2020-2021学年新教材数学人教B版必修第一册：2-1-3 方程组的解集

解：设 A 种邮票面值为 x 元，B 种邮票面值为 y 元，C 种邮 票面值为 z 元，
3x＋2y＋z＝13， 根据题意可得x＋y＋2z＝7，
2x＋3y－z＝12，
x＝2， 解得y＝3，
z＝1.
答：A 种邮票面值为 2 元，B 种邮票面值为 3 元，C 种邮票
面值为 1 元．
1．方程组x2＋x－23y＝y＝－51， 的解集为( C ) A．{1，－1} B．(－1,1) C．{(1，－1)} D．{(－1,1)}
解方程组的主要思路是由多元变少元，最后得解，常用方法 有代入法和加减消元法，结果一定要写成集合的形式.
[变式训练 1] 求下列方程组的解集．
2x＋y＝7， (1)3x－2y＝14；
(2)23yx＋－5yz＋＝z3＝，8， 2x＋y＋z＝4.
解：(1)将 y＝7－2x 代入 3x－2y＝14 得：7x－14＝14，解
[答一答] 任何一个二元一次方程组都有一组解吗？
提示：不一定，有的有一组解，有的无解，有的有无数组 解．
类型一
求一次方程组的解集
[例 1] 求下列方程组的解集．
x＋y＝4， (1)x－y＝2；
2x＋y＝1， (2)4x－3＝－2y；
x＋y＋z＝6， (3)2x－y＋z＝3， x＋2y－z＝2.
[解] (1)两式相加得 2x＝6，即 x＝3，代入 x＋y＝4 得 y＝ 1，故方程组的解集为{(3,1)}．
(2)方程组变形为22xx＋＋yy＝＝132，， 方程无解，解集为∅.
(3)先消去 z 得－2x＋x＋32y＝y＝83，， 再消去 y 得－7x＝－7，解得 x＝1，代入－x＋2y＝3 求得 y＝2，再代入 x＋y＋z＝6，求得 z ＝3，故方程组的解集为{(1,2,3)}．
3．方程组2x2x－－xy－＋21y＝＋06，＝0 的解集为_{_(_1_,3_)_，__(_4_,9_)_}__．
解析： 2x2x－－xy－＋21y＝＋06①＝，0②， 由①得 y＝2x＋1③， 把③代入②，整理得 x2－5x＋4＝0，解得 x＝1 或 x＝4. 把 x＝1 代入③，得 y＝3； 把 x＝4 代入③，得 y＝9. 故方程组的解集为{(1,3)，(4,9)}．
解析：将 x＝－2y－1 代入 2x－3y＝5 得 y＝－1，从而求得 x＝1，故选 C.
2．方程组xx2－＋yy＝2＝3 9， 的解集为( C )
A．(3,0)
B．(0，－3)
C．{(3,0)，(0，－3)} D．{(0,3)，(－3,0)}
解析：将 x＝y＋3 代入 x2＋y2＝9 解得 y＝0 或 y＝－3，从 而求得 x＝3 或 x＝0，故选 C.
类型二
求二次方程组的解集
[例 2] 求下列方程组的解集．
x2－y2＝1， (1)x＋y＝2；
x2＝y， (2)2x＋y＝3.
[解] (1)将 y＝2－x 代入 x2－y2＝1 得：x2－(2－x)2＝1，解
得 x＝54，代入 y＝2－x 得 y＝34，故原方程解集为54，34. (2)将 y＝3－2x 代入 x2＝y 得，x2＋2x－3＝0，解得 x＝1 或
列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找 出题目中的相等关系，一般来说有几个未知量就必须列出几个方 程.所列方程需满足：1方程两边表示的是同类量；2同类量的 单位要统一；3方程两边所表示的数量要相等.
[变式训练 3] 甲、乙、丙三人逛集邮市场，甲买了 A 种邮 票 3 张、B 种邮票 2 张、C 种邮票 1 张，按邮票面值付款 13 元； 乙买了 A 种邮票 1 张、B 种邮票 1 张、C 种邮票 2 张，按邮票面 值付款 7 元；丙买了 A 种邮票 2 张、B 种邮票 3 张，并卖出 C 种邮票 1 张，按邮票面值结算还要付 12 元．问：A，B，C 三种 邮票面值各为多少元？
(2)将 x＝－32y－4代入 y2＝－2x 整理得 y2－3y－4＝0，解得 y＝－1 或 y＝4，从而求得 x＝－12或 x＝－8，故方程组的解集为 －12，－1，－8，4.
类型三
方程组的实际应用
[例 3] 我国古代数学著作《算法统宗》记载“绳索量竿”
问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，
却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索
去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比
竿短 5 尺，求此问题中绳索长和竿长．
[解] 设绳索长、竿长分别为 x 尺、y 尺，
依题意得xx2＝＝yy＋ －55， ， 解得xy＝ ＝2105， . 答：绳索长 20 尺、竿长 15 尺．
第二章
等式与不等式
2.1 等式
2.1.3 方程组的解集
[课程目标] 1.会求方程组的解集；2.会解二元二次方程组； 3.会根据实际问题列方程组解题．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
方程组的解集
[填一填]
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由
每个方程的解集得到的交 __集___称为这个方程组的解集．
知识点二
方程组解集的分类
[填一填]
当方程组中未知数的个数小于方程的个数时，方程组的解集
含有_有__限__个_元素，解集为有限集；当方程组中未知数的个数大于 方程的个数时，方程组的解集可能含有_无__穷__多__个__元素，解集为
无限集．此时，如果将其中一些未知数看成常__数__表示出来．
得 x＝4，代入 2x＋y＝7 得 y＝－1，故原方程组解集为{(4，－
1)}．
(2)先消去 z 得：1x－5x－ 2y7＝y＝ 4，37， 再消去 y 得 23x＝46，解 得 x＝2，代入 x－2y＝4 得 y＝－1，再代入 2x＋y＋z＝4 得 z＝ 1，故原方程组的解集为{(2，－1,1)}．
x＝－3，分别代入 y＝3－2x，求得 y＝1 或 y＝9，故原方程组解 集为{(1,1)，(－3,9)}．
关于二次方程组通常采用代入法消去一元，再解方程求解.
[变式训练 2] 求下列方程组的解集．
x2＋2y2＝3， (1)2x－3y＝5；
y2＝－2x， (2)2x＋3y＋4＝0.
解：(1)将 y＝2x－3 5代入 x2＋2y2＝3 整理得，17x2－40x＋23 ＝0，解得 x＝1 或 x＝2137，从而求得 y＝－1 或 y＝－1137，故方 程组的解集为1，－1，2137，－1137.