高中数学 考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性(含高考试题)新人教A版

考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1. (2014·湖北高考文科·T9)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x 2
-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为 ( )
A.{1,3}
B.{-3,-1,1,3}
C. {23}-
D. {21,3}-
【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R 上的奇函数,求出函数在R 上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决.
【解析】选D.由f(x)是定义在R 上的奇函数,
当x ≥0时,f(x)=x 2
-3x,
所以22
3,0
(x)3,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ 所以2243,0
g(x)43,0
x x x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩
由2
0430
x x x ≥⎧⎨
-+=⎩，2
430
x x x <⎧⎨
--+=⎩解方程组可得.
2. （2014·湖北高考理科·Ｔ10）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，
)3|2||(|2
1
)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范
围为（ ）
A.]61,61[-
B.]66,66[-
C. ]3
1,31[- D. ]33,33[- 【解题提示】 考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立
【解析】选 B. 依题意，当0≥x 时，⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-≤<->-=22
222
20,2,2,3)(a x x a x a a a x a x x f ，作图可知，)(x f 的最
小值为2a -，因为函数)(x f 为奇函数，所以当0<x 时)(x f 的最大值为2
a ，因为对任意
实数x 都有，)()1(x f x f ≤-，所以，1)2(42
2
≤--a a ，解得6
666≤≤-
a ， 故实数a 的取值范围是]6
6
,66[-
.
3. （2014·湖南高考理科·Ｔ3）已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
【解题提示】由奇函数和偶函数的定义，把x=-1代入即可。

【解析】选C. 把x=-1代入已知得()(),111=---g f 所以()()111=+g f 。

4. （2014·湖南高考文科·Ｔ4）下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）
2
1.()A f x x
=
2.()1B f x x =+
3.()C f x x = .()2x
D f x -= 【解题提示】根据基本初等函数函数的奇偶性和单调性解答。

5.(2014·广东高考文科·T5)下列函数为奇函数的是 ( ) A.2x
-12
x B.x 3
sinx C.2cosx+1 D.x 2+2x
【解题提示】奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).当在原点处有定义时,f(0)=0.
【解析】选 A.几个函数的定义域都关于原点对称,原点处有定义,故应满足f(0)=0,此时2cosx+1和x 2
+2x
不符合题意;又2x
-12
x 满足f(-x)=-f(x),但x 3
sinx 满足f(-x)=f(x),所以只有f(x)=2x
-1
2
x 是奇函数. 6. （2014·上海高考理科·Ｔ18）
[][][][]
2(),0,(0)()1
,0.1,2.1,0.1,2.0,2x a x f f x a x a x x B C D ⎧-≤⎪
⎨++>⎪⎩
--设f(x)=若是的最小值，则的取值范围为（ ）.A. 【解题提示】本题需对a 分类讨论，若a<0,二次函数的最小值应在对称轴时取， 若a>0, f(0)是f(x)的最小值，应有2
(0)2,f a a =≤+即得. 【解析】
[]22220,()()()(0),.1
0,()()(0),()2+,(0)2+,00,2..
a f x x a f a f a f x x a f a f x x a x
a f a a D <=-≥=-==++≤≤≤若的最小值应为而非不符合题意若的最小值为的最小值为若为最小值，应有即a 2.所以a 的取值范围为答案： 7.（2014·浙江高考文科·Ｔ7）与（2014·浙江高考理科·Ｔ6）相同
（2014·浙江高考文科·Ｔ7）已知函数
32
()f x x ax bx c =+++且0(1)(2)f f -=-＜ (3)3f =-≤，则（ ）
A.3≤c
B.63≤<c
C.96≤<c
D. 9>c
【解析】选C.由(1)(2)(3)f f f -=-=-得，184212793a b c a b c
a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨
-+-+=-+-+⎩
解得6
11a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f -＜≤，得016113c -
+-+＜≤ 解得69c ＜≤
8、（2014·浙江高考理科·Ｔ6）已知函数
32
()f x x ax bx c =+++且0(1)(2)f f -=-＜ (3)3f =-≤，则（ ）
A.3≤c
B.63≤<c
C.96≤<c
D. 9>c 【解题指南】由等式关系求,a b 的值，由不等关系求c 的范围.
【解析】选C.由(1)(2)(3)f f f -=-=-得，184212793a b c a b c
a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨
-+-+=-+-+⎩
解得6
11a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f -＜≤，得016113c -
+-+＜≤ 解得69c ＜≤
9. （2014·辽宁高考文科·Ｔ10）已知()
f x 为偶函数，当0x
≥时，()1cos ,0,2121,,2x x f x x x π⎧⎡⎤
∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨
⎛⎫
⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩
，则不等式
()1
12
f
x -≤
的解集为
12473112(),,(),,4334434313473113(),,(),,34344334A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
【解题提示】借助偶函数的性质，先解不等式
()1
2f x ≤
，再利用图像的平移知识解不等式
()1
1.
2f x -≤
【解析】选A.
当
10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1cos 2x π≤得1132x ≤≤； 当
1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，1212x -≤得1324x <≤； 所以不等式()1,(0)2f x x ≤>的解为113
2x ≤≤或1324x <≤，即13
34x ≤≤
. 由于偶函数的图像关于y 轴对称，则在函数的定义域内，不等式
()1
2f x ≤
的解为
3143x -≤≤-或1334x ≤≤.
函数
()
1f x -的图像可以看作由
()
f x 的图像向右平移1个单位得到的，故不等式
()12f x ≤
的解为1243x ≤≤或4734x ≤≤，即解集为1247,,4334⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
10. （2014·山东高考文科·Ｔ9）
对于函数f(x)，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有a-x)f(f(x)2=，则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( ) A 、x x f =
)( B 、2)(x x f =
C 、x x f tan )(=
D 、)1cos()(+=x x f
【解题指南】 本题为新定义问题，准确理解准偶函数的概念再运算.
【解析】选D 由a-x)f(f(x)2=可知()x f 关于a x =对称，准偶函数即偶函数左右平移得到的. 二、填空题
11. （2014·湖南高考文科·Ｔ15）若()(
)
ax e x f x
++=1ln 3是偶函数，则=a ___________.
【解题提示】利用偶函数的定义求解。

【解析】由偶函数的定义得()()x f x f =-，即(
)
=-+-ax e
x
1ln 3()
ax e x ++1ln 3，
23
,23-
==-a ax x 。

答案:2
3-
三、解答题
12. （2014·上海高考理科·Ｔ20）设常数0≥a ，函数a
a
x f x x -+=22)(
（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1
x f
y -=；
（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由. 【解题指南】(1)根据反函数定义可得原函数的反函数，但要注意定义域。

（2）根据奇偶函数的定义分类讨论，可得. 【解析】
212
24
(1)4,()24
44442,log ,
1144
,()log ,((,1)(1,))1
(2)()()()22=,(22)0,222200,()1,,x x x x x x x x x x x a f x y
y y x y y x x y y f x x x f x f x f x x a a a a a a f x x R -----+=∴==-++∴=∴=--+∴==∈-∞-⋃+∞-=-++∴-=---∴==∈调换的位置可得若为偶函数，则对任意均成立，
整理可得不恒为，此时2()()-()22=-10,12221
0,1,(),0,21
x x x x x x f x f x f x x a a a a a a
a a f x x --=-++∴-=∴=±--+>∴==≠-满足条件；若为奇函数，则对任意均成立，
，整理可得此时满足条件；
综上所述，a=0时，f(x)是偶函数；a=1时，f(x)是奇函数；。