山东省济宁市曲阜市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题(解析版)

2023～2024学年度第二学期期中教学质量监测考试
八年级数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，64分；共100分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．
3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A
，故不是最简二次根式；B
是最简二次根式；
C
，故不是最简二次根式；
D
故选：B ．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D. 【答案】
D
=
=
===2=-==
【分析】根据同类二次根式的判断，二次根式的性质，二次根式的加减法，二次根式的乘法法则进行计算，从而做出判断．
【详解】解：A
B
，故此选项不符合题意；C
，故此选项不符合题意；
D
，正确故选：D ．
【点睛】本题考查二次根式的性质及二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，，
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两较小边的平方和等于最长边的平方或根据三角形内角和定理计算最大角是否是
即可．【详解】解：A 、∵，
∴，
∴最大的角，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、，即，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、∵，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
D 、∵，
∴，故不是直角三角形，故选项符合题意；故选：D ．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4. 在平行四边形中，的结果可能是（ ）
A. 1：3：1：3
B. 1：3：3：1
C. 1：1：3：3
D. 1：2：3：42=3=6=⨯==
A B C
∠∠=∠+222c a b -=3a =4b =5
c =::3:4:5A B C ∠∠∠=90︒A B C ∠∠=∠+2180A B C C ∠+∠+∠=∠=︒90C ∠=︒222c a b -=222+=a b c 222345+=345A B C ∠∠∠=：：：：518075345
C ∠=︒⨯
=︒++ABCD :::A B C D ∠∠∠∠
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
A 选项符合题意，
故选：A ．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．5.
成立的x 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，
故选：C ．
6. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式
其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（ ）
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用．代入字母的值计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：B ．
ABCD A C ∴∠=∠B D ∠=∠
∴
=
2
x ≠0x ≥2x >2
x ≥0x ≥20x ->0x ≥20x ->2x >=v a s 52510m /s a =⨯0.64m s =2410m /s
⨯28s 10m /⨯3410m /s ⨯3810m /s
⨯30.810m/s v ====⨯32s 0.810m/s=810m /⨯⨯
7. 在正方形中，等边三角形的顶点E 、F 分别在边和上，则（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：D ．
【点睛】本题考查了证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．
8. 如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
【答案】A
【解析】
是ABCD AEF BC CD CEF ∠=75︒
60︒50︒45︒
()Rt Rt HL ABE ADF △△≌CE CF =ABCD AB AD BC CD ===90B D C ∠=∠=∠=︒AEF △AE AF =()Rt Rt HL ABE ADF △△≌BE DF =CE CF =CEF △45CEF ∠=︒HL 55⨯
【分析】先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】解： 理由是：连接、、、、、，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：，，，，，，
∴，，，
∴、、是直角三角形，共3个直角三角形，
故选：A ．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，，
．则四边形ABCD 的面积为（ ）
A. 240
B. 120
C. 60
D. 30
【答案】B
【解析】【分析】先证四边形ABCD 是菱形，再由勾股定理可求BO 的长，然后由菱形的面积公式可求解．
【详解】解：过点A 作AE ⊥CD 于E ，AF ⊥BC 于F ，连接AC ，BD 交于点O
，如图所示：
222AB AC BC +=222AD CD AC +=222BD AB AD +=AC AB AD BC CD BD 222125AB =+=2222420AC =+=2221310AD =+=22525BC ==2221310CD =+=222125BD =+=222AB AC BC +=222AD CD AC +=222BD AB AD +=ABC ADC △ABD △13AB =10AC =
∵两条纸条宽度相同，
∴AE ＝AF ．
∵AB CD ，AD BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵S ▱ABCD ＝BC •AF ＝CD •AE ．
又∵AE ＝AF ．
∴BC ＝CD ，
∴ABCD 是菱形，
∴AO ＝CO
=，BO ＝DO=，AC ⊥BD ，∵，∴CO ＝AO ＝5，
BO
，
∴BD ＝24，
∴菱形ABCD 的面积＝AC ×BD ＝×10×24＝120．
故选：B ．
【点睛】此题考查了菱形判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD 为菱形．
10. 如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（ ）
的∥∥ 12AC 12
B D 13AB =10
AC =1212
A. B. 5 C. D. 10
