导数经典练习100例

导数及其应用
1．已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则=a （ ） A ．-1 B ．-2 C ．0 D ．2 2．设函数]6
5,0[,142cos 3sin 3)(23πθθθ∈-++=x x x x f ，则导数)1('
-f 的取值范围是（ ）
A ．]343[+，
B ．]63[，
C ．]634[，
- D ．]3434[+-， 3．
2
22
2π
=
--⎰
-dx x x m
，则m 等于（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
4．曲线3
:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l ，则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）． A ．1 B ．
112 C ． 43 D ．34
5．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，若函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ） A ．γαβ>> B ．βαγ>> C ．αβγ>> D ．βγα>> 6．若()f x 在R 上可导，()()2
223f x x f x '=++，则
()3
f x dx =⎰( )
A ．16
B ．54
C ．﹣24
D ．﹣18
7．若)(x f 满足2
3
'
2
2)2(,)(2)(e f e x x xf x f x x
-==-．则0>x 时，)(x f （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值，又有极小值
D ．既无极大值，也无极小值
8．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且p≠q，不等式
(1)(1)
1f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[15,)+∞
B ．](,15-∞
C ．](12,30
D ．](12,15- 9．已知()()2
01f x x xf '=--，则()2014f 的值为（ ）
A ．20122014⨯
B ．20132014⨯
C ．20132015⨯
D ．20142016⨯
10．若函数()y f x '=在区间()12,x x 内是单调递减函数，则函数()y f x =在区间()12,x x 内的图象可以是（ ）
11.设a 为实数，函数f （x ）=x 3+ax 2
+（a-2）x 的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线y=f （x ）在原点处的切线方程为（ ）
A ．y=-2x
B ．y=3x
C ．y=-3x
D ．y=4x
12．已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，2
1
)(<
'x f 恒成立，则不等式22
lg 1
(lg )22
x f x <+的解集为（ ） A ．1(0,
)10 B ．1(0,)(10,)10
+∞ C ．1
(,10)10
D ．(10,)+∞
13．曲线y ＝2x 3
－3x ＋1在点（1，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝4x －5 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋4 D ．y ＝3x －3
14．若点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为（ ） A ．1 B 2 C ．
2
2
D 315．已知函数2
221y x x =-+的导数为y '，y '=（ ）
A ．22x -
B ．41x +
C ．42x -
D ．21x + 16．已知曲线f （x ）＝ln x 在点（x 0，f （x 0））处的切线经过点（0，－1），则x 0的值为（ ） A ．
1
e
B ．1
C ．e
D ．10 17．已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(>-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）
A ．)1,0()1,( --∞
B ．),1()0,1(+∞-
C ．)1,0()0,1( -
D ．),1()1,(+∞--∞
18．曲线sin e x y x =+（其中e ＝2．71828…是自然对数的底数）在点(01)，处的切线的斜率为 （ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）1
3
（D ）12
19．曲线3
24y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30° B．45° C．60° D．120°
20.若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴,则k =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
21.计算
120
(11)x dx +-⎰
的结果为（ ）.
A ．1
B ．4
π
C ．14π+
D ．12
π+ 22.函数x
x
x f +=
1cos )(在)1,0(处的切线方程是（ ） A ．01=-+y x B ．012=-+y x C ．012=+-y x D ．01=+-y x 23.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有
11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数
①3
1y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1x
y e =+;④ln 0
()0
0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是
“H 函数”的共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
24.【函数f （x ）=（x 2
﹣2x ）e x
（e 为自然数的底数）的图象大致是（ ）.
25.若0
cos2cos t
t xdx =-⎰
,其中(0,)t π∈,则t =( ).
A.
6π B.2π C.56
π
D.π
26.已知函数f(x)=x 3
+bx 2
+cx+d(b 、c 、d 为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则22
)3()2
1(-++
c b 的取值范围是( ). A.(
)5,2
37
B.)5,5(
C.)25,437(
D.(5,25)
27.已知函数()()12ln +=x x f ，则()='0f （ ） A ． 0 B ． 1
C ． 2
D ．
28.
