近年高考数学一轮复习第五章平面向量学案文(2021年整理)

（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第五章平面向量学案文
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第五章平面向量
第一节向量的概念及线性
运算本节主要包括2个知识点：1。

向量的有关概念；
2。

向量的线性运算.
基础联通抓主干知识的“源”与“流”名称定义备注
向量既有大小又有方向的量叫做向
量；向量的大小叫做向量的长度
（或称模）
平面向量是自由向量，平
面向量可自由平移
零向量长度为0的向量；其方向是任意
的
记作0
单位向量长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为
±错误!
平行向量方向相同或相反的非零向量，又
叫做共线向量
0与任一向量平行或共线
相等向量长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，
不能比较大小
相反向
量
长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
向量的有关概
念
[典例］(1)设a，b错误!＝错误!成立的充分条件的序号为________．
①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a｜＝|b｜。

(2）设a0为单位向量，下列命题中:①若a为平面内的某个向量，则a＝｜a｜·a0；②若
a 与a 0平行，则a ＝｜a|a 0;③若a 与a 0平行且｜a ｜＝1，则a ＝a 0。

假命题的个数是________．
[解析］ （1)因为向量错误!的方向与向量a 相同，向量错误!的方向与向量b 相同，且错误!＝错误!，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除①②④.当a ＝2b 时，错误!＝错误!＝错误!，故a ＝2b 是错误!＝错误!成立的充分条件．
(2）向量是既有大小又有方向的量,a 与|a ｜a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向，反向时a ＝－｜a ｜a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
［答案] （1)③ (2)3
[易错提醒]
(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；
(2）大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；
(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．
1
①若|a|＝｜b ｜，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点,则错误!＝错误!是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
④a ＝b 的充要条件是|a ｜＝｜b ｜且a ∥b.
其中正确命题的序号是________．
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵错误!＝错误!,∴|AB ―→|＝|错误!｜且错误!∥错误!。

又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则错误!∥错误!且｜错误!|＝|错误!｜，因此,错误!＝错误!.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c,∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使｜a ｜＝｜b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b ｜且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件,而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③。

答案：②③
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零;
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．
其中错误的命题的个数为________．
解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确,因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0。

④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时,a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个．
答案：3
3．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与OC ，―→相等的向量有________．
答案:错误!,错误!，错误!
4．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的错误!处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为错误!的若干个向量,则
(1）与向量GH ―→相等的向量有________；
(2）与向量错误!共线,且模相等的向量有________;
（3)与向量错误!共线，且模相等的向量有________．
解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．
向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：（1) LB ′―→，错误! (2） 错误!，错误!，错误!，错误!,错误!
（3） 错误!，错误!，错误!，错误!,错误!
突破点（二) 向量的线性运算
基础联通抓主干知识的“源"与“流" 1．向量的线性运算
向量运算定义法则（或几何意义)运算律
加法求两个向量
和的运算
交换律：a＋b＝
b＋a；结合律：
（a＋b）＋c＝a
＋(b＋c)
减法求a与b的相
反向量－b的
和的运算
a－b＝a＋(－
b）
数乘求实数λ与
向量a的积的
运算
｜λa|＝｜λ||a|，
当λ＞0时，λa与
a的方向相同;当λ
＜0时，λa与a的
方向相反;当λ＝0
时，λa＝0
λ（μ a）
＝(λμ）a;（λ
＋μ)a＝λa＋
μa；λ(a＋b)
＝λa＋λb
2
向量b与a（a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点贯通抓高考命题的“形"与“神"
向量的线性运
算
[例1] （1）在△ABC错误!错误!错误!2错误!，则错误!＝________。

(用b,c表示)
（2）在△ABC中，N是AC边上一点且错误!＝错误!错误!，P是BN上一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值是________．
[解析］(1）由题可知错误!＝错误!－错误!＝b－c，∵错误!＝2错误!，∴错误!＝错误!错误!＝错误!（b－c)，则错误!＝错误!＋错误!＝c＋错误!（b－c）＝错误!b＋错误!c。

