2016-2017学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3.1-3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离
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第三章
直线与方程
3．3 直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 两条直线的交点坐标 3．3.2 两点间的距离
要点整合夯基础
课堂达标练经典
典例讲练破题型
课时作业
[目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐 标； 2.会用代数方法判定两直线的位置关系； 3.记住两 点间的距离公式并会应用．
[重点] 求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应 用．
[解] (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x′，y′)， 则线段 PP′的中点 M 在对称轴上，且直线 PP′垂直于对
称轴，即yyx′′′2＋－－554＝×33×＝x－′12＋，4＋3，
解得xy′′＝＝7－. 2，
所以点 P′的坐标是(－2,7)．
(2)由题意，得 l1 上任一点 P1(x1，y1)关于 l 的对称点 P2(x2， y2)一定在 l2 上，反之也成立．
[变式训练 5] 已知两点 A(3，－3)，B(5,1)，直线 l：y＝x， 在直线 l 上求一点 P 使|PA|＋|PB|最小．
解：如图，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，易知 A′(－ 3,3)．连接 BA′交直线 l 于点 P，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB| ＝
|A′B|.又直线 A′B 的方程为 x＋4y－9＝0，与 y＝x 联立 解得 P95，95.
解法 2：∵l2 不过原点，∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0， 将原点坐标(0,0)代入上式，解得 λ＝1， ∴l 的方程为 5x＋5y＝0，即 x＋y＝0.
解法 2 用到过两直线交点的直线系方程，避免了求两直线 的交点.选择不同的方法求解题目，可以训练自己的解题思路， 使思路更开阔.
3．两点间的距离公式中点 P1，P2 的位置有先后之分么？ 提示：点 P1，P2 的位置没有先后之分，即距离公式也可 以写为|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. 4．对于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当 P1P2 平行于 x 轴时，如何求 P1，P2 的距离，当 P1P2 平行于 y 轴时，如何 求 P1，P2 的距离？ 提示：当 P1P2 平行于 x 轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当 P1P2 平行于 y 轴时，|P1P2|＝|y1－y2|.
两点间距离公式的应用
[例 3] 已知点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y＝2 上一 点 P，使|AP|＝|BP|，则 P 点坐标为________．
[解析] 设 P(x,2)，∵点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y ＝ 2 上 一 点 P ， 使 |AP| ＝ |BP| ， ∴ x＋2＋2－12 ＝
证法 2：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意 m 都成立，则xx＋＋2yy－－51＝＝00，， 得xy＝＝－9，4. 所以不论 m 为何实数，所给直线都过定点 P(9，－4)．
解含有参数的直线恒过定点的问题 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不 同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线 所过的定点，从而问题得解． 方法二：分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为 一项，整理成等号右边为 0 的形式，然后含参数的项和不含参 数的项分别为零，解此方程组得到的解即为已知直线恒过的定 点．
直线过定点问题
[例 2] 求证：不论 m 为何实数，直线(m－1)x＋(2m－ 1)y＝m－5 都过某一定点．
[分析] 特殊值法，分别代入两个 m 的值，得两直线方 程，再确定交点坐标，或将原方程中含有 m 的式子提出来， 联立方程组求解．
[证明] 证法 1：m＝1 时，直线方程为 y＝－4. m＝12时，直线方程为 x＝9. 两直线的交点为 P(9，－4)，将点 P 的坐标代入原方程左边 得(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5. 故不论 m 取何实数，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m －1)y＝m－5 上，即直线恒过点 P(9，－4)．
x－12＋2＋22，解得 x＝2.∴P(2,2)． [答案] (2,2)
已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件 时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点 坐标的方程或方程组求解.
[变式训练 3] 已知点 A(－1,2)，B(1,3)，P 在直线 y＝2x 上，求|PA|2＋|PB|2 取得最小值时点 P 的坐标．
()
A．x＋3y＝0
B．y＝－13x－12
C.x2＋y3＝1
D．y＝－13x＋4
解析：A、B、C 选项的斜率都是－13，且与 x＋3y－4 ＝0 平行，D 选项的斜率是－32，所以x2＋y3＝1 与 x＋3y－4 ＝0 相交．
答案：C
2．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交 于一点？
提示：不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两 条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多 个解，则两条直线重合．
两点间的距离公式
[填一填]
1．公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|
x2－x12＋y2－y12
＝
.