【答案】B
【解析】【分析】沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
【详解】解：如图所示：沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，
∵圆柱的底面周长为6，高为4，
∴，∴，∴从点A 爬到点B 的最短路程是5，
故选B ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，能把圆柱的侧面展开成平面图
形，利用勾股定理进行求解是解题的关键．
11. 如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
【答案】B
【解析】【分析】此题考查是平行四边形的性质，矩形的判定和性质．由平行四边形的对角线的交点是的中点O ，当时，最小，即最小，证明四边形是矩形，根据矩形的性质
即可求解．
的
AB AB AC BC AB AB AB 1634902
AC BC C =⨯===︒，
，∠5AB =
=Rt ABC △90B Ð=°6AB =8BC =D BC AC ADCE DE ADCE AC OD BC ⊥OD DE ABDE
【详解】解：平行四边形的对角线的交点是的中点O ，当时，最小，即最小．
∵，，
∴，
又∵四边形的平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
故选：B ．
12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接
并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得
，判
ADCE AC OD BC ⊥OD DE OD BC ⊥BC AB ⊥OD AB ∥ADCE BD AE ∥ABDE BC AB ⊥ABDE 6DE AB ==
ABCD AD =BAD ∠BC E DH AE ⊥H BH CD F DE BF O ED AEC ∠12OE DE =
HE DF =2BC CF EH -=AB FH =45BAE DAE ∠=∠=︒ABE AE AD =ABE AHD △≌△BE DH =67.5ADE AED CED ∠=∠=∠=︒67.5AHB ∠=︒22.5DHO ODH ∠==︒∠OE OD OH ==
断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出④正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误．
【详解】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
平分，故①正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
，故②正确；，
22.5EBH OHD ∠=∠=︒45AEB HDF ∠=∠=︒BEH HDF △≌△BH HF =DF HE =HE AE AH BC CD =-=-()2BC CF BC CD DF HE -=--=ABH AB BH ≠AB HF ≠ ABCD AE BAD ∠45BAE DAE ∴∠=∠=︒ABE ∴
AE ∴
=AD = AE AD ∴=ABE AHD 90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
()AAS ABE AHD ∴△≌△BE DH ∴=AB BE AH HD ∴===(18045)67.5ADE AED ∴∠=∠=︒-︒=︒1804567.567.5CED ∴∠=︒-︒-︒=︒AED CED ∴∠=∠ED ∴AEC ∠(18045)67.5AHB ∠=︒-︒=︒ OHE AHB ∠=∠OHE AED ∴∠=∠OE OH ∴=9067.522.5OHD ∠=︒-︒=︒ 67.54522.5ODH ∠=︒-︒=︒OHD ODH ∴∠=∠OH OD ∴=OE OD OH ∴==12
OE DE =9067.522.5EBH ∠=︒-︒=︒
，
又，，
在和中，
，，
，，故③正确；
由上述①、⑤、③可得、，，
，故④正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故⑤错误；
故选：C ．
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．
13.
有意义，则x 的取值范围是____________.【答案】x≤
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出2-5x ≥
0，进而得出答案．
有意义，
则2-5x≥0，
解得：x≤ 故答案为：x≤
14. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！EBH OHD ∴∠=∠BE DH = 45AEB HDF ∠=∠=︒BEH △HDF EBH OHD BE DH
AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ASA BEH HDF ∴ ≌BH HF ∴=HE DF =CD BE =DF EH CE ==CF CD DF =-()()2BC CF CD HE CD HE HE ∴-=+--=AB AH = 45BAE ∠=︒ABH ∴ AB BH ∴≠∴AB HF ≠2525
2
5
【答案】6
【解析】
【分析】利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：由题意，，
则（米）
，∴（米），
故答案为：6．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，掌握勾股定理是解答的关键．
15. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝7，BC ＝10，则EF 的长为_____．
【答案】1.5
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出DF ，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线，
∴DE
＝BC ＝5，
在Rt △AFB 中，D 是AB 的中点，
∴DF ＝AB ＝3.5，
∴EF ＝DE ﹣DF ＝1.5，
故答案为：1.5
【点睛】本题考查中位线的性质、线段的和与差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．AB 90ACB ∠=︒25AB ===247256+-=1
212
16. 如图，中，，分别以的边为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为．若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．先设，，，根据勾股定理有，再根据等式性质可得
，再根据等边三角形的性质，易求而，同理可求，，从而可得，易求．【详解】解：设，，，那么
是直角三角形，
，
，又，，，，
，，
故答案为：4
17.
