2013高三数学一轮复习延伸探究课件(理).4.4.《平面向量应用举例》新人教版必修4

β－
2 2.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即 cos β＋sin β＝1.
∴sin β＝1－cos β，
平方后化简得 cos β(cos β－1)＝0.
解得 cos β＝0 或 cos β＝1，
经检验 cos β＝0 或 cos β＝1 满足题设要求．
故 cos β的值是 1 或 0.
1．解答本题主要用到两方面的知识，一是把向量模转化为向量 的数量积，二是把向量垂直转化为数量积为0.
1．本题把证明 AD⊥CE 转化为证明向量垂直，即证明A→D·C→E＝ 0.解题的关键是把A→D，C→E用基向量C→A，C→B表示出来，然后利用向量 的运算法则和性质解决问题．
2．用向量法解决几何问题的“三步曲”，先用向量表示相应的 点、线段、夹角等几何元素；通过平面向量的运算解决向量问题；把 向量运算结果“翻译”成几何关系．
P→A＝(2，－y)，P→B＝(1，a－y)，
∴P→A＋3P→B＝(5，3a－4y)，
|P→A＋3P→B|2＝25＋(3a－4y)2，
∵点P是腰DC上的动点，∴0≤y≤a， 因此当y＝34a时，|P→A＋3P→B|2的最小值为25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为5.
【答案】 5
(2012·南京模拟)已知向量 a＝(cos α ，sin α )，b＝(cos β ，sin β )，c＝(－1，0)．
【解】
π (1)当x＝ 6 时，a＝(
23，12)，且c＝(－1，0)，
则|a|＝1，|c|＝1，
∴cos
〈a，c〉＝|aa|··c|c|＝（
23，12）1×·（1－1，0）＝－
3 2.
∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝5π 6 .
(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1
2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的 数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基 本公式求解．
c＝(－1，0)．
已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，
(1)若x＝π6 ，求向量a，c的夹角；
(2)当x∈[π2 ，98π]时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．
规范解答之八 数量积在解析几何中的应用 (12分)(2012·济南质检)已知平面上一定点C(－1，0)和一 定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且 (P→Q＋2P→C)·(P→Q－2P→C)＝0. (1)求点P的轨迹方程； (2)点O是坐标原点，过点C的直线与点P的轨迹交于A，B两点， 求O→A·O→B的取值范围．
【尝试解答】 A→D·C→E＝(A→C＋12C→B)·(C→A＋23A→B) ＝－|A→C|2＋12C→B·C→A＋23A→B·A→C＋13A→B·C→B ＝－|A→C|2＋12|C→B||C→A|cos 90°＋23 2|A→C|2cos 45°＋ 32|A→C|2cos 45° ＝－|A→C|2＋|A→C|2＝0， ∴A→D⊥C→E，即 AD⊥CE.
(1)求向量 b＋c 的长度的最大值； (2)设 α＝π4 且 a⊥(b＋c)，求 cos β 的值． 【思路点拨】 (1)把 b＋c 用坐标表示，再求|b＋c|2 的表达式； (2)由向量垂直得数量积为 0，从而列方程求解．
【尝试解答】 (1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 |b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1.∴0≤|b＋c|2≤4，
∴点(m，n)到直线x＋y＋1＝0的距离的最小值为d－r＝
2－
2 2
＝
2 2.
【答案】 C
(见学生用书第84页)
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何及 力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁高考中各考一 个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向量作为载体，常与 相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针引线的作用，如2011·江 西高考，此类题目常以向量的运算为切入口，体现了向量的工具性 作用．
∴xy－ ＝a32＝y－3223x， b，∴ba＝＝y3－. x2，
把a＝－x2代入①，得－x2(x＋x(x≠0),
1．(1)向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成 向量的坐标，然后进行向量的运算．(2)相等向量、共线向量、垂直 向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握．
【规范解答】 (1)设P(x，y)，则Q(－4，y)， ∴P→Q＝(－4－x，0)，P→C＝(－1－x，－y)． ∵(P→Q＋2P→C)·(P→Q－2P→C)＝0，∴P→Q2－4P→C2＝0， ∴|P→Q|2＝4|P→C|2.2分 ∴(－4－x)2＝4[(－1－x)2＋(－y)2]， 整理得：x42＋y32＝1，即为点P的轨迹方程.4分
＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x
＝ 2sin(2x－π4 )．∵x∈[π2 ，9π 8 ]，∴2x－π4 ∈[3π 4 ，2π]，
π 故sin(2x－ 4 )∈[－1，
22]，
∴当2x－π4 ＝3π 4 ，即x＝π2 时，f(x)max＝1.
已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴 上，点M满足P→A·A→M＝0，A→M＝－23M→Q，当点A在x轴上移动时，求 动点M的轨迹方程．
→ OA
·
→ OB
＝
→ OB
·
→ OC
＝
O→C·O→A，则O是△ABC的( )
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【解析】 O→A·O→B＝O→B·O→C⇒O→B·(O→A－O→C)＝0，
∴O→B·C→A＝0⇒OB⊥AC.
