第一学期九年级数学第二次月考试卷(含解析)

第一学期九年级数学第二次月考试卷（含解析）
一、选择题
1．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB 的宽为8cm ，水面最深的地方高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）
A ．3cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．8cm 2．一元二次方程x 2＝9的根是（ ）
A ．3
B ．±3
C ．9
D ．±9 3．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）
A ．−2
B ．2
C ．−4
D ．4
4．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
5．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ） A ．摸出黑球的可能性最小 B ．不可能摸出白球 C ．一定能摸出红球
D ．摸出红球的可能性最大
6．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5 7．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()2
49x +=- B ．()2
47x +=- C ．()2
425x += D ．()2
47x += 8．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．二次函数y =()2
1x ++2的顶点是( ) A ．(1，2)
B ．(1，−2)
C ．(−1，2)
D ．(−1，−2)
10．如图，如果从半径为6cm 的圆形纸片剪去
1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )
A ．2cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm
11．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区
域的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
19
12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
13．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．12×108
B ．1.2×108
C ．1.2×109
D ．0.12×109
14．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．100°
D ．110°
15．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．2x +y ＝1
B ．x 2+3xy ＝6
C ．x +
1x
＝4 D ．x 2＝3x ﹣2
二、填空题
16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ． 17．一元二次方程29
0x 的解是__．
18．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是
____________．
19．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．
20．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．
21．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为____．
22．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．
23．二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：
①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
24．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________
25．一组数据3，2，1，4，x 的极差为5，则x 为______.
26．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，点P 在Rt ABC ∆内
部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.
27．一元二次方程x 2﹣3x+2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝______． 28．若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m 2+2的值是______． 29．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.
30．如图，AE 、BE 是△ABC 的两个内角的平分线，过点A 作AD ⊥AE ．交BE 的延长线于点D ．若AD ＝AB ，BE ：ED ＝1：2，则cos ∠ABC ＝_____．
三、解答题
31．如图，AC 为圆O 的直径，弦AD 的延长线与过点C 的切线交于点B ，E 为BC 中点，AC= 43，BC=4.
（1）求证：DE 为圆O 的切线；
（2）求阴影部分面积.
32．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上． （1）求b 、c 的值；
（2）画出抛物线的简图并写出它与y 轴的交点C 的坐标；
（3）根据图象直接写出：点C 关于直线x ＝2对称点D 的坐标 ；若E(m ，n)为抛物线上一点，则点E 关于直线x ＝2对称点的坐标为 （用含m 、n 的式子表示）．
33．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
34．如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线2
38
y x bx c =-
++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同
时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒
5
3
个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）.
①当t 为何值时，DPQ ∆得面积最小？
②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.
35．（1）如图①，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 外，比较A ∠与BDC ∠的大
小，并说明理由；
（2）如图②，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 内，比较A ∠与BDC ∠的大小，并
说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点()1,0M ，()4,0N ，点P 在y 轴上，试求当
MPN ∠度数最大时点P 的坐标.
四、压轴题
36．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，
4），一次函数2
3
y x b =-
+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；
（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．
37．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠ABC ＝60°．点P 是边BC 上一动点，作△PAB 的外接圆⊙O 交BD 于E ．
（1）如图1，当PB ＝3时，求PA 的长以及⊙O 的半径； （2）如图2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证：AE 平分∠PAD ；
（3）当AE 与△ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径．
38．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2
y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．
①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．
②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．
40．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB
上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P有且只有三个，求x的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝1
2
AB，设OA＝r，则OD＝r
﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
【详解】
解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝1
2
AB＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用. 2．B
解析：B
【解析】
【分析】
两边直接开平方得：3
x=±，进而可得答案．
【详解】
解：29
x=，
两边直接开平方得：3
x=±，
则13x =，23x =-． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成2
(0)x a a =的形式，利用数的开方直接求解．
3．B
解析：B 【解析】
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B ．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
计算最大数19与最小数8的差即可. 【详解】 19-8=11， 故选：D. 【点睛】
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】
解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球， ∴摸出黑球的概率是223
， 摸出白球的概率是
123
，
摸出红球的概率是20 23
，
∵1
23
＜
2
23
＜
20
23
，
∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；
故选：D．
【点睛】
本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为CP//DQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证
CPE∽DQE，可得CP DQ
=
PE EQ
，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE= OP-PE，则OE
的长度可得．
【详解】
解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP⊥AB，QD⊥AB，
∴OCP和ODQ为直角三角形，
根据勾股定理：，，且OQ=6，
∴PQ=OP+OQ=14，
又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，
∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，
∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，
∴CPE∽DQE，故CP DQ
=
PE EQ
，
设PE=x，则EQ=14-x，
∴68
=
x14-x
，解得x=6，
∴OE=OP-PE=8-6=2，
故选：C．
【点睛】
本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．
7．D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】
2890
++=，
x x
289
+=-，
x x
222
8494
++=-+，
x x
x+=，
所以()247
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．
【详解】
解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．
故选A．
【点睛】
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
x++2的顶点坐标．因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），即可求出y=()21
【详解】
x++2是顶点式，
解：∵二次函数y=()21
∴顶点坐标为：(−1，2)；
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
10．B
解析：B
【分析】 因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.