，2
，
，…按下列方式进行排列：
，
2
，
，
，4；
ABC 90ACB ∠=︒ABC ,,AC BC AB 123,,S S S 132,6S S ==2S =AC a =BC b =AB c =222+=a b c 222=2112S a == 22S =23S =123S S S +=3S AC a =BC b =AB c =ABC 222a b c ∴+=∴222=2112S a == 22S =23S =123S S S ∴+=321S S S ∴=+132,6S S ==24
S ∴=
…… ……
若数2的位置记为，数
，则位置为的数是___．
【答案】【解析】
【分析】
，并且每一行有4个数，然后问题可求解
【详解】解：
，并且每一行有4个数，且数2的位置记为
的位置记为，
∴位置为的数是
故答案为：
【点睛】此题主要考查数字类规律探究、有序数对、二次根式的应用，解题的关键是根据题意找到所处位置的数．
18. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ，点P 是边CD 上的一
点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ，若，，则______．
【答案】【解析】
【分析】过点E 作EF ⊥DC 于F ，由正方形的性质可得：△DEP 为等腰直角三角形，EF 为斜边上的高，根据等腰三角形的三线合一可得EF ＝DP ；由O 为BP 的中点，，可得BP ＝2OE ＝6．利用30°角可求BC ，CP ，于是DC ，DP 可知；利用勾股定理，在Rt △EFC 中EC 可求，然后由全等三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：过点E 作EF ⊥DC 于F ，如图，()1,2()2,3()7,1()1,2()2,3()7,1()7,130PBC ∠=︒3cm OE =AE =1
23OE =
∵四边形ABCD 为正方形，
∴BC ＝CD =AB ，∠BDC ＝∠DBC =∠DBA =45°．
∵PE ⊥BD ，
∴△DEP 为等腰直角三角形．
∵EF ⊥DC ，
∴EF ＝DF ＝FP
＝DP ．
∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，，
∴BP ＝2
OE ＝6．
在Rt △BCP 中，
∵∠PBC ＝30°，
∴CP ＝BP ＝3
．∴BC ∴CD ＝．
∴
DP ＝CD ﹣CP ＝．
∴EF ＝FP
∴FC ＝CP +FP
在Rt △EFC 中，
CE
＝
在∆ABE 与∆CBE 中，123OE =12=3-
，
∴∆ABE ≅∆CBE ，
∴AE =CE =
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等．解题关键是在正方形的题目中添加垂线构造等腰直角三角形是一条常添加的辅助线．
三、解答题：共7小题，共
52分．
19. 计算：
（1（2
）【答案】（1）
；（2）【解析】
【分析】
（1）先计算二次根式的乘除法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20. 如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，．
AB CB ABE CBE BE BE ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩
21)1)
--2+2+=+=+2=-2=+51(51)
=++--64
=+-2=+ABCD E F AC 12∠=∠
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．
（1）通过全等三角形的对应边相等证得；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【小问1详解】
证明：如图：四边形是平行四边形，，，
，
在与中，
，
，
；
【小问2详解】
证明：，
，
∴．
由（1）知，
，
四边形是平行四边形．
21.
某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
AE CF =EBFD ADE CBF V V ≌AE CF = ABCD AD BC ∴=AD BC ∥DAE BCF ∴∠=∠ADE V CBF V 12DAE BCF AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()AAS ADE CBF ∴ ≌AE CF ∴=12∠=∠ DEF BFE ∴∠=∠DE BF ∥ADE CBF V V ≌DE BF ∴=∴EBFD
测量示意
图
①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17
米．
测量数据
边的长
度③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在中，，求线段的长．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】（1）9.7米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2
）根据勾股定理计算即可得到结论．【小问1详解】
解：∵在中，，，，
又米，米，
米，
答：线段的长为9.7米；
【小问2详解】
∵风筝沿方向再上升12米后，米，
BC AB AD Rt ABC △90,15,17ACB BC AB ∠=︒==AD DA BC a b c 22
2+=a b c
AC CD AD ABC 90ACB ∠=︒15,17BC AB ==8AC ∴===,8AD AC CD AC =+= 1.7CD =8 1.79.7AD ∴=+=AD DA 20AC =
（米）
，∴风筝应该放出线的长度为：米，
答：他应该再放出8米线．
22. 有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板．
（1）截出的两块正方形木板的边长分别为______、______；
（2
）求剩余木板的面积；（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______个这
样的木条．
【答案】（1），
（2
）
（3）【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解
题意，熟记运算法则是解本题的关键．（1）根据算术平方根的含义可得答案；
（2
）利用长方形面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条的长为
，宽为，再利用，，从而可得答案．
【小问1详解】
，
故答案为：，；
【小问2详解】
的25
=25178-=218dm 232dm 1.5dm 1dm 26dm 2
)dm -=2 1.53 1.5⨯<<⨯1>==
解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；【小问3详解】
解：剩余木条的长为，宽为，
∵
，
∴能截出个木条．
故答案为：．
23. 如图，是矩形的对角线．（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图㢃迹，不必写作法和证明）；
（2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）图见详解
（2）①四边形是菱形，理由见详解；②四边形的周长为【解析】
【分析】（1）分别以点B 、D 为圆心，大于
为半径画弧，分别交于点M 、N ，连接，则问题可求解；
