北京市朝阳区2016届高三数学第二次(5月)综合练习试题理

北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第二次综合练习
数学试卷（理工类）
2016 ． 5
（考试时间 120 分钟
满分 150 分）
本试卷分为选择题（共
40 分）和非选择题（共
110 分）两部分
第一部分（选择题
共 40分）
一、选择题：本大题共
8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 A
x 1 2x
4 ， B x x 1 0 ，则 AI B ＝
A ． x 1 x 2
B ． x 0 x 1
C ． x 0 x 1
D ． x 1 x 2
i
（ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于
2．复数 z
1
i
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
A ． 6 B
． 10 开始
C ．14
D
． 15
4．已知非零向量 a ， b ，“ a ∥ b ”是 k 2,S
1
“ a ∥ (a
b ) ”的
k k
1
k 5?
是
S
k
A ．充分而不必要条件
S
B ．必要而不充分条件
否
C ．充要条件
输出 S 的值
D ．既不充分也不必要条件
5．同时具有性质 : “①最小正周期是
；
结束
②图象关于直线 x
对称；
3
③在区间
5
, 上是单调递增函数”的一个函数可以是
6
A ． y
cos( x
)
2 6
C ． y
cos(2x
) 3
B
． y
sin(2 x )
6 D
． y
sin(2 x
)
6
x 1,x 2, 6．已知函数 f (x)
log a x, x (a 0 且 a 1) 的最大值为 1
, 则 a 的取值范围是
2 2
A ．[1
,1)B
． ( 0,1)
C
． (0, 1
]
D
．(1, )
2
2
7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定 1 人，对各班的卫生进行检 查．若
每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排
方法的种数是
A ．48
B ． 72
C ． 84
D ． 168
8．已知正方体 ABCD A 11B C 1 D 1 的棱长为 2， E 是棱 D 1C 1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的 表面上，且 EF ∥平面
A 1BC 1 ，则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是
A ．
9
B ．2 3
C ．3 3
D ．4 2
2
第二部分（非选择题
共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
9．双曲线 C :
x 2
y 2 1的渐近线方程是
；若抛物线 y 2
2 px( p 0) 的焦点与
3
双曲线 C 的一个焦点重合，则 p
．
10．如图， P 为⊙ O 外一点， PA 是⊙ O 的切线， A 为切点， 割线 PBC
与⊙ O 相交于 B,C 两点，且 PC
3PA ， D 为线段 BC 的中点，
AD 的延长线交⊙ O 于点 E ．若 PB 1，则 PA 的长为 ______；
AD DE 的值是
．
11．已知等边 ABC 的边长为 3， D 是 BC 边上一点，若 BD 1，则
uuur uuur
AC AD 的值是 ______．
A
O
PB
D
C
E
x 0,
12．已知关于 x, y y x,
D 为三角形区域，则实数
k 的取值范
的不等式组
y
所表示的平面区域 x 2,
2x
y
k
围是 ．
13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地 .
第一年支出各种费用 8 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元 . 每年销售蔬菜的收入为 26 万
元 . 设 f (n) 表示前
n 年的纯利润（ f (n) =前 n 年的总收入－前 n 年的总费用支出－投资额）
，则
f (n)（用 n表示）；从第年开始盈利 .