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标 之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
名师点拨：坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点
间距离公式的推广．
[答一答]
点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决.
[变式训练 4] 点(1，y)关于(－1,0)的对称点坐标是(x,2)， 则 x＝________，y＝________.
解析：由1y＋ ＋22 x2＝ ＝－ 0 1，
得xy＝ ＝－ －32， .
答案：－3 －2
命题视角 2：点关于线、线关于线的问题 [例 5] 已知直线 l：y＝3x＋3，求 (1)点 P(4,5)关于直线 l 的对称点的坐标； (2)直线 l1：y＝x－2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程．
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0. 当方程组 有唯一 解时，l1 和 l2 相交，方程组的解就 是交点坐标； 当方程组 无 解时，l1 与 l2 平行； 当方程组 有无数组 解时，l1 与 l2 重合．
[答一答]
1．在下列直线中，与直线 x＋3y－4＝0 相交的直线为
[变式训练 2] 求证：直线(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝ 0(λ∈R)一定经过第二象限．
证明：直线方程可整理为：3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0. 它表示过直线 3x＋4y－2＝0 和 2x＋y＋2＝0 交点的直线 系，由32xx＋ ＋4yy＋－22＝＝00 得交点(－2,2)． ∵(－2,2)在第二象限， ∴不论 λ 取何实数，直线(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0 一 定过点(－2,2)，即一定经过第二象限．
对称问题
命题视角 1：点关于点的对称问题 [例 4] 点(1,1)关于点(2,3)的对称点坐标是________． [分析] 设出对称点坐标(x，y)，利用中点坐标公式求 解．
[解析] 设对称点坐标是(x，y)，
则11＋＋22 xy＝＝23
，解得xy＝＝35 .
所以对称点坐标是(3,5)．
[变式训练 1] 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直线 3x＋y－1＝0 平行的直线 l 的方程．
解：方法 1：由方程组2xx＋－y3＋y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， .
∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行，∴直线 l 的斜率 k＝－ 3.∴根据点斜式有 y－(－75)＝－3[x－(－35)]，即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
方法 2：∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的 交点，
∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
y)可由方程组yxA－－·x＋yx200·x－0＋ABB＝·y＋－2 y10＋ABC≠＝00，
求得． (2)求直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 关于直线 l：Ax＋By＋C＝ 0 对称的直线 l2 的方程的方法：转化为点关于直线对称，在 l1 上任取两点 P1 和 P2，求出 P1，P2 关于 l 的对称点，再用两点式 可求出 l2 的方程．
故yyx111＋－－2 yyx222＝×33×＝－x1＋12，x2＋3，
解得x1＝－45x2＋35y2－95， y1＝35x2＋45y2＋35.
把(x1，y1)代入 y＝x－2，整理得 7x2＋y2＋22＝0，所以 直线 l2 的方程为 7x＋y＋22＝0.
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，
[难点] 方程组解的个数与两线相交、平行或重合的对应 关系的理解．
两条直线的交点坐标
[填一填] 1．求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就 是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可． 2．应用：可以利用两直线的 交点个数 判断两直线的位 置关系．
一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋ B2y＋C2＝0 的方程联立，得方程组
解：设 P 点坐标为(x,2x)，∵|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(2x－ 2)2＋(x－1)2＋(2x－3)2＝10x2－20x＋15＝10(x－1)2＋5，
∴|PA|2＋|PB|2≥5.(当且仅当 x＝1 时取等号) ∴当|PA|2＋|PB|2 取得最小值 5 时，点 P 的坐标为(1,2)．
5．式子 x2＋y2的几何意义是什么？ 提示： x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离．
两条直线的交点问题
[例 1] 已知两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2 ＝0.
(1)求两直线的交点； (2)求过两直线的交点和坐标原点的直线 l 的方程．
[解] (1)由方程组32xx＋＋4yy＋－22＝＝00，， 解得xy＝＝－2. 2， 即 l1 与 l2 的交点坐标为(－2,2)． (2)解法 1：∵直线过点(－2,2)和坐标原点， ∴其斜率 k＝－22＝－1， ∴直线方程为 y＝－x，一般式为 x＋y＝0.
