北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期期末考试试题
理（含解析）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合2
{|0}M x x x =-≥,{|2}N x x =<,则M N =I ( )
A. {|0}x x ≤
B. {|12}x x ≤<
C. {|0x x ≤或12}x ≤<
D.
{|01}x x ≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求得集合M ,然后进行交集运算即可.
【详解】求解二次不等式20x x -≥可得{}
|10M x x x =≥≤或, 结合交集的定义可得：{|0M N x x ⋂=≤或12}x ≤<. 本题选择C 选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法,交集的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.复数5
1i i
-的虚部是( )
A.
12
B.
2
i C. 12
-
D. 2
i -
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意首先化简所给的复数,然后确定其虚部即可.
【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i
i i +==-+-+,
则复数5
1i i
-的虚部是12.
本题选择A 选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则,虚部的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.0x ∃≥ ,使20x x a +-≤ ,则实数的取值范围是( ) A. 1a > B. 1a ≥ C. 1a < D. 1a ≤
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得,问题转化为()
min
2x
a x
≥+的问题,设函数2x
y x =+,利用该函数的单调性即可
求出参数范围
【详解】由题意可知：0x ∃≥,使2x a x ≥+,则()
min
2x
a x
≥+.
由于函数2x
y x =+是定义域内的单调递增函数, 故当0x =时,函数取得最小值0201+=, 综上可得,实数a 的取值范围是1a ≥. 本题选择B 选项.
【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数,然后结合函数的单调性确定实数a 的取值范围；
2.对于恒成立问题,常用到以下两个结论：(1)()a f x …
恒成立()a f x ax =…max ()a f x ⇔…；
(2)()a f x „恒成立min ()a f x ⇔„
.
4.设向量a r ,b r
满足(3,1)a b +=r r ,1a b ⋅=r r ,则||a b -=r r ( )
A. 2 6
C. 2210
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合向量的运算法则求解其模即可. 【详解】由题意结合向量的运算法则可知：
(
)
222431416a b a b a b -=
+-⋅=+-⨯=v v v
v v v .
本题选择B 选项.
【点睛】本题主要考查向量的运算法则,向量的模的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.设{}n a 为等差数列,122a =,n S 为其前n 项和,若1013S S =,则公差d =( ) A. -2 B. -1
C. 1
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=, 则120a =,等差数列的公差121022
212111
a a d --===--.
本题选择A 选项.
【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系,等差数列公差的计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.在6
⎫
⎝的二项展开式中,2x 的系数为（ ） A. 154
-
B.
154
C. 38
-
D. 38
【答案】C 【解析】
【详解】因为1r T +=6
6(r r
r C -⋅⋅,可得1r =时,2
x
的系数为38-,C 正确. 【此处有视频,请去附件查看】
7.某四棱锥的三视图如图所示,则其体积为( )
A. 83
B.
43
C. 8
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定几何体的空间结构特征,然后求解其体积即可.
【详解】如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,三视图所对的几何体为图中的四棱锥11A BDD B -, 其体积()
18222233
V =
⨯⨯⨯=. 本题选择A 选项.
【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
8.已知F 是抛物线2
:2C y px =(0)p >的焦点,抛物线C 的准线与双曲线
22
22:1x y a b
Γ-=(0,0)a b >>的两条渐近线交于A ,B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则Γ的离心率e =（ ）
A.
2
B.
3
C.
7
【答案】D 【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,利用三角形是等边三角形求出a ,b 的关系式,结合离心率公式,计算可得所求值． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
,准线方程为：2p x =-,
联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程2
p x b y x a ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩
,
解得2pb y a =±
,可得||pb
AB a
=, ABF ∆为等边三角形,
可得pb
p a
=
,
即有b a =,
则3
c e a ====． 故选：D ．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程和性质,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力,属于中档题．
9.将甲、乙等6位同学平均分成正方,反方两组举行辩论赛,则甲、乙被分在不同组中的概率为( ) A.
310
B.
12
C.
35
D.
25
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的
概率值即可.