同理：OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O是△ABC的垂心．
【答案】 D
3．设a，b，c为同一平面内具有相同起 点的任意三个非零向量，且满足a与b不共 线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等 于( )
(2)①当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x＝－1. 解得A(－1，－23)，B(－1，32)． 此时O→A·O→B＝－54，5分 ②当过点C的直线斜率存在时，设斜率为k， 则直线AB的方程为y＝k(x＋1)． 代入方程x42＋y32＝1，整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－41k22.8分 ∴y1y2＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－3＋9k42k2. ∴O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－54kk22＋＋132 ＝－54－4（4k323＋3）.10分 k2≥0，∴－141≤－4（4k323＋3）＜0，∴O→A·O→B∈[－4，－45)． 综合①②知，O→A·O→B的取值范围是[－4，－45].12分
即 0≤|b＋c|≤2.
当 cos β＝－1 时，有|b＋c|＝2，
所以向量 b＋c 的长度的最大值为 2.
(2)若
π α＝ 4 ，则
a＝(
22，
22)．
又由 b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)，得
a·(b＋c)＝(
22，
2 2 )·(cos
β－1，sin
β)
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
【解析】 ∵O→P·O→A＝4，∴(x，y)·(1，2)＝4. ∴x＋2y－4＝0.
【答案】 x＋2y－4＝0
(见学生用书第 82 页)
如图4－4－1所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝ 90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求 证：AD⊥CE.
图4－4－1
【思路点拨】 要证AD⊥CE，只需证A→D·C→E＝0.
第四节 平面向量应用举例
(见学生用书第80页)
考 纲 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问 传 题． 真
1．向量在几何中的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔ a＝λb ⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b⇔ a＝λb ⇔x1x2＋y1y2＝0.
a·b
(3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①cos〈a，b〉＝|a||b|
＝ x1x2＋y1y2 ，②|AB|＝|A→B|＝ x21＋y21 x22＋y22
A→B2＝ （x2－x1）2＋（y2－y1．）2
2．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角 函数)，解析几何结合，常通过向量的线性 运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关 问题．
1 A.2
B．1
2 C. 2
D. 2
【解析】 ∵a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(m，n)，由(a－c)·(b－ c)＝0得－m(1－m)－n(1－n)＝0，
∴(m－12)2＋(n－21)2＝12，∴点(m，n)在以(21，21)为圆心， 22为半 径的圆上．
∵圆心(21，21)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝|12＋122＋1|＝ 2， ∴直线x＋y＋1＝0与圆(m－12)2＋(n－21)2＝12相离，
10 A. 5
3 10 C. 5
2 10 B. 5
4 10 D. 5
【解析】 A→B ＝(2，2)， C→D ＝(－1，3)，设 A→B 和 C→D 的夹角为
α，则向量A→B在向量C→D上的投影为|A→B|cos α＝A→B|C·→DC→| D＝－21＋0 6＝
2 10 5. 【答案】 B
2．已知O是△ABC所在平面上一点，若
【思路点拨】 设动点M(x，y)，利用向量共线，垂直等条件构 建x，y满足的代数方程．
【尝试解答】 设M(x，y)，A(a，0)，Q(0，b)(b＞0)， 则P→A＝(a，3)， →AM＝(x－a，y)，M→Q＝(－x，b－y)． 由P→A·A→M＝0，得a(x－a)＋3y＝0.① 由A→M＝－32M→Q，得(x－a，y)＝－23(－x，b－y)．
第六步：检验易错点，规范题目结论．
易错提示：(1)不会对向量的条件进行转化，造成思维受阻，出
现这种现象的原因是对平面向量代数化的思想理解不深刻．忽略对
过点C的直线斜率的讨论， 导致解答不完整．
(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥
BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|
→ PA
＋
3P→B|的最小值为________． 【解析】 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立
如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.
∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，
过点(1，2)且与向量a＝(4，2)所在的直线平行的直线，其斜 率与a的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？
【提示】 直线的斜率k＝42＝21，为a的纵坐标与横坐标的比值， ∴直线方程为y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0.
1．(教材改编题)已知点 A(1，2)、B(3，4)、C(－2，2)、D(－3， 5)，则向量A→B在向量C→D上的投影为( )
2．向量在解析几何中出现，多用于“包装”，求解这类问题要 根据向量的意义与运算“脱去”向量外衣，导出曲线上点的坐标之 间的关系，从而解决有关斜率、距离、轨迹与最值等问题．
已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，若向量c＝(m，n) 满足(a－c)·(b－c)＝0，则点(m，n)到直线x＋y＋1＝0的距离的最小值 为( )
【解题程序】 第一步：设点P(x，y)，表示向量P→Q与P→C.
第二步：利用向量数量积与模的运算，得点P的轨迹方程．
第三步：讨论斜率不存在的直线x＝－1时，求O→A·O→B的值． 第四步：当斜率k存在时，用参数k表示O→A·O→B.
第五步：利用函数的性质与不等式的性质求
→ OA
·
→ OB
的取值范
围．
A．以a，b为两边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
【解析】 由题知，a⊥c，∴|cos〈b，c〉 |＝|sin〈a，b〉|.
又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c|cos〈b，c〉
4．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足 O→P·O→A＝4，则点P的轨迹方程是________．