（2)如图,因为错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!,所以错误!＝m
错误!＋错误!错误!＝m错误!＋错误!错误!。

因为B，P，N三点共线，所以m＋错误!＝1，则m＝错误!。

［答案] (1）2
3
b＋错误!c (2）错误!
［方法技巧］
1．向量的线性运算技巧
（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2）含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用向量的线性运算求参数的一般思路
（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
（3）比较，观察可知所求．
向量共线定理的应
用
（1）若错误!＝a＋b，错误!＝2a＋8b，错误!＝3（a－b）．求证：A，B，D三点共线．
(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
[解］（1)证明:因为AB，―→
＝a＋b，错误!＝2a＋8b，错误!＝3(a－b），
所以BD，―→
＝错误!＋错误!＝2a＋8b＋3（a－b)＝5（a＋b）＝5错误!，所以错误!，错误!共
线．
又错误!与错误!有公共点B，所以A，B,D三点共线．
（2)因为k a＋b与a＋k b共线，
所以存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b),
即错误!解得k＝±1.
即k＝1或－1时,k a＋b与a＋k b共线．
［方法技巧]
向量共线定理的三个应用
(1)证明向量共线:对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
（2）证明三点共线：若存在实数λ，使错误!＝λ错误!,错误!与错误!有公共点A，则A，B，
C 三点共线．
(3)求参数的值:利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
［提醒］ 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1。

错误!如图所示,下列结论正确的是________．（填序号）
①PQ ―→＝错误!a ＋错误!b;②错误!＝错误!a －b ；③错误!＝错误!a －错误!b;④错误!＝错误!a ＋b. 解析:根据向量的加法法则，得错误!＝错误!a ＋错误!b ，故①正确；根据向量的减法法则，得错误!＝错误!a －错误!b ，故②错误;错误!＝错误!＋错误!＝错误!a ＋错误!b －2b ＝错误!a －错误!b ，故③正确；错误!＝错误!＋错误!＝错误!a ＋错误!b －b ＝错误!a ＋错误!b ，故④错误．
答案：①③
2。

［考点二］已知a ，b 是不共线的向量,错误!＝λa ＋b ，错误!＝a ＋μb,λ,μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为λμ＝________.
解析：∵A ,B ，C 三点共线，∴错误!∥错误!，设错误!＝m 错误!(m ≠0），则λa ＋b ＝m （a ＋μb ），∴错误! ∴λμ＝1。

答案：1
3.[考点一]在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点,DE 交
AF 于H ，记错误!,错误!分别为a ，b ，则错误!＝________。

（用
a ，
b 表示） 解析：如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，
则G 是DE 的中点，且错误!＝错误!错误!＝错误!错误!,∴错误!＝错误!错误!，则△AHD ∽△FHG ，从而HF ―→＝错误!错误!，∴错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝b ＋错误!a ，∴错误!＝错误!错误!＝错误!a ＋错误!b 。

答案：错误!a ＋错误!b
4.错误!已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，t b，错误!(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.
解析：∵a，t b，错误!(a＋b）三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－t b与a－错误!（a＋b）共线，即a－t b与错误!a－错误!b共线，∴存在实数λ，使a－t b＝λ错误!,∴错误!解得λ＝错误!,t＝错误!,若a,t b，错误!(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝错误!。

答案：错误!
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC,CA，AB的中点，则错误!＋错误!＝________。

(用一个向量表示）
解析：错误!＋错误!＝错误!(错误!＋错误!）＋错误!(错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!。

―→
答案：AD
2．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________。

解析:∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b),
即λa＋b＝t a＋2t b，∴错误!解得错误!
答案：错误!
3．在四边形ABCD中，错误!＝a＋2b，错误!＝－4a－b，错误!＝－5a－3b，则四边形ABCD 的形状是________．
解析：由已知得，错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b）＝2错误!，故错误!∥错误!.又因为错误!与错误!不平行,所以四边形ABCD是梯形．答案：梯形
4．已知△ABC和点M满足错误!＋错误!＋错误!＝0。

