨实数和有理数一样，可以进行加﹨减﹨乘﹨除﹨乘方运算。

2﹨归纳出两个运算公式。

【反思】（1）=⋅b a ______,题目中a,b 的取值范围分别是什么？
（2）
=
b
a
______,题目中a,b 的取值范围分别是什么？
1. 在实数中（ ）
A ﹨实数的绝对值都是正数
B ﹨有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数
C ﹨没有绝对值最大的数，但有绝对值最小的数
D ﹨没有绝对值最大的数，也没有绝对值最小的数 2.下列命题中，错误的一个是( )
A ﹨如果a ﹨b 互为相反数，那么a ＋1和b －1仍是互为相反数；
B ﹨不论x 是什么实数，222
+-x x 的值总是大于0； C ﹨n 是自然数，2
1n +一定是一个无理数； D ﹨如果a 是一个无理数，那么a 是非完全平方数． 3．下列计算正确的是（ ） A ﹨256535=⨯ B ﹨255535=⨯ C ﹨2105535=⨯
D ﹨230535=⨯
4．如果6)6(-•=
-x x x x 成立，则（ ）
A ﹨x ≥6
B ﹨x ≥0
C ﹨0≤x ≤6
D ﹨x 为任意实数 5．化简：
（1）72＝_______；（2）236x ＝______；（3）2
21620-＝______；
（4）
()()254-⨯-＝__________。

【模拟试题】（共60分钟,满分100分）
一﹨认认真真选(每小题4分,共40分) 1.下列说法不正确的是（ ） A.-1的立方根是-1 B.-1的平方是1 C.-1的平方根是-1 D.1的平方根是±1 2.下列说法中正确的是（ ）
A.-4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.361的立方根是61
D.-5的立方根是3
5-
3.在下列各式中：3
27102
=34
,3001.0=0.1,301.0=0.1,-33
)27(-=-27,其中正确的个
数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
﹡4.若m<0，则m 的立方根是（ ）
A.3
m
B.－ 3
m
C.±3
m
D. 3
m -
﹡5.如果3
6x -是x －6的三次算术根，那么x 的值为（ ） A.0 B. 3 C.5 D.6
6.已知x 是5的算术平方根，则x 2
-13的立方根是（ ） A.5-13 B.-5-13 C.2 D.-2
7.在无理数5，6，7，8中，其中在21
8+与2126+之间的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
﹡8.一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（ ） A.22厘米
B.27厘米
C.30.5厘米
D.40厘米
﹡9．已知858.46.23=,536.136.2=，则00236.0的值等于( ) A ．485.8 B ．15360 C ．0.01536 D ．0.04858
﹡﹡10.若81
-
x
3
x 的值是( )
A.0
B. 21
C. 81
D. 161
二﹨仔仔细细填(每小题4分,共32分)
11．-81
的立方根是 ，125的立方根是 。

12
的立方根是 .
13
14．-3是 的平方根，-3是 的立方根.
﹡15
5=
______=
﹡16.
335
1按从小到大的顺序排列为 。

﹡17.若x<0，则2x =______,3
3x =______.
﹡18. 若x=(3
5-)3
，则1--x =______.
三﹨平心静气做(共28分)
19. (本题8分)求下列各式中的x. (1)125x 3
=8 (2)(-2+x)3=-216
﹡20. (本题10分)已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长.
**21. (本题10分) 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，点A 处有一所中学，且A 点到MN 的距离是8704米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
【试题答案】
一﹨
1.C 【思路分析】负数没有平方根,所以本题答案是C.
2.D 【思路分析】任何数都有立方根,且一个数的立方根只有一个,据此可以排除A,B 两个
选项;由于361的算术平方根是61
,故C 选项也是错误的.
3.C 【思路分析】由于3
27102
=34
,3001.0=0.1, -33)27(-=-27,故本题答案是C.
4.A 【思路分析】负数的立方根是负数,任意一个数a 的立方根都表示成3
a ,故本题答案
是A.
5. D 【思路分析】立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。

0的立方根是0。

本题中6-x 的立方根是它的相反数，只有0这种情况。

所以6-x=0，所以x=6。

6.D 【思路分析】由题意知x 2
=5,故x 2
-13=-8,-8的立方根是-2.
7.D 【思路分析】借助计算器计算知5，6，7，8四个数都在21
8+与
2126+之间.
8.C 【思路分析】正方体体积的立方根就是正方体的棱长.
9. D 【思路分析】开平方时,被开方数的小数点移动两位,结果的小数点向相同的方向移动一位,故本题答案是D.
10. B 【思路分析】由题意可得18x -
=0和18x -=0,得x=18,故3
x =21
.
二﹨
11. -21
,5【思路分析】本题直接根据立方根的概念求解.
12.2 意为8的立方根,即2.
13.54-
54125643-=-. 14.9,-27【思路分析】逆用平方根,立方根的概念求解.
15.0.05 【思路分析】开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.
3
35【思路分析】当x>0时,被开方数越大,立方根越大.
17. –x,x 【思路分析】2
x 的算术平方根有两个,分别是x,-x,其中正的平方根是它的算术
平方根,故其算术平方根是-x; 根据立方根的概念可以判断3
3
x =x.
18.2 【思路分析】x=(35-)3
=-5,所以241==--x .
三﹨
19.(1) 125x 3
=8 ,
1258
x 3=
,即x=52;
(2)-2+x=-6,所以x=-4.
【思路分析】先把方程变成a x =3
的形式,然后求a 的立方根即可. 20.设第二个纸盒的棱长为x,则可得33
6127x =+,可得x =7。

【思路分析】根据两正方体体积之间的关系把问题转化成方程的问题来求解. 21.解:因为A 点到MN 的距离是8704≈93.3米小于噪声的影响范围100米. 有影响， 学校受影响的时间为4秒.
【思路分析】根据8704来估计出其取值,然后与100米进行对比即可.。