高中数学《分数指数幂》精品公开课教案

分数指数幂
（教师叙述：同学们，这一节课我们来学习分数指数幂.这一节课的主要活动还是大家先自学，自己归纳出结论，老师再提示，希望同学们能集中精力，集中注意力，认真学习） （教师叙述：我们知道，有理数分为整数和分数，我们在初中的时候学习过整数指数幂，也学习了它的有关性质，这一节课我们来学习分数指数幂，来研究它的一些性质.我们这一节课的目的就是把指数幂从整数指数幂推广到有理数指数幂） 一、【学习目标】（约2分钟）
（教师注意：这一节课还是主要是学生自我的讨论，最后自己总结归纳出结论，老师重要的是引导，而不是讲解）
（自学引导：这一节课关键是理解、认知分数指数幂含义，做好预习是关键） 1、初步理解认知分数指数幂的含义；
2、会利用分数指数幂的基本知识解决简单的计算推理问题；
3、渗透从特殊到一般的数学归纳思想.
【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生明确任务，认真学习. 二、【自学内容和要求及自学过程】（约25分钟）
（自学引导：通过整数指数幂逐步归纳出分数指数幂的运算性质）
（教师注意：下面的学习过程是通过整数指数幂逐步的归纳出分数指数幂的过程，如果把握的好的话，那么整个课程将是行云流水一般的顺畅，要是把握不好就只能流于形式，这关键是老师的一个定力问题）
阅读教材第50—51页内容，回答下列问题（约15分钟） <1>整数指数幂的运算性质是什么？ <2>观察以下式子,并总结出规律：(a ＞0) ①5
10
a =55
2)(a =a 2
=a
510
；②8a =2
4)(a =a 4
=a 2
8；
③412
a
=44
3)(a =a 3
=a
4
12；④210
a
=22
5)(a =a 5
=a
2
10.
<3>利用<2>的规律,你能表示下列式子吗？
4
35,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).
<4>你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？
<5>你能推广到一般的情形吗？ 结论：<1>整数指数幂的运算性质：
a n
=a ·a ·a ·…·a,a 0
=1(a ≠0)；00
无意义；a -n
=n a
1(a ≠0)；a m ·a n =a m+n ；（a m )n =a mn
；(a n )m
=a mn
；(ab)n
=a n b n
；
<2>①a 2
是a 10
的5次方根；②a 4
是a 8
的2次方根；③a 3
是a 12
的4次方根；④a 5
是a 10
的2次方根. 实质上①5
10
a
=a
5
10,②8
a =a 2
8,③412
a
=a
4
12,④210
a
=a
2
10结果的a 的指数是
2,4,3,5分别写成了
510,28,412,5
10,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）；
<3>利用<2>的规律,
4
3
5=54
3
,35
7=73
5,57
a =a 5
7,n m
x =x n
m
<4>53
的四次方根是54
3,75
的三次方根是73
5,a 7
的五次方根是a 5
7,x m
的n 次方根是x n
m ,结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
<5>如果a>0,那么a m
的n 次方根可表示为n
a m
=a n m ,即a n
m =n a m (a>0,m,n ∈N *
,n>1).
【综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义】
规定:正数的正分数指数幂的意义是a m
n =n a m (a>0,m,n ∈N *
,n>1).
思考：<1>类比正数的正分数指数幂，正数的负分数指数幂的意义是什么？零的分数指数幂
的意义是什么？
<2>指数的概念从整数指数推广到了有理数指数后，有理数指数幂的运算性质是什
么？
结论：<1>正数的负分数指数幂的意义是 a
m
n =
m
n a
1=
n
m
a 1
(a>0,m,n ∈N *
,n>1)；
零的分数指数幂的意义是:
零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
<2>有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:
①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs
(a>0,r,s ∈Q ),
③(a ·b)r
=a r b r
(a>0,b>0,r ∈Q ).
(教师注意：这一部分学生可能会问到为什么要规定a>0。

事实上这个问题我们应该放到学习指数函数的时候再给同学们解释，并且这个问题我们也只能说清楚即可，也即点清楚，不作为知识点，但是要让学生们牢记我们要规定a>0)
【教学效果】：巡视的时候看到同学们都把学案填满了，而且上课过程很顺利，教学效果比较满意.