【详解】由题意可知,甲乙被分在不同组的分组组数为：1
2
24C C ,所有的分组组数为：3
6C ,
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：12243
63
5
C C p C ==. 本题选择C 选项.
【点睛】有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.
10.若函数()()sin (0,0)2f x x π
ωϕωϕ=+><≤的图像关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称,且()f x 在
0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减,则ω=( ) A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意首先确定ϕ的值,然后求解ω的值即可.
【详解】函数()()sin sin f x x x ϕωϕωω⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭的图象是由函数()sin f x x ω=的图象
向左平移
ϕ
ω
个单位得到的, 函数()sin f x x ω=在x 轴右侧的第一个最高点横坐标为2πω
, 由于函数()()(0,0)2f x sin x π
ωϕωϕ=+><≤
的图像关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称,故02πϕ
ωω
-≤, 据此可得：2
π
ϕ≥,结合题意可知：2
π
ϕ=
,
从而
26
πππωω-=,解得3ω=. 本题选择C 选项
【点睛】本题主要考查三角函数的性质,三角函数图像的变换等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知点P 在圆2
2
4x y +=上,(2,0)A -,(2,0)B ,M 为BP 中点,则sin BAM ∠的最大值为( ) A.
1
4
C.
13
D.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由圆的特征可确定BAM ∠为锐角,因此只需求出BAM ∠的正切值的最大值即可. 【详解】设(),P x y ,因为为BP 中点,所以2M ,22x y +⎛⎫
⎪⎝
⎭,所以2tan 2622
y
y BAM x x ∠==+++,
因为点P 在圆2
2
4x y +=上,则22x -≤≤,不妨令0y >,
则
tan 6
y
BAM x ∠==
=
=+令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥
+⎣⎦,
则tan BAM ∠== 所以当且仅当316t =
时,tan BAM ∠取最大值4
,故1sin 3BAM ∠=.故选C. 【点睛】本题主要考查函数的综合,通常情况下,需要依题意表示出所求的量,通过求函数的值域来确定结果,属于中档试题.
12.已知()()(31)x
f x e a ax =-+,若()0()f x x R ≥∈成立,则满足条件的a 的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合函数的解析式分类讨论确定满足条件的a 的个数即可. 【详解】分类讨论：
很明显当0a =时,()0x
f x e =>恒成立,
当0a >时,应有130
a
e a
-
-=,此方程的根即函数y x =与函数
13x
y e
-
=在区间()0,∞+上
的交点的个数, 注意到13x
y e
-=过坐标原点的切线方程为3y x e =
,且3
1e
>,故函数y x =与函数13x y e -=在区间()0,∞+上有2个交点,函数图象如图所示.
当0a <时,不存在满足题意的实数a , 综上可得,满足条件的a 的个数是3. 本题选择D 选项.
【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想,导函数研究函数的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）
13.若x ,y 满足约束条件10,
10,310,x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪++≥⎩
则2x y +的最大值为__________．
【答案】2 【解析】 【分析】
首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值, 联立直线方程：10
10
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩,可得点的坐标为：()0,1A ,
据此可知目标函数的最大值为：0212+⨯=.
【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值,当b ＞0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最大,在y 轴截距最小时,z 值最小；当b ＜0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小,在y 轴上截距最小时,z 值最大.
14.已知函数2,0,()ln(1),0,
x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩则不等式()1f x <的解集为__________．
【答案】(1,1)e -- 【解析】 【分析】
由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】结合函数的解析式分类讨论：
当0x <时,21x <,解得：11x -<<,此时10x -<<, 当0x ≥时,()ln 11x +<,解得1x e <-,此时01x e ≤<-, 综上可得,不等式()1f x <的解集为()1,1e --.