14．在平面直角坐标系xOy 中，以点 A (2,0) ，曲线
y 1 x2上的动点 B ，第一象限内的点 C ，构成等腰直角三角形ABC,且 A 90 ，则线段 OC 长的最大值是．
三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分 13 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是a， b ，c，已知 c o s A21
，3
c3,sin A 6 sinC ．
( Ⅰ) 求a的值；
( Ⅱ)若角 A 为锐角，求 b 的值及ABC 的面积．
16．（本小题满分13 分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情
况的概念性指数值．交通指数范围为(010)，，五个级别规定如下：
交通指数(0, 2)[2, 4)[4,6)[6,8)[8,10)级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵
某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40 个工作日早高峰时段 ( 早晨 7点至 9点)的交通指数 ( 平均
频率
值 ) ，其统计结果如直方图所示．组距
（Ⅰ）据此估计此人 260 个工作日中早高峰
0.25
时段（早晨7 点至 9 点）中度拥堵的0.20
天数；
0.15
（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：
畅通时 30 分钟，基本畅通时
0.10 35 分钟，
轻度拥堵时40 分钟，中度拥堵时 5 00.05
分钟，严重拥堵时 70 分钟，以直方图
中各种路况的频率作为每天遇到此种012345678910交通指数值路况的概率，求此人上班路上所用时间X 的数学期望．
17．（本小题满分 14 分）
如图，在等腰梯形ABCD 中， BC // AD ，BC1 A 60 ， E为AD中
1AD 2，
2
点，点 O, F 分别为 BE , DE 的中点．将 ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置，使得平面 A1BE平面BCDE （如图2）．
（Ⅰ）求证：AO1 CE ；
（Ⅱ）求直线A1B 与平面 ACE1所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱 AC1上是否存在点P ，使得 BP // 平面AOF1?若存在，求出A
1
P
的值；若不AC1
存在，请说明理由．
A1 A E D
E F
D
O
B C B C
图 1图 2
18．（本小题满分13 分）
已知函数 f ( x) 1 x2(a1)x （1 a)ln x ， a R．
2
（Ⅰ）当 a3时，求曲线 C : y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；
1 x2,
（Ⅱ）当 x 1,2 时，若曲线 C : y f ( x) 上的点 (x, y) 都在不等式组x y,所表示的
y x 平面区域内，试求 a 的取值范围．3 2
19．（本小题满分14 分）
在平面直角坐标系xOy 中，点P( x0, y0 )( y0 0) 在椭圆C :x
2y21
上，过点 P 的直线 l 的2
方程为x
x
y0 y 1．2
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；
（Ⅱ）若直线 l 与x轴、 y 轴分别相交于A, B 两点，试求OAB 面积的最小值；
（Ⅲ）设椭圆 C 的左、右焦点分别为F1， F2，点Q与点 F1关于直线l对称，求证：点 Q, P, F2三点共线．
20．（本小题满分 13 分）
已知集合 S k 1k3n
1
, k N(n 2 ，且n N )．若存在非空集合S1,S2 ,, S n，2
使得 S S1S2S n，且S i S j(1,i j,n i) j，并x,y S i i(1,2, n), x y ，都有 x y S i，则称集合S具有性质P，S i（ i1,2,, n ）称为集合S的P子集．
（Ⅰ）当 n 2 时，试说明集合S 具有性质P，并写出相应的 P 子集
S ,S；
12
（Ⅱ）若集合 S 具有性质 P ，集合 T 是集合 S 的一个 P 子集，设T{ s3n | s T} ，求证： x, y T T ，x y ，都有x y T T ；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n2，集合 S具有性质P．
数学答案（理工类）2016． 5
一、选择题：（满分40 分）
题号12345678
答案A B B C D A D C
二、填空题：（满分30 分）
题
91011121314号
答3 x ， 4
3，166( ,2][0,1)n2 19n60,5 2 2 1 y
案3
（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）
三、解答题：（满分80 分）
15．（本小题满分13 分）
解：( Ⅰ) 因为
所以
cos2 A 1 2sin 2 A1，且0A，
3
sin A 6 ．
3
因为 c3,sin A 6 sin C ，
由正弦定理
a c
，得 a6c6 3 32．,,,,,,,6分sin A sin C
( Ⅱ) 由sin A 6
,0A
得
cos A 3 ．323
由余弦定理a2b2c22bc cos A ，得 b22b150 ．解得 b 5 或 b 3 （舍负）．
所以
S ABC 1
bc sin A5 2 ．,,,,,,,13分22
解 :（Ⅰ）由已知可得：上班的40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25 ，据此估计此人260 个工作日早高峰时段（早晨7 点至 9 点）中度拥堵的天数为260 ×0.25=65天 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30,35, 40,50,70．
且 P(X 30)0.05 ； P( X35)0.10 ； P( X40)0.45 ；
P( X 50) 0.25 ； P( X
70) 0.15 ；
所以 EX
30 0.05+35 0.1+40 0.45+50 0.25+70 0.15=46．
,,,,,,,,,,,,, 13 分
17．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）如图
1，在等腰梯形
ABCD 中， A
E
D
由 BC //AD ，BC
1
AD
2 ， A
60 ，E 为 AD
2
中点，
所以
ABE 为等边三角形．如图
2,
B
C
因为 O 为 BE 的中点，所以 AO 1 BE ．
图 1
A 1
又因为平面 A 1BE
平面 BCDE ，
且平面 A 1 BE 平面 BCDE
BE ，
E
F
D
所以
1
平面 BCDE ，所以
1
CE
． ,,,4分
O
AO
AO
B
C
（Ⅱ）连结 OC ，由已知得 CB
CE ，又 O 为 BE 的中点，
图 2
所以 OC
BE ．
由（Ⅰ）知
1
平面 BCDE
，
AO
所以
AO 1
BE, AO 1 OC ，
z
所以 OA 1,OB, OC 两两垂直．
A 1
以 O 为原点， OB, OC, OA 1分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐
P
F
E
D
标系（如图）．
B O
因为 BC
2
，易知
OA 1 OC
3 ．
C
x
y
所以 A 1 (0，0， 3), B(10，，0), C (0，3，0), E( 10，，0) ，
所以
，，
， ，
，，
．
A B (103), AC
(0
33), AE
(103)
1
1
1
设平面 ACE 1 的一个法向量为
n ( x, y, z) ，
n AC 1
0,
得
3y
3z
0,
即 y z
0,
由
x
3z 0.