若存在实数m使得错误!＋错误!＝m错误!成立，则m＝________。

解析：由错误!＋错误!＋错误!＝0知，点M为△ABC的重心,设点D为底边BC的中点，则错误!＝错误!错误!＝错误!×错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!），所以错误!＋错误!＝3错误!，故m＝3。

答案：3
[练常考题点—-检验高考能力］
一、填空题
1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝0,D 是AC 的中点，则错误!的值为________．
解析:∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，
∴四边形MAEC 为平行四边形,∴错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!)，∴
错误!＋错误!＝2错误!。

∵错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝0，∴错误!＝－错误!(错误!＋错误!）＝－3错误!，∴错误!＝3错误!，∴错误!＝错误!＝错误!.
答案：错误!
2．在△ABC 中，错误!＝3错误!，若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，则λ1λ2的值为________． 解析：由题意得，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，∴λ1＝错误!，λ2＝错误!，∴λ1λ2＝错误!.
答案：错误!
3．设O 是△ABC 内部一点,且错误!＋错误!＝－2错误!,则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．
解析：设D 为AC 的中点，连结OD ，则错误!＋错误!＝2错误!.又错误!＋错误!＝－2错误!,所以OD ，―→＝－错误!，即O 为BD 的中点,从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为错误!.
答案：错误!
4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且错误!＋错误!＋错误!＝0,则△ABC 的内角A 等于________．
解析:由OA ，―→＋错误!＋错误!＝0，得错误!＋错误!＝错误!,由O 为△ABC 外接圆
的圆心，可得|错误!|＝｜错误!｜＝｜错误!｜.设OC 与AB 交于点D ，如图，由错误!＋错误!＝错误!可知D 为AB 的中点，所以错误!＝2错误!,D 为OC 的中点．又由|错误!｜＝|错误!｜可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形,所以△OAC 为等边三角形,即∠CAO ＝60°，故A ＝30°。

答案：30°
5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ,AC 两边分别交于M ，N 两点，且错误!＝x 错误!,错误!＝y 错误!，则错误!的值为________．
解析：由已知得M ,G ，N 三点共线,所以错误!＝λ错误!＋（1－λ）错误!＝λx 错误!＋(1－λ）y 错误!.∵点G 是△ABC 的重心，∴错误!＝错误!×错误!(错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!），∴错误!即错误!得错误!＋错误!＝1，即错误!＋错误!＝3，通分得错误!＝3，∴错误!＝错误!.
答案:错误!
6．(2018·如皋中学期末)若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5错误!＝错误!＋3错误!，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为________．
解析：设AB 的中点为D ，如图,连结MD ，MC ,由5错误!＝错误!＋3错误!，得5错误!＝2错误!＋3错误! ①，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，即错误!＋错误!
＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM ，―→＝错误!＋错误! ②，①②联立，得5错误!＝3错误!,即在△
ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为错误!，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为错误!.
答案：错误!
7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ,CA ，AB 的中点，且错误!＝a ，错误!＝b ，给出下列命题：
①错误!＝错误!a －b ；②错误!＝a ＋错误!b;
③错误!＝－错误!a ＋错误!b ；④错误!＋错误!＋错误!＝0。

其中正确命题的个数为________．
解析：由错误!＝a ，错误!＝b 可得错误!＝错误!错误!＋错误!＝－错误!a －b,错误!＝错误!＋错误!错误!＝a ＋错误!b ，错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（－a ＋b ）＝－错误!a ＋错误!b ，错误!＋错误!＋错误!＝－错误!a －b ＋a ＋错误!b －错误!a ＋错误!b ＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3。

答案：3
8．若|AB ，―→|＝｜错误!｜＝|错误!－错误!|＝2，则｜错误!＋错误!｜＝________. 解析：∵|错误!|＝|错误!｜＝|错误!－错误!｜＝2,∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴｜错误!＋错误!｜为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|错误!＋错误!|＝2×2sin 错误!＝2错误!。

