斯特林 反转公式 证明

斯特林反转公式证明
斯特林（Stirling）公式是一条用来近似计算阶乘的数学公式。

它在数学分析、概率论等领域都有着重要的应用。

咱们先来说说斯特林公式到底是啥。

它的表达式是：$n! \approx
\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ 。

可别被这看起来有点复杂的式子给吓到啦！
为了证明这个公式，咱们得用上一些数学的小技巧和知识。

想象一下，我们有一个班级，里面有 n 个同学。

老师说要给同学们重新排座位，那一共有多少种排法呢？这其实就是 n 的阶乘 n! 。

那咱们换个角度来看。

假设每个同学的位置就像是一个盒子，我们要把 n 个不同的球放进这 n 个盒子里。

先看第一个球，它有 n 个盒子可以选择。

第二个球呢，就只有 n - 1 个盒子能选了，以此类推，第 n 个球就只有 1 个盒子能选。

所以总的排列方法就是 n×(n - 1)×(n - 2)×...×1，也就是 n! 。

接下来，我们用另外一种思路来计算这个排列数。

假设我们把每个盒子都平均分成 n 等份。

那么对于第一个球，它就有 n×n 个位置可以选择。

对于第二个球，就有 (n - 1)×n 个位置能选，一直到第 n 个球，就只有 1×n 个位置能选。

这样总的选择数就约等于 $n^n × (1 - \frac{1}{n})^n × (1 -
\frac{2}{n})^n ×... × (1 - \frac{n - 1}{n})^n$ 。

对这个式子取对数，得到：
$\ln(n!) \approx n\ln(n) - \sum_{k=1}^{n} k\ln(1 - \frac{k}{n})$
咱们来仔细看看这个求和式子。

把这个求和式子用积分来近似，就得到：
$\sum_{k=1}^{n} k\ln(1 - \frac{k}{n}) \approx \int_{0}^{n} x\ln(1 - \frac{x}{n})dx$
经过一番计算，这个积分的值约为 $-\frac{n^2}{2}$ 。

所以，$\ln(n!) \approx n\ln(n) - n^2/2$ 。

再把这个式子变回指数形式，就得到了斯特林公式：$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ 。

回想一下咱们一开始说的班级排座位的例子，是不是感觉数学就像是一个神奇的魔法师，能从不同的角度变出同样的结果来！
总之，斯特林公式的证明虽然有点复杂，但只要咱们一步一步来，多从不同的角度思考，就能理解其中的奥秘啦！。