n A 1 E 0
x 3z 0.
取 z 1，得 n
( 3,1,1) ．
设直线 A 1B 与平面 ACE 1 所成角为
，
则 sin
cos A 1B, n
3 3
3
15 ．
2
5
5
5
所以直线 A B 与平面 ACE 所成角的正弦值为
15 ． ,,,,,,,9
分
1
1
5
（Ⅲ）假设在侧棱
AC 1 上存在点 P ，使得 BP // 平面 AOF ．
1
设
A 1P
AC 1 ，
[0,1] ．
因为 BP BA 1 A 1P BA 1 AC 1 ，
所以 BP
( 10，， 3) (0， 3， 3)
( 1, 3 , 3
3 ) ．
易证四边形 BCDE 为菱形，且 CE
BD ，
又由（Ⅰ）可知，
AO
CE ，所以 CE
平面
AOF ．
1
1
所以 CE
( 1,
3,0) 为平面 AOF 的一个法向量．
1
由 BP CE (
1, 3 , 3
3 ) ( 1,
3,0) 1 3
0 ，得
1 ．
[0,1]
3
所以侧棱
AC 上存在点 P ，使得 BP //
AOF
A 1P 1
,,,,14
平面
，且
． 分
1
1
AC
3
1
18．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）当 a
3 时 , f ( x)
1 x
2 4x 2ln x ， x 0 ．
2
2
f (x)
x
4 ．
x
1 7
则 f (1)
1 4
2 1 ，而 f (1) 4 ．
2
2
所以曲线 C 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
y
7 x 1，即 2 x
2 y 5 0 ．
2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4
分
1 x 2,
（Ⅱ）依题意当
x
1,2 时，曲线 C 上的点 x, y 都在不等式组
x y, 所表示的平面区域内，
y
x
3
2
等价于当
1 x
2时， x
f ( x)
x
3
恒成立．
1 x 2
2
设 g( x)
f ( x)
x
ax （1 a)ln x ， x 1,2 ．
2
所以 g ( x)=
x+a+
1
a = x 2 ax (1 a) = (x 1)(x a 1)) ．
x x x
（ ）当 a 1
1 ，即 a
2 时，当 x 1,2 时， g ( x) 0 ， g (x) 为单调减函数，
1
g (1)
a
1 3
所以 g(2)
g( x)
g(1) ． 依题意应有
2
,
2
g (2)
2 2a (1
a )ln2 0,
解得
a 2, a 2．
a 所以 1
1.
（ 2）若 1 a 1
2，即 2 a 3时，当 x
1, a 1 ， g ( x) 0 ， g( x) 为单调增函
数，
当 x a 1,2 ， g ( x) 0 ， g( x) 为单调减函数．
由于 g(1)
3
，所以不合题意．
2
（ 3）当 a 1 2 ，即 a 3 时，注意 到 g (1)
1 5
a
，显然不合题意．
综上所述， 1
a
2．
2
2
,,,,,,,,,,,,,,,,13
分
19．（本小题满分
14 分）
解：（Ⅰ）依题意可知
a 2 ， c
2 1 1 ，
所以椭圆 C 离心率为 e 1
2
,,,,,
3 分
2 2 ．
（Ⅱ）因为直线 l 与 x 轴， y 轴分别相交于
A, B 两点，所以 x 0 0, y 0 0 ．
x 0 x y 0 y 1得 x
2 2 ,0) ．
令 y 0，由
2
x 0 ，则 A(
x 0
令 x0，由x
x
y0 y 1得 y1，则 B(0,
1
)．2y0y0
所以OAB 的面积S OAB 1
OAOB121．2 2 x0 y0x0 y0
因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆C :x
2y 21上，所以
x
2
y021．
22
所以 1x022x0 y0
．即 x0 y0
21
2 ．2
y02，则
x0 y0
22
所以 S OAB 1
OAOB1 2 ．2x0 y0
当且仅当x
2
y02，即 x01, y02时，OAB 面积的最小值为2．, 9分22
（Ⅲ）①当 x0 0 时，P(0, 1)．
当直线 l : y1时，易得 Q(1,2)，此时 k F
2P
1， k F Q1．
2
因为 k F Q k F P，所以三点 Q, P, F2共线．
22
同理，当直线l : y1时，三点Q, P, F2共线．
②当 x00 时，设点Q(m, n)，因为点Q与点 F1关于直线l对称，
x0m1y0n1,
222
x0m 2 y0n x0 4 0,所以n0整理得
x0 2 y0 m x0n 2y0 0.