【点睛】本题主要考查分段函数不等式的解法,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,122n n S a +=-,若21
2
a =,则5S =__________． 【答案】
3116
【解析】 【分析】
由题意首先求得1S ,然后结合递推关系求解5S 即可. 【详解】由题意可知：12221S a =-=, 且：()122n n n S S S +=--,整理可得：()11
222
n n S S +-=
-, 由于121S -=-,故()4
55113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用,前n 项和与通项公式的关系等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.已知圆锥的顶点为S ,O 为底面中心,A ,B ,C 为底面圆周上不重合的三点,AB 为底面的直径,SA AB =,M 为SA 的中点.设直线MC 与平面SAB 所成角为α,则sin α的最大值为__________．
1 【解析】 【分析】
由题意建立空间直角坐标系,结合空间向量的结论和均值不等式确定sin α的最大值即可. 【详解】以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设4SA AB ==,则：
(()0,,,,0M C x y -,如图所示,由对称性不妨设0,0x y ><且224x y +=,
则(,1,MC x y =+u u u u v ,易知平面SAB 的一个法向量为()1,0,0m =v
,
据此有：sin MC m MC m u u u u v v u u u
u v v α⋅=⨯
=
=
≤1=
, 当且仅当4y =时等号成立,
综上可得：sin α的最大值为31-.
【点睛】本题主要考查空间向量及其应用,学生的空间想象能力等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：60分
17.如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥,60A ∠=︒,M 为AD 上一点,22AM MD ==,60BMC ∠=︒.
（1）若MCD ∆为等腰三角形,求BC ； （2）设DCM θ∠=,若4MB MC =,求tan θ. 【答案】（1）3（23
【解析】 【分析】
(1)由题意结合几何性质和余弦定理求解BC 的长度即可；
(2)由题意结合正弦定理得到关于θ的等式,然后求解tan θ的值即可. 【详解】（1）由AB CD P ,60A ∠=︒可得,120D ∠=︒, 又MCD ∆为等腰三角形,所以30DMC DCM ∠=∠=︒, 从而33MC MD ==,90AMB ∠=︒, 所以23MB =.
在MBC ∆中,由余弦定理得,
2BC = 2229BM MC BM MC cos BMC +-⋅⋅∠=,
即3BC =.
（2）因为DCM θ∠=,所以60ABM θ∠=︒-,060θ︒<<︒. 在MCD ∆中,由正弦定理得,3
MC =
； 在MAB ∆中,由正弦定理得,()
3
60MB sin θ=
︒-,
由4MB MC =,得()343
602sin sin θθ
=︒-,
解得32
tan θ=
. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.在三棱柱111ABC A B C -中,AC BC ⊥,O 为BC 中点,1C O ⊥底面ABC ,点M 在线段
1BB 上,且11C M BB ⊥.
（1）证明：11A M BB ⊥；
（2）若AC BC =,1MB MB =,求二面角11C A M C --的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）30
【解析】 【分析】
(1)由题意结合线面垂直的判定定理首先证得线面垂直,然后证明线线垂直即可； (2)结合几何图形的特征建立空间直角坐标系,然后利用法向量求解二面角的余弦值即可. 【详解】（1）∵1C O ⊥底面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴1C O AC ⊥,又AC BC ⊥,1BC C O O ⋂=, ∴AC ⊥平面11BCC B ,
而1BB ⊂平面11BCC B ,∴1AC BB ⊥, 又11AC AC P ,则有111AC BB ⊥, 又11C M BB ⊥,1111A C C M C ⋂=,
∴1BB ⊥平面11A C M ,而1A M ⊂平面11A C M , ∴11BB A M ⊥,
（2）连接1C B ,如图所示,建立空间直角坐标系, 因
1MB MB =,且11C M BB ⊥,所以111C B C B =,
又1C O ⊥底面ABC ,有1C O BC ⊥,所以11C C C B =,
设2AC =,则()0,0,0C ,()2,0,0A ,()0,2,0B ,(13C ,
由（1）可知平面11A MC 的法向量为(13CC =u u u u v
,
(113CA CA CC =+=u u u v u u u v u u u u v
,
1150,,222CM CB BM CB CC ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u u v , 设平面1CA M 的法向量为(),,n x y z v
=,
则1
20CA n x y ⋅=+=u u u v v
,502
CM n y z ⋅=+=u u u u v v ,
可取()
5n =-v
,
111,CC n cosCC n CC n ⋅===u u u u v v
u u u u v v u u u u v v ,
而二面角11C A M C --为锐二面角, 所以二面角11C A M C --
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定,空间向量的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.近年来,我国工业经济发展迅速,工业增加值连年攀升,某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元）,如下表：
依据表格数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图和表中数据,此研究机构对工业增加值y （万亿元）与年份序号x 的回归方程类型进行了拟合实验,研究人员甲采用函数vx y e μ=,其拟合指数20.93R =；研究人员乙采用函数n
y mx =,其拟合指数20.95R =；研究人员丙采用线性函数y bx a =+,请计算其拟合指数,并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数r 与拟合指数2R 满足关系22R r =）.
