辽宁省朝阳市普通高中高三第三次模拟考试数学(理)试题

辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试
数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}034|{2≥+-=x x x A ，}51|{≤≤-∈=x N x B ，则=B A （ ） A ．}5,4,3,1{ B ．}5,4,1,0{ C ．}5,4,3,1,0{ D ．}5,4,3{ 2．已知复数z 满足i i z -=+2)1(2（i 为虚数单位），则||z 为（ ）
A ．2
B ．5
C ．
2
5
D ．1 3．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ）
A ．46,45
B ．45,46
C ．46,47
D ．47,45
4．若在区间]2,2[-上随机取一个数k ，则“直线3+=kx y 与圆222=+y x 相交”的概率为（ ） A ．
4
223- B ．223- C ．22- D ．32
2-
5．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ） A ．
11100升 B ．1190升 C ．33254升 D ．22
201
升 6．已知βα,是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：
①若α⊥l ，βα⊥，则β//l ；②若α⊥l ，βα//，则β//l ；③若α⊥l ，βα//，则β⊥l ；
④若α//l ，βα⊥，则β⊥l . 其中说法正确的个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．执行如图所示的程序框图，若输入的001.0=t ，则输出的=n （ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 8．已知函数)0)(3sin()(>+
=ωπ
ωx x f ，)3()6(ππf f =，且)(x f 在区间)3
,6(π
π上有最小值，无最大值，则ω的值为（ ） A.
3
2
B.
311 C.37 D. 3
14 9．已知点)4,4(P 是抛物线C ：px y 22
=上的一点，F 是其焦点，定点)4,1(-M ，则M
P F ∆的外接圆的面积为（ ）
A ．
32125π B ．16125π C ．8125π D ．4
125π
10．在n
x
x )3(+的二项展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72=+B A ，
则二项展开式中常数项的值为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
11．已知点P 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右
焦点，I 为21F PF ∆的内心（三角形21F PF 内切圆的圆心）
，若21212
1
F IF IPF IPF S S S ∆∆∆≥-
（2121,,F IF IPF IPF S S S ∆∆∆分别表示2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A ．]2,1(
B ．)2,1(
C ．)3,2(
D ．]3,2(
12．已知)(x f 是定义在区间),2
1
(+∞上的函数，)('x f 是)(x f 的导函数，且
)21)((2ln )('>>x x f x x xf ，1)2(=e f ，则不等式x e f x
<)2
(的解集是（ ）
A ．)1,(-∞
B ．),1(+∞
C ．)1,2
1
( D ．)1,0( 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量与的夹角为0
60，2||=，3||=，则=-|23| . 14．若)2
,
0(,3tan π
αα∈=，则=-
)4
cos(π
α .
15．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥9
38200y x y x y x ，则y x z 3+=的最大值是 .
16．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为棱11D C ，C C 1的中点，则直线AM 与BN 所成角的余弦值为
.
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n S a n ,,成等差数列，1)1(log 22-+=n n a b . （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 中去掉数列}{n a 的项后余下的项按原顺序组成数列}{n c ，求
10021c c c +++ 的值.
18．今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n 套房源，则设置n 个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源. （1）求每个家庭中签的概率；
（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房.记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为X ，求X 的分布列及数学期望.
19．如图，在PBE ∆中，PE AB ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5=AC ，
22
1
==
=AE AP AB ，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角E AB P --是直二面角.
（1）求证：//CD 平面PAB ；
（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值.
20．如图，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 经过点)31,34(M ，且点M 到椭圆的两焦点的距离
之和为22.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若S R ,是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为
2
1
且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：M O P ,,三点共线.
21．已知函数)(1)1()(2R k x k e x f x ∈---=.
（1）若函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，求实数k 的最小值； （2）若函数)(x f 在区间)1,0(上无零点，求实数k 的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=t
y t
x 622（t 为参数），以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标是)3
4,2(π. （1）求直线l 的普通方程；
（2）求直线l 上的点到点M 距离最小时的点的直角坐标. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数)(|2|)(R a a x a x f ∈-+=. （1）若2=a ，解不等式|3)(≥x f ；
（2）若0>a ，求函数)(x f 在区间]2,1[-上的最大值和最小值.
数 学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上.
13．6 14．
552 15．12 16．5
5
2 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(Ⅰ)因为n n S a n ,,成等差数列， 所以n n a n S 2=+，①
所以)2(2111≥=-+--n a n S n n ②
①-②，得1221--=+n n n a a a ，所以)2)(1(211≥+=+-n a a n n 又当1=n 时，1121a S =+，所以11=a ，所以211=+a ， 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以n n n a 22211=⋅=+-， 即12-=n n a .
（2）据（1）求解知，121)121(log 22-=--+=n b n n ，11=b ， 所以21=-+n n b b ，
所以数列}{n b 是以1为首项，2为公差的等差数列
又因为,255,127,63,31,15,7,3,187654321========a a a a a a a a
213,211,12710710664===b b b ，
所以)()(7211072110021a a a b b b c c c +++-+++=+++
]7)222[(2
)
2131(107721-+++-+⨯=
112029210772
1)21(22
214
107827=+-=+---
⨯=
.
18．(Ⅰ) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，
所以每个家庭能中签的概率10
3206==
p . （2）据题意知，X 的所有可能取值是0，1，2
151)0(2622===C C X P ，158
)1(261
112===C C C X P ，15
6)2(2624===C C X P
X 的分布列为
X 的数学期望3
4
156215811510)(=⨯+⨯+⨯
=X E . 19．解：(Ⅰ)因为
22
1
=AE ，所以4=AE 又2=AB ，PE AB ⊥， 所以52422222=+=+=AE AB BE
又因为BE AC 2
1
5=
=
所以AC 是ABE Rt ∆的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中线， 所以C 是BE 的中点，
又因为CD 是ABE ∆的中位线， 所以AB CD //
又因为⊄CD 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，所以//CD 平面PAB .