2
() 1.
m1 2 y0
1
2
m x02 4 x0 4 y02,
解得
4 y02x02
4x0 y08 y0
n.
22
4 y0x0
所以点 Q(x024x0 4 y02 4x0 y08y0
) ．22,22
4 y0x0 4 y0x0
又因为 F2 P( x01, y0 ) ， F2Q x02 4 x0 4 y024x0 y08 y0
) (221,22，且
4 y0x0 4 y0x0
( x024x0 4 y021)y0 4 x0 y08 y0(x01)y0(4x08 y02 )(4 x08)( x01)
4 y02x02 4 y02x02 4 y02x02
y0 4 x08 y0
2(4x024x08)
4 y2x2
00
y08y024x028y04(2 y02x02 )8428
4 y02x02 4 y02x02y0 4 y02x02．
所以 F
2P// F Q ．所以点 Q, P, F 三点共线．22
综上所述，点Q, P, F2三点共线．,,,,,,,,,,,,,14分20．（本小题满分13 分）
证明：（Ⅰ）当n2时， S{1,2,3,4}，令 S1{1,4} ， S2{2,3} ,
则 S S1S2, 且对x, y S i (i1,2), x y ，都有 x y S i，
所以 S 具有性质P．相应的 P 子集为S1{1,4} ， S2{2,3} ．,,,,3分
（Ⅱ）①若 x, y T (1y x 3n1
y T , 2) ,由已知 x
又 x y3n113n,所以 x y T．所以 x y T T ' ．
2
②若 x, y T ,可设x s3n , y r3n， r , s T ,且 1 r s3n 1 ，
2
此时 x y (s 3n ) (r 3n ) s r3n1 1 3n．
2
所以 x y T ' ，且 x y s r T ．所以 x y T T．
③若 y T ,x s3n T ,s T，
则 x y (s 3n ) y (s y) 3n(1 3n 1) 3n3n 3 3n1,
222所以 x y T ．
又因为 y T , s T ，所以 s y T ．所以x y(s3n )y(s y)3n T ．所以 x y T T ' ．
综上，对于x, y T T '，x y ，都有x y T T ' ．,,,,,8 分（Ⅲ）用数学归纳法证明．
（ 1）由（Ⅰ）可知当n 2 时，命题成立，即集合S具有性质P．
（ 2）假设n k ( k 2 )时，命题成立．即 S {1,2,3,, 3k1}S1S2S k，
2
且 S i S j(1i, j n,i j ) ，x, y S i(i1,2,,k ), x y ，都有 x y S i．那么当 n k 1时，记S i{ s3k | s S i } ,，
并构造如下 k + 1个集合： S1S1S1, S2S2S2,,S k S k S k，
S k
3k 13k1
2,
3k1
1} ，1{
2
1,
2
,2
2
显然
S i S j(i j ) ．
3k 113k1
S2S k S
k 1{1,2,3,
3k 1 1
又因为
23
2
1，所以 S1,} ．
2
下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素
(i1,2,, k1)．
S i￠￠S i￠￠
①若两个元素3
k
1r ,3k1s S k 1,1r s3k1 1 , 222
则(3k 1 s) ( 3k1r ) s r3k 1 , 222
所以( 3k 1 s) (3k 1
r ) S k 1．
22
②若两个元素都属于S i S i S i(1i k) ,
由（Ⅱ）可知， S i中任意两个元素之差不等于S i中的任一数(i1,2,, k1) ．
从而， n k 1 时命题成立．
综上所述，对任意正整数n 2 ，集合 S 具有性质P．,,,,,,,,,13分。