（2）根据（1）的判断结果及统计值,建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本(),i i x y ()1,2,,i n L =的相关系数()()
12
2
1
1
n
i n
n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑,
17450.4132.1≈,()()()
1
2
1
n
i
i
i n i
i x x y y b x x ∧
==--=
-∑∑,a y b x ∧∧
=-. 【答案】（1）见解析（2） 1.5711.96y x ∧
=+（3）2019 【解析】 【详解】（1）129.6
0.981132.1
r =
≈,220.962R r =≈. 因为2R 越大,拟合效果越好,所以丙的拟合效果最好． （2）129.6
1.578
2.5
b ∧
=
≈, 20.6 5.511.96a b ∧
∧
=-⨯≈.
因此y 关于x 的线性回归方程为 1.5711.96y x ∧
=+． （3）从2008年开始计数,
2018年是第11年,其工业增加值y 的预报值：
1.571111.9629.2330y ∧
=⨯+=<.
2019年是第12年,其工业增加值y 的预报值：
1.571211.9630.8030y ∧
=⨯+=>.
故可以预测到2019年的工业增加值能突破30万亿元大关．
【点睛】本题主要考查回归方程的求解与应用,相关系数的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,离心率e =过点(1,1)M -的动直线l 与椭圆
C 相交于A ,B 两点.当l x ⊥轴时,||AB =（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知N 为椭圆C 的上顶点,证明NA NB k k +为定值.
【答案】（1）2
2:14
x C y +=（2）详见解析
【解析】 【分析】
(1)先由离心率得到a b ，的关系,再由题中l x ⊥轴时,AB 即可求出a b ，,进而可得结果;
(2)分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论,联立直线与椭圆的方程,由根与系数关系,表示出直线NA,NB 的斜率,从而可证明结论成立.
详解】解：（1）由2
e =
可得2c a =,所以12b a =,
即2
2
4a b =,从而椭圆2
22:4
x C y b +=．
当l x ⊥轴时,:1l x =,由AB =不妨取A ⎛ ⎝⎭,1,B ⎛ ⎝
⎭, 代入椭圆2
22:4x C y b +=,得21b =,
故椭圆2
2:14
x C y +=．
（2）依题意,()0,1N ．
当l 的斜率存在时,设()11y k x =--,()11,A x y ,()22,B x y , 将()11y k x =--代入C 的方程,得(
)()2
2
21481480k x
k k x k k +-+++=,
当0∆>时,
()122
8114k k x x k ++=
+,2122
48·14k k
x x k +=
+． 1212
11
NA NB y y k k x x --+=
+, 因为111y kx k =--,221y kx k =--, 所以()()
1212
22NA NB k x x k k k x x +++=-
()2212k k =-+=-．
由（1）得,当l 的斜率不存在时
,A ⎛ ⎝⎭
,1,B ⎛ ⎝⎭,
所以112NA NB k k +=
-=-． 综上,2NA NB k k +=-．
【点睛】本题主要考查椭圆的方程,以及椭圆的几何性质,通常情况下联立直线与椭圆方程,由根与系数关系,结合题意求解,属于中档试题.
21.已知函数2
2()4ln 32(0)2
x f x ax a x a a a =-+++>.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个极值点1x ,2x ,当a 变化时,求12()()f x f x +的最大值. 【答案】（1）答案见解析；（2）1 【解析】 【分析】
(1)首先求得导函数,然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；
(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为单变量函数的问题,然后结合导函数研究函数的最值即可.