直线与方程
3．3 直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 两条直线的交点坐标 3．3.2 两点间的距离
要点整合夯基础
课堂达标练经典
典例讲练破题型
课时作业
[目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐 标； 2.会用代数方法判定两直线的位置关系； 3.记住两 点间的距离公式并会应用．
[重点] 求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应 用．
[解] (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x′，y′)， 则线段 PP′的中点 M 在对称轴上，且直线 PP′垂直于对
称轴，即yyx′′′2＋－－554＝×33×＝x－′12＋，4＋3，
解得xy′′＝＝7－. 2，
所以点 P′的坐标是(－2,7)．
(2)由题意，得 l1 上任一点 P1(x1，y1)关于 l 的对称点 P2(x2， y2)一定在 l2 上，反之也成立．
[变式训练 5] 已知两点 A(3，－3)，B(5,1)，直线 l：y＝x， 在直线 l 上求一点 P 使|PA|＋|PB|最小．
解：如图，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，易知 A′(－ 3,3)．连接 BA′交直线 l 于点 P，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB| ＝
|A′B|.又直线 A′B 的方程为 x＋4y－9＝0，与 y＝x 联立 解得 P95，95.
解法 2：∵l2 不过原点，∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0， 将原点坐标(0,0)代入上式，解得 λ＝1， ∴l 的方程为 5x＋5y＝0，即 x＋y＝0.
解法 2 用到过两直线交点的直线系方程，避免了求两直线 的交点.选择不同的方法求解题目，可以训练自己的解题思路， 使思路更开阔.
3．两点间的距离公式中点 P1，P2 的位置有先后之分么？ 提示：点 P1，P2 的位置没有先后之分，即距离公式也可 以写为|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. 4．对于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当 P1P2 平行于 x 轴时，如何求 P1，P2 的距离，当 P1P2 平行于 y 轴时，如何 求 P1，P2 的距离？ 提示：当 P1P2 平行于 x 轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当 P1P2 平行于 y 轴时，|P1P2|＝|y1－y2|.
两点间距离公式的应用
[例 3] 已知点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y＝2 上一 点 P，使|AP|＝|BP|，则 P 点坐标为________．
[解析] 设 P(x,2)，∵点 A(－2,1)，B(1，－2)，直线 y ＝ 2 上 一 点 P ， 使 |AP| ＝ |BP| ， ∴ x＋2＋2－12 ＝
证法 2：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意 m 都成立，则xx＋＋2yy－－51＝＝00，， 得xy＝＝－9，4. 所以不论 m 为何实数，所给直线都过定点 P(9，－4)．
解含有参数的直线恒过定点的问题 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不 同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线 所过的定点，从而问题得解． 方法二：分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为 一项，整理成等号右边为 0 的形式，然后含参数的项和不含参 数的项分别为零，解此方程组得到的解即为已知直线恒过的定 点．
直线过定点问题
[例 2] 求证：不论 m 为何实数，直线(m－1)x＋(2m－ 1)y＝m－5 都过某一定点．
[分析] 特殊值法，分别代入两个 m 的值，得两直线方 程，再确定交点坐标，或将原方程中含有 m 的式子提出来， 联立方程组求解．
[证明] 证法 1：m＝1 时，直线方程为 y＝－4. m＝12时，直线方程为 x＝9. 两直线的交点为 P(9，－4)，将点 P 的坐标代入原方程左边 得(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5. 故不论 m 取何实数，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m －1)y＝m－5 上，即直线恒过点 P(9，－4)．
x－12＋2＋22，解得 x＝2.∴P(2,2)． [答案] (2,2)
已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件 时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点 坐标的方程或方程组求解.
[变式训练 3] 已知点 A(－1,2)，B(1,3)，P 在直线 y＝2x 上，求|PA|2＋|PB|2 取得最小值时点 P 的坐标．
()
A．x＋3y＝0
B．y＝－13x－12
C.x2＋y3＝1
D．y＝－13x＋4
解析：A、B、C 选项的斜率都是－13，且与 x＋3y－4 ＝0 平行，D 选项的斜率是－32，所以x2＋y3＝1 与 x＋3y－4 ＝0 相交．
答案：C
2．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交 于一点？
提示：不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两 条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多 个解，则两条直线重合．
两点间的距离公式
[填一填]
1．公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|
x2－x12＋y2－y12
＝
.