（2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证；
②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【小问1详解】
解：所作线段的垂直平分线如图所示：)dm +=(()218325618326dm
=--=--=)dm -=
2 1.5
3 1.5⨯<<⨯1>212⨯=2BD ABCD BD BD AD E BC F BE DF ，BEDF 510AB BC ==，BEDF BEDF BEDF 25
12
B D MN EDO FBO ∠=∠()ASA EOD FOB ≌BEDF BE ED x ==10AE x =-BD
【小问2详解】
解：①四边形菱形，理由如下：如图，由作图可知：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∴四边形是平行四边形，∵是的垂直平分线，∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是矩形，，∴，
由①可设，则，
是BEDF OB OD =ABCD AD BC ∥EDO FBO ∠=∠E O D FO B ∠=∠()ASA EOD FOB ≌ED FB =BEDF EF BD BE ED =BEDF ABCD 10BC =90,10A AD BC ∠=︒==BE ED x ==10AE x =-
∵，
∴，即，
解得：，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24. 【问题情境】
如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM ．
【探究展示】
(1)证明：AM =AD +MC ；
(2)AM =DE +BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．【答案】(1)证明见解析；(2)AM =DE +BM 成立，证明见解析；(3)①结论AM =AD +MC 仍然成立；②结论AM =DE +BM 不成立．
【解析】
【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE 、BC 交于点N ，易证△ADE ≌△NCE ，得到AD =CN ，再证明AM =NM 即可；
(2)过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，易证△ABF ≌△ADE ，从而证明AM =FM ，即可得证；
(3)AM =DE +BM 需要四边形ABCD 是正方形，故不成立，AM =AD +MC 仍然成立．
【详解】(1)延长AE 、BC 交于点N ，如图1(1)，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD //BC ，
∴∠DAE =∠ENC ，
∵AE 平分∠DAM
，
5AB =222AB AE BE +=()2
22510x x +-=6.25x =BEDF 6.25425⨯=
∴∠DAE =∠MAE ，
∴∠ENC =∠MAE ，
∴MA =MN ，
在△ADE 和△NCE 中，，
∴△ADE ≌△NCE (AAS )，
∴AD =NC ，
∴MA =MN =NC +MC =AD +MC ．
(2)AM =DE +BM 成立．
证明：过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，如图1(2)所示，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD =∠D =∠ABC =90°，AB =AD ，AB //DC ，
∵AF ⊥AE ，
∴∠FAE =90°，
∴∠FAB =90°﹣∠BAE =∠DAE ，
在△ABF 和△ADE 中，，
∴△ABF ≌△ADE (ASA )，
∴BF =DE ，∠F =∠AED ，
∵AB //DC ，
∴∠AED =∠BAE ，
∵∠FAB =∠EAD =∠EAM ，
∴∠AE D=∠BAE =∠BAM +∠EAM =∠BAM +∠FAB =∠FAM ，
∴∠F =∠FAM ，
∴AM =FM
．
DAE CNE AED NEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
o =90FAB EAD AB AD ABF D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AM =FB +BM =DE +BM ．
(3)同(1)可得△ADE ≌△NCE (AAS )，
∴结论AM =AD +MC 仍然成立．
在(2)中，∵AD ≠AB ，
∴△ABF 与△ADE 不全等，
∴无法证明AM =FM ，
∴结论AM =DE +BM 不成立．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质.
25. 在四边形中，，，，，，点P 从点A 出发，以的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，四边形成为矩形？
（2）当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
【答案】（1）
（2）或或
（3）四边形不能成为菱形，见解析，点Q
的速度为
时，能够使四边形在这一时刻为菱形．ABCD AD BC 6cm AB =14cm AD =20cm BC =90ABC ∠=︒1cm /s 3cm /s ABQP PBQD PBQD 5t =5t =3t = 3.5t =PBQD 41cm/s 20PBQD 40s 7
【解析】
【小问1详解】
∵，，
∴当时，四边形成为矩形，
由运动知，，，
∴，
∴，
解得．
∴当时，四边形成为矩形；
【小问2详解】
①当时，，
此时，四边形是平行四边形；
②当时，，
此时，四边形是平行四边形时；
③当时，，
此时，四边形为平行四 边形；
综上所述，当或或时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
【小问3详解】
四边形不能成为菱形．理由如下：
∵，
∴当时，四边形能成为菱形．
由，得，
解得：，
当时，，，．
90ABC ∠=︒AP BQ AP BQ =ABQP AP t =3CQ t =203BQ t =-203t t =-5t =5t =ABQP AP BQ =203t t =-5t =ABQP PD BQ =14203t t -=-3t =PBQD PD QC =143t t -=3.5t =PQCD 5t =3t = 3.5t =PBQD PD BQ PD BQ BP ==PBQD PD BQ =14203t t -=-3t =3t =14311PD =-=20911BQ =-=14113AP AD PD =-=-=
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴四边形不能成为菱形；
如果Q 点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形，
由题意得
解得：．故点Q 的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．Rt ABP 6AB =3AP =11BP ==≠PBQD cm /s v PBQD s t 142014t vt
t -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩4074120t v ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
41cm/s 20PBQD 40s 7。