【详解】（1）()244a x ax a
f x x a x x
-='+=-+,0a >．
(ⅰ)当1
04
a <≤时,()0f x '≥ ,()f x 在()0,+∞上单调递增；
(ⅱ)当1
4
a >
时,()0f x '=的根为12x a =22x a =
所以()f x 在(
0,2a ,()2a +∞上单调递增；
在(
2a a 上单调递减．
（2）由（1）得1
4
a >
,12x a =22x a =所以124x x a +=,12x x a = , 从而()()12f x f x +=
()
()22
212121214642
x x a x x alnx x a a +-++++ ()2
2121211042
x x x x a a alna =
+--++ 223alna a a =-+．
令()2
23g a alna a a =-+,则()44g a lna a -'=+,
令()44h a lna a =-+,则()1
4h a a
'=-, 因为14a >
,所以()0h a '<,所以()h a 在1,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,又()10h =,
从而1,14a ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时,()0h a > ,()0g a '> ,()g a 单调递增； ()1,a ∈+∞时,()0h a < ,()0g a '< ,()g a 单调递减,
所以1a =时,()g a 取得最大值1． 故()()12f x f x +的最大值为1．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几
何意义,往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性；已知单调性,求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.在极坐标系中,直线:sin()43
l π
ρθ+=,圆:4sin C ρθ=.以极点O 为原点,极轴为x
轴正半轴建立直角坐标系xOy .
（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；
（2）已知点P 在圆C 上,P 到l 和x 轴的距离分别为1d ,2d ,求12d d +的最大值. 【答案】（1）直线l
的
80y +-=；圆C 的参数方程为2cos ,
22sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩（α为参数,且02απ≤<）；（2）7 【解析】 【分析】
(1)利用极坐标方程与直角坐标方程,普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可； (2)结合(1)中的结论得到关于12d d +的表达式,结合三角函数的性质确定其最大值即可. 【详解】（1）由:43l sin πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭得,1422
sin cos ρθρθ+=； 所以直线l 80y +-=；
由圆:4C sin ρθ=得,2
4sin ρρθ= ,因为x cos ρα=,y sin ρα= ,222x y ρ=+,
所以圆C 直角坐标方程为：()2
224x y +-= 由()2
224x y +-=得, 圆C 的参数方程为2,
22x cos y sin αα=⎧⎨
=+⎩
（α为参数,且02απ≤<）,
（2）设点P 坐标为()2,22cos sin αα+,
则1
d =
=
3sin αα--,222d sin α=+．
那么125253d d sin sin πααα⎛⎫
+=-+=-+ ⎪⎝
⎭
, 当56
π
α=
时,12d d +取得最大值7． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,最值问题的处理方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.已知()|1||1|1f x x x =++--. （1）解不等式()1f x x ≤+； （2）证明：3()(2)f x f x ≥.
【答案】（1）{|02}x x ≤≤（2）详见解析 【解析】 【分析】
(1)由题意零点分段确定不等式的解集即可；
(2)结合(1)中的结论绘制函数()3y f x =和()2y f x =的图象,结合函数图像可知题中的不等式成立.
【详解】（1）不等式1111x x x ++--≤+等价于
1,211,x x x >⎧⎨-≤+⎩或11,11,x x -≤≤⎧⎨≤+⎩或1,21 1.
x x x <-⎧
⎨
--≤+⎩ 解得,12x <≤ ,或01x ≤≤,或x ∈∅．
所以,不等式()1f x x ≤+的解集是{|02}x x ≤≤．
（2）由（1）得,()21,1,
1,
11,21, 1.x x f x x x x --≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩ 所以()63,1,33,
11,63, 1.x x y f x x x x --≤-⎧⎪
==-<<⎨⎪-≥⎩
()
1 41,,
2
11
21,,
22
1
41,.
2
x x
y f x x
x x
⎧
--≤-
⎪
⎪
⎪
==-<<
⎨
⎪
⎪
-≥
⎪⎩
如图所示,画出函数()
3
y f x
=和()
2
y f x
=的图象,
观察图象,可得()()
32
f x f x
≥．
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想．
21。