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标 之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
名师点拨：坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点
间距离公式的推广．
[答一答]
点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决.
[变式训练 4] 点(1，y)关于(－1,0)的对称点坐标是(x,2)， 则 x＝________，y＝________.
解析：由1y＋ ＋22 x2＝ ＝－ 0 1，
得xy＝ ＝－ －32， .
答案：－3 －2
命题视角 2：点关于线、线关于线的问题 [例 5] 已知直线 l：y＝3x＋3，求 (1)点 P(4,5)关于直线 l 的对称点的坐标； (2)直线 l1：y＝x－2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程．
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0. 当方程组 有唯一 解时，l1 和 l2 相交，方程组的解就 是交点坐标； 当方程组 无 解时，l1 与 l2 平行； 当方程组 有无数组 解时，l1 与 l2 重合．
[答一答]
1．在下列直线中，与直线 x＋3y－4＝0 相交的直线为
[变式训练 2] 求证：直线(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝ 0(λ∈R)一定经过第二象限．
证明：直线方程可整理为：3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0. 它表示过直线 3x＋4y－2＝0 和 2x＋y＋2＝0 交点的直线 系，由32xx＋ ＋4yy＋－22＝＝00 得交点(－2,2)． ∵(－2,2)在第二象限， ∴不论 λ 取何实数，直线(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0 一 定过点(－2,2)，即一定经过第二象限．
对称问题
命题视角 1：点关于点的对称问题 [例 4] 点(1,1)关于点(2,3)的对称点坐标是________． [分析] 设出对称点坐标(x，y)，利用中点坐标公式求 解．
[解析] 设对称点坐标是(x，y)，
则11＋＋22 xy＝＝23
，解得xy＝＝35 .
所以对称点坐标是(3,5)．
[变式训练 1] 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直线 3x＋y－1＝0 平行的直线 l 的方程．
解：方法 1：由方程组2xx＋－y3＋y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， .
∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行，∴直线 l 的斜率 k＝－ 3.∴根据点斜式有 y－(－75)＝－3[x－(－35)]，即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
方法 2：∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的 交点，
∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
y)可由方程组yxA－－·x＋yx200·x－0＋ABB＝·y＋－2 y10＋ABC≠＝00，
求得． (2)求直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 关于直线 l：Ax＋By＋C＝ 0 对称的直线 l2 的方程的方法：转化为点关于直线对称，在 l1 上任取两点 P1 和 P2，求出 P1，P2 关于 l 的对称点，再用两点式 可求出 l2 的方程．
故yyx111＋－－2 yyx222＝×33×＝－x1＋12，x2＋3，
解得x1＝－45x2＋35y2－95， y1＝35x2＋45y2＋35.
把(x1，y1)代入 y＝x－2，整理得 7x2＋y2＋22＝0，所以 直线 l2 的方程为 7x＋y＋22＝0.
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，
[难点] 方程组解的个数与两线相交、平行或重合的对应 关系的理解．
两条直线的交点坐标
[填一填] 1．求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就 是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可． 2．应用：可以利用两直线的 交点个数 判断两直线的位 置关系．
一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋ B2y＋C2＝0 的方程联立，得方程组
解：设 P 点坐标为(x,2x)，∵|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(2x－ 2)2＋(x－1)2＋(2x－3)2＝10x2－20x＋15＝10(x－1)2＋5，
∴|PA|2＋|PB|2≥5.(当且仅当 x＝1 时取等号) ∴当|PA|2＋|PB|2 取得最小值 5 时，点 P 的坐标为(1,2)．
5．式子 x2＋y2的几何意义是什么？ 提示： x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离．
两条直线的交点问题
[例 1] 已知两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2 ＝0.
(1)求两直线的交点； (2)求过两直线的交点和坐标原点的直线 l 的方程．
[解] (1)由方程组32xx＋＋4yy＋－22＝＝00，， 解得xy＝＝－2. 2， 即 l1 与 l2 的交点坐标为(－2,2)． (2)解法 1：∵直线过点(－2,2)和坐标原点， ∴其斜率 k＝－22＝－1， ∴直线方程为 y＝－x，一般式为 x＋y＝0.