考研数学二(解答题)模拟试卷147(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷147(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．已知=2，求a，b之值．
正确答案：原式可改写成=2．由于该式成立，所以必有3－=0，即a=9．将a=9代入原式，并有理化得由此得b=－12．故a=9，b=－12．
解析：像这种类型(∞-∞)的极限，已知此待定式的极限存在且等于某一常数，要确定极限式中的参数a，b，一般有下列两种方法：方法1直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值；方法2。

先提出∞因子，将∞-∞型化为∞.0型，然后由极限存在的条件定出极限式中所含参数之值．知识模块：极限、连续与求极限的方法
2．设随机变量X的概率密度f(x)=，求Y=X2的概率密度．
正确答案：随机变量Y=X2的取值范围是[0，+∞)．当y≤0时，FY(y)=0；当0＜y＜1时，有
解析：由于f(x)是分段函数，因此在求积分∫-∞xf(t)dt时，要正确划分积分区间，确定出随机变量Y的取值范围，先求出FY(y)．知识模块：概率论与数理统计
3．试确定常数A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小．
正确答案：将泰勒公式代入已知等式得整理得比较系数可得涉及知识点：函数、极限、连续
4．某产品的次品率为0．1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X表示一天中调整设备的次数，且诸产品是否为次品是相互独立的，求E(X)．
正确答案：引入随机变量Xi，i=1，2，3，4。

设Xi=．则X=X1+X2+X3+X4．又设第i次检验时发现的次品数为Yi，Yi～B(10，0．1)．P{Xi=0}=P{Yi=0}+P{Yi=1}=C100(0．1)0(1—0．1)10+C101(0．1)(1-0．1)9=1．9×0．99，P{Xi=1}=1-0．99×1．9，E(Xi)=0．2639，所以E(X)=4E(Xi)=1．0556．涉及知识点：概率论与数理统计
5．设总体X的概率密度为其中0＜θ＜1是未知参数X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数，求(1)θ的矩估计；(2)θ的最大似然估计．
正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计
6．设A*为3阶方阵A的伴随矩阵，｜A｜＝，求｜(3A)-1－2A*｜的值．
正确答案：涉及知识点：矩阵
7．已知α=是可逆矩阵A=的伴随矩阵A*的特征向量，特征值λ．求a，b，λ．
正确答案：由A可逆知α也是A的特征向量有Aα=λ0α．于是求出a，b 和λ0．而λ=｜A｜／λ0．于是3+b=λ0，2+2b=λ0b，1+a+b=λ0，第1，3两式相减a=2，从而求出｜A｜=4．由第1，2两式得2+2b=(3+6)b，即b2+b－2=0．解得b=1或－2．当b=1时，λ0=4，λ=1，当b=－2时，λ0=1，A=4．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化
8．证明方程χ＝asinχ＋b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a＋b．
正确答案：f(χ)＝χ－asinχ－b，即证它在(0，a＋b]有零点．显然，f(χ)在[0，a＋b] 若f(a＋b)＝0，则该方程有正根χ＝a＋b．若f(a＋b)＞0，则由连续函数零点存在性定理c∈(0，a＋b)，使得f(c)＝0．涉及知识点：微分中值定理及其应用
9．设曲线L的极坐标万程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．看极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L 上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．
正确答案：曲边扇形的面积公式为S=．又弧微分ds=，于是由题设有(*)两边对θ求导，即得r2(θ)=．所以r所满足的微分方程为(它与原方程等价，在(*)式中令θ=0等式自然成立，不必另加条件．) 注意到=±θ+C 为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知C=－π／6，所以曲线L的方程为rsin(±θ)=1．涉及知识点：常微分方程
10．设z=yf(x2-y2)，其中f可导，证明：
正确答案：涉及知识点：高等数学部分
11．设u=
正确答案：u=是u=f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du(从而也就求得)或先求也就可求得du，然后再由．由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得涉及知识点：多元函数微分学
12．设f(χ2－1)＝，且f[φ(χ)]＝lnχ，求∫φ(χ)dχ．
正确答案：由f(χ2－1)＝，得f(χ)＝ln 再由f[φ(χ)＝ln＝lnχ，得φ(χ)＝，所以∫φ(χ)dχ＝＝χ＋2ln｜χ－1｜＋
C．涉及知识点：一元函数积分学
13．计算
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
14．设A，B为n阶矩阵．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
正确答案：(1)一般情况下，AB与BA不相似，如因为r(AB)≠r(BA)，所以AB与BA不相似．(2)因为｜A｜＝n!≠0，所以A为可逆矩阵，取P ＝A，则有P-1ABP＝BA，故AB～BA．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。

15．求矩阵A的特征值与特征向量；
正确答案：因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。

对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。

又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全为零的常数。

涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
16．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=Λ。

正确答案：因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。

由施密特正交化法，取β1=α1，β1=再将α，β1，β2单位化，得令Q=(η1，η2，η3)，则Q—1=QT，且QTAQ==Λ。

涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
17．设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且求线性方程组AX=b的解．
正确答案：因α1，α2，…，αn互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|≠0，根据克拉默法则，方程组AX=b有唯一解，且其中Ai是b代换A中第i列所得矩阵，则|A1|=|A|，|Ai|=0，i=2，3，…，n．故AX=b的
唯一解为X=[1，0，0，…，0]T．涉及知识点：线性代数
18．设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：
正确答案：方法一令φ(x)=因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以涉及知识点：一元函数积分学
19．设A是正交矩阵，且｜A｜<0．证明：｜E+A｜=0．
正确答案：因为A是正交矩阵，所以ATA=E，两边取行列式得｜A｜2=1，因为｜A｜求a，b及可逆矩阵P，使得P-1AP＝
B．
正确答案：由｜λE－B｜＝0，得λ1＝－1，λ2＝1，λ3＝2，因为A～B，所以A的特征值为λ1＝－1，λ2＝1，λ3＝2．由tr(A)＝λ1＋λ2＋λ3，得a＝1，再由｜A｜＝b＝λ1λ2λ3＝－2，得b＝－2，即A＝由(－E －A)X＝0，得ξ1＝(1，1，0)T；由(E－A)X＝0，得ξ2＝(－2，1，1)T；由(2E－A)X＝0，得ξ3＝(－2，1，0)T，由(－E－B)X＝0，得η1＝(－1，0，1)T；由(E－B)X＝0，得n2＝(1，0，0)T；由(2E－B)X＝0，得η3＝(8，3，4)T，由P1-1AP1＝P2-1BP2，得(P1P2-1)-1AP1P2-1＝B，令P＝P1P2-1＝，则P-1AP＝
B．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量。