答案：23
9．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|错误!－错误!|＝|错误!＋错误!－2错误!|,则△ABC 的形状为________．
解析:因为错误!＋错误!－2错误!＝错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!，错误!－错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以|错误!＋错误!｜＝|错误!－错误!｜，即错误!·错误!＝0，故错误!⊥错误!，△ABC 为直角三角形．
答案：直角三角形
10．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2错误!,BC ＝2，点E 在线段CD 上,若错误!＝错误!＋μ错误!，则μ的取值范围是________．
解析:由题意可求得AD ＝1，CD ＝错误!，所以错误!＝2错误!.∵点E 在线段CD 上，∴错误!＝λ错误! （0≤λ≤1）．∵错误!＝错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋μ错误!＝错误!＋2μ错误!＝错误!＋错误!错误!,∴错误!＝1，即μ＝错误!。

∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤错误!，即μ的取值范围是错误!。

答案：错误!
二、解答题
11。

如图，以向量错误!＝a ，错误!＝b 为邻边作▱OADB ，
错误!＝错误!
错误!，错误!＝错误!错误!，用a ，b 表示错误!，错误!，错误!. 解：∵错误!＝错误!－错误!＝a －b ，错误!＝错误!错误!＝
错误!a －错误!b ，
∴错误!＝错误!＋错误!＝b ＋错误!＝错误!a ＋错误!b 。

又∵错误!＝a ＋b ， ∴错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a ＋错误!b ，
∴错误!＝错误!－错误!＝错误!a ＋错误!b －错误!a －错误!b ＝错误!a －错误!b.
综上，错误!＝错误!a ＋错误!b,错误!＝错误!a ＋错误!b ，错误!＝错误!a －错误!b.
12。

如图所示，在△ABC 中，D ,F 分别是BC ，AC 的中点,
错误!＝错误!
错误!,错误!＝a ，错误!＝b 。

(1）用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ，―→，错误!,错误!；
（2)求证：B ,E ，F 三点共线．
解：
(1）延长AD 到G ,使错误!＝错误!错误!，
连结BG ,CG ，得到▱ABGC ，如图，
所以错误!＝错误!＋错误!＝a＋b，
错误!＝错误!错误!＝错误!（a＋b)，
错误!＝错误!错误!＝错误!（a＋b),错误!＝错误!错误!＝错误!b，错误!＝错误!－错误!＝错误!（a＋b)－a＝错误!（b－2a)，
错误!＝错误!－错误!＝错误!b－a＝错误!（b－2a）．
(2）证明:由(1)可知错误!＝错误!错误!，
又因为错误!，错误!有公共点B，所以B，E，F三点共线．
第二节平面向量基本定理及
坐标表示本节主要包括2个知识点：
1.平面向量基本定理;
2.平面向量的坐标表示。

基础联通抓主干知识的“源”与“流”
如果12是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考点贯通抓高考命题的“形"与“神”
基底的概
念
［例1］如果e1，e2
内所有向量的一组基底的是________．（填序号)
①e1与e1＋e2;②e1－2e2与e1＋2e2；
③e1＋e2与e1－e2；④e1＋3e2与6e2＋2e1.
［解析］①中,设e1＋e2＝λe1，则错误!无解;
②中，设e1－2e2＝λ（e1＋2e2），则错误!无解；
③中，设e1＋e2＝λ（e1－e2），则错误!无解；
④中，e1＋3e2＝错误!（6e2＋2e1),所以两向量是共线向量,不能作为平面内所有向量的一组基底．
［答案］④
[易错提醒]
某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．
平面向量基本定理的
应用
错误!错误!＝b，AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P，则错误!＝________。