三、【练习与巩固】（约20分钟）
请同学们阅读教材第51页例2—例5，然后完成下面练习（约10分钟）
（自学引导：同学们应该在课下预习的时候就把例2到例5做出来，这是必须达到的要求） 练习一：找同学到黑板上演算例2到例5原例题； 练习二：教材第54页练习第2题；
(教师注意：例2到例5是很重要的类型题，希望老师能引导学生理解和运用） 根据今天所学知识，完成下面练习（约10分钟）
（教师注意：比较数的大小的题目在高考中常有出现，希望能引起老师和同学们的高度重视.并且在以后的函数学习中，也有很多比较数的大小的题目，这是我们每一个老师要注意的地方，也是我们引导学生注意的地反.其实每一个题目的设计，都不是简单的罗列.每一个题目都有它本身的作用，特别是这些在新课中的练习题，往往起到承上启下的作用） 练习三：<1>比较5,311,6123的大小 ；
<2>求下列各式的值:
①4
3
2
981⨯；②23×35.1×612；
结论：<1>因为5=63
5=6125,311=6121,而125＞123＞121,
所以6125>6123>6121.所以5>6123>311.
<2>①4
3
2981⨯=［34
×(334)21］4
1
=(3
3
24+)4
1=(3
3
14)41=36
7=633；
6
3
125.132⨯⨯=2×32
1×(2
3)31×(3×22
)61=231311++· 361
3121++=6；
思考：已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x
.
<1>求［f （x ）］2
－［g （x ）］2
的值； <2>设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求
)
()
(y x g y x g -+的值.
结论：<1>［f （x ）］2
－［g （x ）］2
=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］
=（e x
－e -x
+e x
+e -x
）（e x
－e -x
－e x
－e -x
）=2e x
（－2e -x
）=－4e 0
=－4; <2>f （x ）·f （y ）=（e x
－e -x
）（e y
－e -y
）=e x
+y+e
-(x+y)
－e x -y －e
-(x-y)
=g （x+y ）－g （x
－y ）=4,同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8,得方程组⎩⎨
⎧=++=+8,
y)-g(x y)g(x 4,
y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以
)()(y x g y x g -+=2
6
=3.
四、【作业】
1、必做题：教材第54页练习第3题；
2、选做题：教材第60页习题2.1B 组第2题 五、【小结】
本节课主要学习了分数指数幂，从正分数指数幂推到负分数指数幂，推广到分数指数幂，然后把指数幂推广到有理数指数幂.中间涉及到分类讨论的思想和从特殊到一般的数学归纳思想.
六、【反思】我们将这节课的真正的目的是什么？首先，我们前面学习了根式，可以说学习根式的目的是为学习分数指数幂服务的，因为分数指数幂的本质就是能写成根式形式，或者说分数指数幂能用根式来表示，学习了分数指数幂，再联系我们初中学习的整数指数幂，我们就可以把指数的运算性质推广到有理数范围内（有理数包括整数和分数），而我们下一节课要讲无理数指数幂，无理数指数幂学习完以后就可以把指数的运算性质推广到实数范围内（实数包括有理数和无理数）.完成这些工作以后，我们就可以学习指数函数了.指数函数对于我们以后的生活和实际应用是有很多用处的，譬如说我们要搞建筑，要建飞船，不管是高科技还是平时的生活，都能应用到指数函数.而且我们很多的经济模型也能应用到指数函数，譬如经济学上有一个“指数爆炸”的术语，就是指数函数的模型.老师要
讲明白这些道理，才能提高学生的学习兴趣，才能让学生明白学习数学的重要性.不要认为这和数学无关，这和数学很有关.对于本节课，事实上我对自己不满意，讲的多了，学生学的少了，并且分类讨论的思想和数学归纳的思想没有得到很好的渗透，更重要的是自己过高的估计了学生，认为那些例题学生都能看懂，结果作业情况不理想，格式不规范.
所以我们备课要备学情，这一点是至关重要的.。