2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习1-1-3 Word版含答案

选修2-2 1.1.3
一、选择题
1．已知曲线y ＝12
x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．165°
[答案] B
[解析] ∵y ＝12
x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx
＝lim Δx →0 x ·Δx ＋12(Δx )2Δx
＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.
∴点P ⎝
⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B. 2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )
A ．f ′(x 0)＞0
B ．f ′(x 0)＜0
C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12
＜0.故选B. 3．下列说法正确的是( )
A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线
B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在
C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在
D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
[答案] C
[解析] 根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C 正
确．故选C.
4．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A ．y ＝x －1
B ．y ＝－x －1
C ．y ＝2x －2
D ．y ＝－2x －2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.
5．曲线y ＝1x
在点P (1,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋2＝0
B ．x ＋y －2＝0
C ．y －1＝－1x 2(x －1)
D ．y －1＝1x 2(x －1) [答案] B
[解析] 斜率k ＝lim Δx →0 11＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 －Δx 1＋Δx Δx
＝－1. 所以切线方程为y －1＝－1×(x －1)．故选B.
6．设f (x )为可导函数，且满足lim －2x →0
f (1)－f (1－2x )2x
＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
[答案] B
[解析] 根据导数的定义知f ′(1)＝－1.故选B.
7．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点的切线方程是( )
A ．y ＝－4x －1
B ．y ＝4x －1
C ．y ＝4x ＋8
D ．y ＝4x 或y ＝4x －4
[答案] B
[解析] 由3＝2a (a )2＋1得a ＝1或a ＝－1(舍)．
又y ′|x ＝1＝4，所以切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.故选B.
8．(2010·辽宁文，12)已知点P 在曲线y ＝
4e x
＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A ．[0，π4
) B ．[π4，π2
) C ．(π2，3π4
] D ．[3π4
，π) [答案] D
[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式
∵y ′＝－4e x
(e x ＋1)2
∴tan x ＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x (e x )2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2， ∵e x ＞0∴e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号) ∴e x ＋1e x ＋2≥4， ∴0＜4e x ＋1e x ＋2≤1， ∴－1≤tan α＜0，
∵α∈[0，π)，
∴α∈[34π，π)．
故选D.
9．y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )
A.18
B.14
C.12
D ．1
[答案] B
[解析] y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，
∴x 0＝1
2a .
∵切点在直线y ＝x 上，∴y 0＝1
2a
代入y ＝ax 2＋1得12a ＝1
4a ＋1
∴a ＝14.故选B.
10．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是(
) A ．(1,0)
B ．(－1，－4)
C ．(1,0)或(－1，－4)
D ．(0,1)或(4,1)
[答案] C
[解析] 设P 0(x 0，y 0)，
则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x
0＋Δx )－f (x 0)
Δx ＝3x 20＋1＝4，
所以x 0＝±1.因此P 0(1,0)或(－1，－4)．故选C.
二、填空题
11．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．
[答案] ⎝⎛⎭⎫32，－94
[解析] ∵y ′＝2x －3，令y ′＝0，得x ＝32，
代入曲线方程y＝x2－3x得y＝－9
4.
12．抛物线y＝x2在点P处的切线平行于直线y＝4x－5，则点P的坐标为________．[答案](2,4)
[解析]lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
(x＋Δx)2－x2
Δx
＝2x，
令2x＝4，∴x＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y＝4x－5.
13．曲线f(x)＝x3在点A处的切线的斜率为3，则该曲线在点A处的切线方程为____________．
[答案]3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0
[解析]设点A(x0，x30)，则k＝f′(x0)＝3x20＝3.
∴x0＝±1.
∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，
∴所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.
14．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
[答案]2x－y＋4＝0
[解析]∵y′＝6x－4，
∴y′|x＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
三、解答题
15．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
[解析]因为f′(1)＝lim
Δx→0f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝4，
所以过点(1,2)的切线的斜率为4.
设过点(1,2)与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－1
4
，
所以所求直线方程为y－2＝－1
4(x－1)，
即x＋4y－9＝0.
16．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
[解析] 因为f ′(3)＝lim Δx →0 (3＋Δx )3－33
Δx
＝27， 所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)，
即y ＝27x －54.
此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12
×2×54＝54. 17．试求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．
[解析] Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx
＝3x (Δx )2＋3x 2Δx ＋(Δx )3
Δx
＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2，
lim Δx →0 Δy Δx
＝3x 2，因此y ′＝3x 2. 设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，据导数的几何意义，函数在点P
处的切线的斜率为k ＝3x 20①，过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1
②，由①＝②得，3x 20＝x 30x 0－1
，解之得x 0＝0或x 0＝32，所以k ＝0或k ＝274，因此y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两条，分别为y －1＝274
(x －1)和y ＝1，即27x －4y －23＝0和y ＝1. 18．已知曲线y ＝x 2－1与y ＝x 3＋1在x 0点的切线互相垂直，求x 0的值．
[解析] 函数y ＝x 2－1在x 0处的导数为：
y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－1－x 20＋1Δx
＝lim Δx →0 2x 0·Δx ＋(Δx )2
Δx
＝2x 0.
函数y ＝x 3＋1在x 0处的导数为：
y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－x 30－1Δx
＝lim
Δx→0(Δx)3＋3x0·(Δx)2＋3x20·Δx
Δx
＝3x20，
∵两曲线在x0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，∴2x0·3x20＝－1，
解得x0＝－
1
3
6
.。