（Ⅱ）据题设分析知，AP AE AB ,,两两互相垂直，以A 为原点，AP AE AB ,,分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为22
1
==
=AE AP AB ，且D C ,分别是AE BE ,的中点，
所以2,4==AD AE ，
所以有点)0,2,0(),2,0,0(),0,2,1(),0,4,0(D P C E ， 所以)0,0,1(),2,2,1(),2,4,0(-=-=-=CD PC PE ， 设平面PCD 的一个法向量为)',','(z y x =，则
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n CD n 即⎩
⎨⎧=-+=-0'2'2'0
'z y x x ，所以⎩⎨
⎧==''0'y z x 令1'=y ，则)1,1,0(=
设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10
10
||
||||
sin =
⋅=n PE θ. 又]2
,
0[π
θ∈，所以10
10
3sin 1cos 2=-=θθ， 所以3
1
cos sin tan ==
θθθ. 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为
3
1. 20.解：(Ⅰ)因为点M 到椭圆的两焦点的距离之和为22， 所以222=a ，解得2=
a
又椭圆C 经过点)31,34(M ，所以1)31()34(2
2
22=+
b a ，
所以12
=b
所以椭圆C 的标准方程为12
22
=+y x . (Ⅱ)证明：因为线段RS 的中垂线l 的斜率为2
1， 所以直线RS 的斜率为2-，
所以可设直线RS 的方程为m x y +-=2
据⎪⎩⎪⎨⎧=++-=12
22
2y x m x y 得022892
2=-+-m mx x 设点),(),,(),,(002211y x P y x S y x R ， 所
以
9229822)(222,9821212121m m m m x x m x m x y y m x x =+⋅-=++-=+-+-=+=
+， 所以9
2,942210210m
y y y m x x x =+==+=. 因为
4
1
00=x y ，所以0041x y =
所以点P 在直线x y 4
1
=
上， 又点)3
1,34(),0,0(M O 也在直线x y 4
1
=上， 所以M O P ,,三点共线.
21．解：(1) 函数)(1)1()(2R k x k e x f x ∈---=的定义域为R ，12)('2-+=k e x f x 讨论：
当1≥k 时，0)('>x f ，
此时函数)(x f 在R 上单调递增，满足题设；
当1<k 时，令0122>-+k e x
，得21ln 21k x ->
；令0122<-+k e x
，得2
1ln 21k x -<, 所以此时函数)(x f 在区间)21ln 21,
(k --∞上单调递减，在区间),2
1ln 21(+∞-k 上单调递增， 又函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，所以02
1ln 21≤-k
，解得11≤≤-k ， 综上，实数k 的最小值是1-.
（2）由01)1()(2=---=x k e x f x ，得1)1(2+-=x k e x
设1)1()(,)(2+-==x k x h e x g x
，则“函数)(x f 在区间)1,0(上无零点”等价于“函数
x e x g 2)(=与1)1()(+-=x k x h 的图象在)1,0(上没有公共点”
讨论：
当1<k 时，1)1()(+-=x k x h 在R 上是单调递增函数，函数x
e x g 2)(=在R 上也是单调递
增函数，
作出函数1)1()(+-=x k x h 与函数x
e x g 2)(=满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：
图1 图2
（i ）如图1，)1()1(h g ≤，即1)1(2+-≤k e ，解得2
2e k -≤； （ii ）如图2，k x g -≥1)('对任意]1,0[∈x 恒成立
又当]1,0[∈x 时，2)2(min 2=x e ，所以21≤-k ，解得1-≥k 又1<k ，得11<≤-k
综上，2
2e k -≤或11<≤-k ；
当1=k 时，符合题意；
当1>k 时，1)1()(+-=x k x h 在R 上是单调递减函数，x e x g 2)(=在R 上是单调递增函数， 作出函数1)1()(+-=x k x h 与函数x e x g 2)(=满足题意的草图如下：
观察图象可知1>k 符合题意.
综上，所求实数k 的取值范围是),1[]2,(2
+∞---∞ e . 22.解：(1)直线l 的普通方程为063=--y x . （2）点M 的直角坐标是)3,1(--，
过点M 作直线l 的垂线，垂足为'M ，则点'M 即为所求的直线l 上到点M 距离最小的点. 直线'MM 的方程是)1(313+-
=+x y ，即33
1
31---=x y
据⎪⎩⎪⎨⎧=-----=06333131y x x y 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=-=10399103317y x 所以直线l 上到点M 距离最小的点的直角坐标是)10
399,103317(+--. 23.解：(1) 若2=a ，则3)(≥x f 为3|4|2≥-+x
所以1|4|≥-x ，
所以14-≤-x 或14≥-x ，所以3≤x 或5≥x
故不等式2)(≤x f 的解集为),5[]3,(+∞-∞ .
（2）当0>a 时，⎩
⎨⎧≥-<-=-+=a x a x a x x a a x a x f 2,2,3|2|)( 讨论：当a 22≤即1≥a 时，23)2()(,13)1()(min max -==+=-=a f x f a f x f ； 当14220+<<<a a 即14
1<<a 时，a a f x f a f x f ==+=-=)2()(,13)1()(min max ； 当142+≥a 且0>a 即410≤
<a 时，a a f x f a f x f ==-==)2()(,2)2()(min max ．。