(用a，b表示）
［解析] 如图，
连结BP，则错误!＝错误!＋错误!＝b＋错误!，①
错误!＝错误!＋错误!＝a＋错误!－错误!，②
①＋②，得2错误!＝a＋b－错误!,③
又错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!－错误!)＝错误!错误!，④
将④代入③，得2错误!＝a＋b－错误!错误!，
解得错误!＝错误!a＋错误!b。

[答案］错误!a＋错误!b
[方法技巧］
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1。

（2018·宜兴月考)在△中，，分别是，的三等分点,且＝错误! AB，BQ＝错误!BC,若错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________.(用a,b表示)
解析：由题意知错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!－
错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.
答案：错误!a＋错误!b
2.错误!(2018·泉州调研）若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是________．(填序号）
①a－2b与－a＋2b；②3a－5b与6a－10b;
③a－2b与5a＋7b;④2a－3b与错误!a－错误!b。

解析:不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a－2b与5a＋7b不共线，故a－2b与5a ＋7b可以作为一组基底．
答案：③
3.［考点二](2018·常州月考)如图所示，在△ABC中,D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R)，则m－n＝________.
解析:错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!)＝－错误!错误!＋错误!错误!，则m＝－错误!，n＝错误!，所以m－n＝－2。

答案：－2
4。

错误!(2018·镇江月考）在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若错误!＝5e1，错误!＝3e2，则错误!＝________.（用e1,e2表示）
解析:在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点,所以错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!(错误!＋错误!）＝错误!e1＋错误!e2。

答案:错误!e1＋错误!e2
5。

错误!(2018·无锡诊断)在△ABC中，错误!＝错误!错误!，P是BN上一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为________．
解析：∵B，P，N三点共线，∴错误!＝t错误!＋（1－t)错误!＝t错误!＋错误!（1－t）错误!，又∵错误!＝m错误!＋错误!错误!，∴错误!解得m＝t＝错误!。

答案:1
4
突破点(二）平面向量的坐标表示基础联通抓主干知识的“源"与“流”
1
(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模
设a＝（x1,y1)，b＝(x2，y2），则：
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝（λx1，λy1),|a|＝错误!.
（2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A（x1，y1)，B(x2,y2)，则错误!＝（x2－x1,y2－y1）．
2．向量平行的坐标表示
设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神"
平面向量的坐标运
算
[例1］已知A(－2错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝3c，错误!＝－2b，
（1）求3a＋b－3c；
（2)求满足a＝m b＋n c的实数m,n;
（3)求M，N的坐标及向量错误!的坐标．
[解］由已知得a＝（5，－5）,b＝（－6，－3）,c＝（1，8)．
(1）3a＋b－3c＝3（5，－5)＋（－6,－3）－3（1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴错误!解得错误!
即所求实数m的值为－1，n的值为－1。

(3）设O为坐标原点，
∵错误!＝错误!－错误!＝3c,
∴错误!＝3c＋错误!＝（3，24）＋(－3，－4）＝（0，20），
即M（0，20)．
又∵错误!＝错误!－错误!＝－2b，
∴错误!＝－2b＋错误!＝(12，6）＋（－3，－4）＝（9,2),
即N(9，2）．
∴错误!＝(9，－18)．
［方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程（组)来进行求解．
向量平行的坐标表
示
（1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线;
（2)若错误!＝2a ＋3b ，错误!＝a ＋m b ，且A ，B ,C 三点共线，求m 的值．
[解] (1)∵a ＝（1,0），b ＝（2,1）,
∴k a －b ＝k (1,0)－(2，1）＝(k －2，－1)，
a ＋2
b ＝(1,0）＋2(2，1)＝(5，2),
∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2（k －2)－（－1)×5＝0，
∴k ＝－错误!。