【详解】
解：∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去
13圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度=360°×
23=240°， ∴留下的扇形的弧长=
24061880ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径248r ππ
=
=cm ； 故选：B.
【点睛】
此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 11．B
解析：B
【解析】
【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】
解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB ＝60°，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，
设OB ＝a ，则OA ＝2a ，
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为
()2214
2a a ππ=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
12．D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），
∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，
则函数图象如图所示，
抛物线开口向下，
∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b a
-
> ， ∴b ＞0，
故选D 13．B
解析：B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】
120 000 000＝1.2×108，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
14．C
解析：C
【解析】
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】
在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠D=100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．15．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.二、填空题
16．6；
【解析】
解：设圆的半径为x，由题意得：
=5π，解得：x=6，故答案为6．
点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
解析：6；
【解析】
解：设圆的半径为x ，由题意得：
150180
x π =5π，解得：x =6，故答案为6． 点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =
180
n R π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 17．x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一
解析：x 1＝3，x 2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵290x -=
∴2x =9，
∴x =±3，
即x 1＝3，x 2＝﹣3，
故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
18．15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求
解析：15π．
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=1
2
×5×2π×3=15π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
19．【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是=，
故答案为.
【
解析：2 3
【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是360120
360
=
2
3
，
故答案为2 3 .
【点睛】
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
20．y＝2(x－2)2＋3
【解析】
【分析】
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为
解析：y＝2(x－2)2＋3
【解析】
【分析】
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】
解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，
故答案为：y＝2(x－2)2＋3.
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
21．、、
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝
解析：8
3
、
10
3
、
5
4
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴BE BD
BC AB
=，即：
51
53
x x
-+
=，
解得x=5
4
，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴BD BE
BC AB
=，即：
51
35
x x
-+
=，
解得：x=11 4
，
BE=15
4
>BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴AD AE
AB AC
=，即
6
54
x x
-
=，
解得：x=10
3
，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴AD AE
AC AB
=，即：
6
45
x x
-
=，
解得：x=8
3
，
综上：AD的长为8
3
、
10
3
、
5
4
.
【点睛】
本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.
22．720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019
解析：720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．
【详解】
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，
则2018的全年收入为：720×（1+x）
2019的全年收入为：720×（1+x）2．
那么可得方程：720（1+x）2=845．
故答案为：720（1+x）2=845．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
23．①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-=1，
∴ab＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+b
解析：①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-2b a
=1， ∴ab ＜0，①正确；
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；
∵当x=1时，y ＜0，
∴a+b+c ＜0，③错误；
由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；
当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
24．x=±2
【解析】
移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
解析：x=±2
【解析】
移项得x 2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
25．－1或6
【解析】
【分析】
由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小
值，分两种情况讨论．
【详解】
解：当x 是最大值，则x-（1）=5，
所以x=6；
当x 是最小值，
解析：－1或6
【解析】
【分析】
由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．x 可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．
【详解】
解：当x 是最大值，则x-（1）=5，
所以x=6；
当x 是最小值，则4-x=5，
所以x=－1；
故答案为－1或6．
【点睛】
本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用．
26．【解析】
【分析】
首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，，然后根据，得出
∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧
2
【解析】
【分析】
首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，
AB ===PAB PBC ∠=∠，得出
∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.
【详解】
∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC =
，
∴AB ===
∴∠CAB=30°，∠ABC=60°
∵PAB PBC ∠=∠，∠PAB+∠PAC=30°
∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°
∴定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小
∴CO ⊥AB ，∠COB=60°，∠ABO=30°
∴OB=2，∠OBC=90°
∴()2222237OC OB BC =+=
+= ∴72CP OC OP =-=
-
故答案为72-.
【点睛】
此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P 的位置.