(2)AB ―→＝2a ＋3b ＝2（1，0)＋3(2，1)＝（8,3），
错误!＝a ＋m b ＝（1,0)＋m （2,1)＝（2m ＋1，m )．
∵A ，B ，C 三点共线,
∴错误!∥错误!，∴8m －3(2m ＋1）＝0，
∴m ＝错误!.
［方法技巧] 向量平行的坐标表示中的乘积式和比例式
(1）若a ＝（x 1，y 1)，b ＝（x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．
（2)当x 2y 2≠0时,a ∥b ⇔错误!＝错误!，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．
错误!错误!
解析：设c＝x a＋y b，则错误!＝(2x－y，x＋2y)，所以错误!解得错误!则c＝错误!a＋b.
答案：错误!a＋b
2.错误!已知点M(5，－6）和向量a＝（1，－2），若错误!＝－3a，则点N的坐标为________．
解析：错误!＝－3a＝－3(1，－2）＝(－3,6），
设N（x,y),则错误!＝（x－5，y＋6）＝（－3，6)，
所以错误!解得错误!即N(2,0）．
答案：(2，0)
3.错误!已知向量错误!＝(k，12),错误!＝(4,5),错误!＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是________．
解析：错误!＝错误!－错误!＝(4－k,－7)，错误!＝错误!－错误!＝（－2k，－2)．∵A，B，C 三点共线,∴错误!，错误!共线，∴－2×(4－k）＝－7×(－2k)，解得k＝－错误!。

答案：－错误!
4。

错误!已知梯形ABCD,其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A（1，2),B(2，1)，C(4,2）,则点D的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴DC，―→
＝2错误!.设点D的坐标为(x，y）,
则错误!＝(4－x,2－y）,错误!＝(1,－1）,
∴（4－x,2－y)＝2(1，－1），即（4－x，2－y）＝（2,－2），
∴错误!解得错误!故点D的坐标为(2,4）．
答案:(2，4）
5.错误!已知错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d，错误!＝e,设t∈R，如果3a＝c，2b ＝d,e＝t（a＋b),那么t为何值时，C,D，E三点共线?
解：由题设知，错误!＝错误!－错误!＝d－c＝2b－3a，
错误!＝错误!－错误!＝e－c＝t（a＋b）－3a＝（t－3)a＋t b.
C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，
使得错误!＝k错误!，
即(t－3)a＋t b＝－3k a＋2k b，
整理得(t－3＋3k）a＝(2k－t)b。

(1）若a，b共线，则t可为任意实数；
（2)若a，b不共线,则有错误!解得t＝错误!。

综上，可知a，b共线时，t可为任意实数;a，b不共线时，t＝错误!.
1．若三点A（2,2)，B(a，0)，C（0，b） (ab≠0)共线，则错误!＋错误!的值为________．解析：错误!＝(a－2，－2），错误!＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2）（b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0,所以错误!＋错误!＝错误!.
答案：错误!
2．（2018·太湖高级中学模拟）在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A，B，C三点满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.
解析：∵错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，∴错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!＝错误!（错误!－错误!），∴错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!.
答案：错误!
3．已知向量a＝(5，2)，b＝（－4，－3），c＝(x，y），若3a－2b＋c＝0，则c＝________.
解析:由题意可得3a－2b＋c＝3(5，2）－2(－4,－3)＋（x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0,0)，所以错误!解得错误!所以c＝(－23，－12)．
答案：（－23,－12)
4．若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，错误!＝（3,5），错误!＝(2，4）,则错误!＝________。

解析:由题意可得错误!＝错误!＝错误!－错误!＝（2，4)－(3,5）＝(－1，－1）．
答案：（－1,－1）
5．若三点A（1,－5)，B(a，－2)，C(－2，－1）共线，则实数a的值为________．
解析：错误!＝(a－1,3）,错误!＝(－3,4），据题意知错误!∥错误!，∴4(a－1)＝3×(－3），即4a＝－5，∴a＝－错误!.
答案：－错误!
［练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．已知向量a＝（m，4)，b＝（3，－2)，且a∥b，则m＝________。

解析：∵a＝（m,4)，b＝(3,－2),a∥b，∴－2m－4×3＝0。

∴m＝－6.
答案：－6
2．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x）,且a,b方向相反，则x的值是________．
解析：因为a与b方向相反，所以b＝m a,m＜0，则有（4，x）＝m(x，1)，∴错误!解得m ＝±2。

又m＜0,
∴m＝－2，x＝m＝－2.
答案：－2
3．已知向量a＝(2,1)，b＝（1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)（m，n∈R),则m－n的值为________．
解析：∵m a＋n b＝(2m＋n，m－2n）＝（9，－8)，
∴错误!∴错误!∴m－n＝2－5＝－3.
答案:－3
4．设向量a＝(1，－3），b＝(－2,4），c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c），d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d＝________.
解析：设d＝（x，y)，由题意知4a＝4(1,－3）＝(4，－12)，4b－2c＝4（－2，4）－2（－1，－2）＝（－6，20)，2(a－c)＝2[（1,－3)－（－1，－2）]＝(4，－2)，又4a＋(4b －2c)＋2（a－c）＋d＝0，所以(4,－12)＋（－6，20）＋（4，－2）＋(x，y）＝(0，0），解得x＝－2，y＝－6,所以d＝（－2，－6)．
答案：(－2，－6)
5．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝（a＋c，b),q＝(b－a，c－a），且p∥q，则角C＝________.
解析：因为p∥q，则(a＋c)（c－a）－b(b－a）＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得,cos C＝错误!＝错误!＝错误!，又0°＜C＜180°，∴C＝60°.
答案：60°
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B（0，1），C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝错误!,｜错误!|＝2，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.
解析：因为|错误!｜＝2，∠AOC＝错误!，所以C（错误!，错误!)，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以（错误!，错误!)＝λ（1,0)＋μ（0，1）＝(λ，μ）,所以λ＝μ＝错误!,λ＋μ＝2错误!。

答案:2错误!
7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且错误!＝2错误!，点Q 是AC 的中点，若 错误!＝（4,3)，错误!＝(1,5），则错误!＝________.
解析:错误!＝错误!－错误!＝(1,5）－（4,3)＝(－3,2）,∴错误!＝2错误!＝2（－3，2）＝（－6,4）．错误!＝错误!＋错误!＝（4，3)＋(－6，4)＝（－2，7），∴错误!＝3错误!＝3（－2，
7)＝（－6,21)．
答案：（－6，21)
8．设错误!＝(1，－2），错误!＝（a ，－1），错误!＝（－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ,C 三点共线，则错误!＋错误!的最小值是________．
解析：由题意得错误!∥错误!，∵错误!＝（a －1,1)，错误!＝(－b －1,2)，∴2（a －1)－(－
b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，∴1a
＋错误!＝错误!(2a ＋b)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即a ＝错误!，b ＝错误!时取等号，∴错误!＋错误!的最小值是8.
答案:8
9．(2018·金陵中学模拟)P ＝{a|a ＝（－1，1）＋m (1，2）,m ∈R ｝，Q ＝{b|b ＝（1,－2）＋n （2,3）,n ∈R ｝是两个向量集合，则P ∩Q ＝________.
解析：P 中，a ＝（－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n ）．则错误!得错误!此时a ＝b ＝(－13，－23)．
答案：{(－13，－23)｝
10．（2018·常熟中学月考）在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ，BC 的中点．若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ＝________.
解析:由错误!＝λ错误!＋μ错误!，得错误!＝λ·错误!（错误!＋错误!）＋μ·错误!（错误!＋错误!），则错误!错误!＋错误!错误!＋错误!＋错误!错误! ＝0，得错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝0，得错误!错误!＋错误!错误!＝0.又因为错误!，错误!不共线,所以由平面向量基本定理得错误!解得错误!所以λ＋μ＝错误!.
答案:错误!
二、解答题
11。

给定两个长度为1的平面向量错误!和错误!,它们的
夹角为错误!。

如＋y OB ―→,其中图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若错误!＝x 错误!
x,y∈R，求x＋y的最大值．
解：以O为坐标原点，错误!所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示，则A(1，0),B－错误!，错误!，设∠AOC＝αα∈0，错误!，则C(cos α，sin α）,
由错误!＝x错误!＋y错误!,得错误!
所以x＝cos α＋错误!sin α，y＝错误!sin α，
所以x＋y＝cos α＋错误!sin α＝2sin错误!，
又α∈错误!，则α＋错误!∈错误!。