27．1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=
解析：1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得：x 1+x 2=3，x 1x 2=2，
所以x 1+x 2-x 1x 2=3-2=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=-b
a
，x1x2=
c
a
．
28．-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m是关于x的方程x2
解析：-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的解，
∴m2-2m-3=0，
∴m2-2m=3，
∴4m-2m2+2
= -2（m2-2m）+2
= -2×3+2
= -4．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
29．2＋2
【解析】
【分析】
作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．
【详解】
如图所示，过点A作AD⊥O
解析：2
【解析】
【分析】
作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．
【详解】
如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，
由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，
则∠OAD＝60°，
∴∠DAB＝45°，
在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×1
2
＝2（km），
OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝43
3km），
在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，
∴OB＝OD＋BD＝32（km），
故答案为：32．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．
30．【解析】
【分析】
取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可
3
【解析】
【分析】
取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得
△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可求得结论．
【详解】
取DE 的中点F ，连接AF ，
∴EF ＝DF ，
∵BE ：ED ＝1：2，
∴BE ＝EF ＝DF ，
∴BF ＝DE ，
∵AB ＝AD ，
∴∠ABD ＝∠D ，
∵AD ⊥AE ，EF ＝DF ，
∴AF ＝EF ，
在△BAF 和△DAE 中
AB AD ABF D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAF ≌△DAE （SAS ），
∴AE ＝AF ，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠AED ＝60°，
∴∠D ＝30°，
∵∠ABC ＝2∠ABD ，∠ABD ＝∠D ，
∴∠ABC ＝60°，
∴cos ∠ABC ＝cos60°＝32
， 3 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
31．（1）证明见解析；（2）S 阴影32π
【解析】
【分析】
（1）根据斜边中线等于斜边一半得到DE=CE,再利用切线的性质得到∠BCO=90°,最后利用等
量代换即可证明,（2）根据S阴影=2S△ECO-S扇形COD即可求解.【详解】
（1）连接DC、DO.
因为AC为圆O直径，
所以∠ADC=90°，则∠BDC=90°，
因为E为Rt△BDC斜边BC中点，
所以DE=CE=BE=1
2 BC，
所以∠DCE=∠EDC,
因为OD=OC，
所以∠DCO=∠CDO.
因为BC为圆O 切线，
所以BC⊥AC，即∠BCO=90°，
所以∠ODE=∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠DCE=∠BCO=90°，
所以ED⊥OD，
所以DE为圆O的切线.
（2）S阴影=2S△ECO-S扇形COD=3-2π
【点睛】
本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线的判定定理及扇形的面积公式是解题的关键．
32．（1）b＝4，c＝﹣4；（2）见解析，(0，﹣4)；（3）(4，﹣4)，(4﹣m，n)
【解析】
【分析】
（1）根据图象写出抛物线的顶点式，化成一般式即可求得b、c；
（2）利用描点法画出图象即可，根据图象得到C（0，﹣4）；
（3）根据图象即可求得．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上，
∴顶点为（2，0），
∴抛物线为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，
∴b＝4，c＝﹣4；
（2）画出抛物线的简图如图：
点C 的坐标为（0，﹣4）；
（3）∵C （0，﹣4），
∴点C 关于直线x ＝2对称点D 的坐标为（4，﹣4）；
若E （m ，n ）为抛物线上一点，则点E 关于直线x ＝2对称点的坐标为（4﹣m ，n ）， 故答案为（4，﹣4），（4﹣m ，n ）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像及其对称性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.
33．（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.
【解析】
【分析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】
（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
100307045k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩
＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．
34．（1）233384y x x =-
++；（2）① 32t =；
②123453172417,3,,,26176
t t t t t ===== 【解析】
【分析】
（1）根据点B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，代入抛物线解析式即可求出b ，c 的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，推出△QFA ∽△CBA ，
△CGP ∽△CBA ，用含t 的式子表示OF ，PG ，将三角形的面积用含t 的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）由题意知：A (0,3),C (4,0)，
∵抛物线经过A 、B 两点， ∴3316408
c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得，343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为：233384
y x x =-++． (2)① ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90O ， ∴AC 2=AB 2+BC 2=5； 由2333384
x x -++=，可得120,2x x ==，∴D （2,3）． 过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，
∵∠FAQ =∠BAC ， ∠QFA =∠CBA ，
∴△QFA ∽△CBA ． ∴AQ QF AC BC
=， ∴5335AQ QF BC t t AC =
⋅=⋅=． 同理：△CGP ∽△CBA ，。