所以当α＋错误!＝错误!，即α＝错误!时，x＋y取得最大值2。

12．已知点O为坐标原点，A(0,2）,B（4,6)，错误!＝t1错误!＋t2错误!。

(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2）求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B,M三点都共线；
(3)若t1＝a2,求当错误!⊥错误!且△ABM的面积为12时a的值．
解：（1）错误!＝t1错误!＋t2错误!＝t1（0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有错误!
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0。

(2)证明：当t1＝1时，由(1)知错误!＝（4t2，4t2＋2）．
∵错误!＝错误!－错误!＝(4,4)，错误!＝错误!－错误!＝（4t2，4t2)＝t2（4，4)＝t2错误!，∴A，B，M三点共线．
（3）当t1＝a2时，由(1)知错误!＝（4t2，4t2＋2a2)．
又错误!＝（4，4）,错误!⊥错误!，
∴错误!·错误!＝0，即4t2×4＋（4t2＋2a2)×4＝0，
∴t2＝－错误!a2，
故错误!＝(－a2，a2）．
又|错误!｜＝4错误!，点M到直线AB:x－y＋2＝0的距离d＝错误!＝错误!｜a2－1|。

∵S△ABM＝12，
∴错误!｜AB｜·d＝错误!×4错误!×错误!｜a2－1｜＝12，
解得a＝±2，故所求a的值为±2.
第三节向量的数量积及其应本节主要包括3个知识点：
用1。

向量的数量积；
2。

向量数量积的应用；
3.平面向量与其他知识的综合问题.
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围:设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
（3）共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向;若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．向量的数量积
（1）定义:已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a｜|b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|｜b｜cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
（2)几何意义：数量积a·b等于a的长度｜a|与b在a的方向上的投影｜b|cos θ的乘积．
(3)坐标表示:若a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
3．向量数量积的运算律
（1)a·b＝b·a（交换律）．
（2）λa·b＝λ(a·b）＝a·(λb）(结合律)．
(3）（a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
向量数量积的运
算
1.
第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用;
第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可．
2．根据定义计算数量积的两种思路
（1）若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量,然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．
[典例] (1)设向量a＝(－1，2)，b＝（m,1),如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b 的数量积等于________．
(2)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，则错误!·错误!的值为________．（3）（2017·浙江高考改编）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC,AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I
＝错误!·错误!,I2＝
1
错误!·错误!，I3＝错误!·错误!，则I1、I2、I3的大小关系是
________．(用“＜"连结)
[解析］(1）a＋2b＝(－1,2）＋2（m，1）＝(－1＋2m,4），2a－b＝2（－1，2）－（m,1）＝（－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m）－4（－2－m）＝0，则m＝－错误!，所以b＝错误!，所以a·b＝－1×错误!＋2×1＝错误!。

（2）取错误!，错误!为一组基底，则错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!，错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＋错误!错误!＝－错误!错误!＋错误!，∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!|错误!|2－错误!错误!·错误!＋错误!|错误!｜2＝错误!×4－错误!×2×1×错误!＋错误!＝错误!。

(3）如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO＜AF，而∠AFB＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角．根据题意,I1－I2＝错误!·错误!－错误!·错误!＝错误!·（错误!－错误!)＝错误!·错误!＝|错误!|·｜错误!|cos∠AOB＜0，∴I1＜I2,同理得，I2＞I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，
∴OB＜BG＝GD＜OD，而OA＜AF＝FC＜OC,
∴|错误!|·｜错误!|＜｜错误!|·｜错误!｜,
而cos∠AOB＝cos∠COD＜0，
∴错误!·错误!＞错误!·错误!，即I1＞I3,
∴I3＜I1＜I2。