⎰
+1
)2(dx x e x 等于 （ ）
A. 1
B. e
C. 1-e
D. e + 1
29.已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数
()f x 的单调递减区间为（ ）
A.[1,)-+∞
B.(,2]-∞
C.(,1),(1,2)-∞-
D.[2,)+∞ 30.函数1)(2
3
++-=x x x x f 在点（1，2）处的切线的斜率是（ ） A ．
B ． 1
C ． 2
D ． 3
31.设()x f '是函数()x f 的导函数，将()x f y =和()x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
32.曲线2
y x
=
与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 42ln 2- B. 2ln 2- C. 4ln 2- D. 2ln 2
33.函数a ax x x f --=3)(3
在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．10<≤a B ．10<<a
C ．11<<-a
D ．2
1
0<<a
34.已知定义域为R 的奇函数()x f 的图象是一条连续不断的曲线，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ；当()1,0∈x 时()0>'x f ，且()02=f ，则关于x 的不等式()()01>+x f x 的解集为（ ） A ．（﹣2，﹣1）∪（0，2） B ． （﹣∞，﹣2）∪（0.2）
C ．（﹣2，0）
D ． （1，2）
35．曲线sin e x y x =+（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）在点(01)，处的切线的斜率为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）13
（D ）1
2
36．已知函数32
()1f x x bx cx =+++有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ∈--∈，则(1)f -的取值范围是（ ）
A ．[3,12]
B ．3[,6]2-
C ．3[,3]2-
D ．3
[,12]2
- 37．已知函数f （x ）=﹣x 3
+ax 2
﹣x ﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a 的取值范围是A ． B ．
C ．
D ．
38．已知函数()sin cos f x x x =+，且'
()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（ ）
A 39.过原点作曲线ln y x =的切线，则切线斜率为 （ ） A ．2e
B ．
21e C ．e D ．1
e
40．曲线sin x
y x e =+在点()0,1处的切线方程是( )
A ．330x y -+=
B ．220x y -+=
C ．210x y -+=
D ．310x y -+= 41，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C 42． ()f x '是函数()f x 的导数，函数是增函数（ 2.718281828e =⋅⋅⋅是自然对数的底
数），()f x '与()f x 的大小关系是（ ）
A ．()()f x f x '=
B ．()()f x f x '>
C ．()()f x f x '≤
D ．()()f x f x '≥
43．已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x ()f x e '≤-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）
（ ）
A ．()0,1
B ．()1,+∞
C ．()0,+∞
D 44.设''
()y f x =是'
()y f x =的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数
32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠）都有对称中心00(,())x f x ，其中x 0满足''0()0f x =．已知
2014
(
2015
f +
+ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015
45.
①),1(+∞是)(x f 的单调递减区间；
②当
)
1
,(e k -∞∈时，直线k y =与)(x f y =的图象有两个不同交点； ③函数)(x f y =的图象与12
+=x y 的图象没有公共点. 其中正确结论的序号是（ ）
A.①②③
B.①③
C.①②
D.②③ 46.定义在(0,)2
π
上的函数()f x ，()'f x 是它的导函数，
且恒有()()'tan f x f x x >⋅成立．则（ ）
A ．3()()63f f ππ<
B ．)
1(1cos 2)6(3f f ⋅>⋅π
C ．6()2()64f f ππ>
D ．
2()()43f f ππ
> 47.已知函数)(x f 满足x e x xf x f x x =+')(2)(2
，8
)2(2
e f =，则当0>x 时，)(x f （ ）
A ．有极大值，无极小值
B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值，也有极小值
D ．既无极大值，也无极小值
48.定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，
()()()()
1
2,3,2122
a f
b f
c f ==
=+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<
49.若不等式222
9t t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立,则a 的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡1,61 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡134,61 C ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡1,13
2 D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡22,61
50.已知函231()1
()32
mx m n x f x x +++=+两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈
2x ∈()1,+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在
区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3 B ． ()3,+∞ C ．()1,3 D ．[)3,+∞
51．若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”，有下列四个命题：
①有且只有两条直线l 使得曲线22
1:4C x y +=和曲线222:4240C x y x y +-++=为“相
关曲线”； ②曲线211:12C y x =
+和曲线2
21:12
C y x =-是“相关曲线”； ③当0b a >>时，曲线2
1:4C y ax =和曲线2222:-C x b y a +=（
）一定不是“相关曲线”； ④必存在正数a 使得曲线1C ：ln y a x =和曲线2:C 2
y x x =-为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 52.已知函数()12
()ln ,(2
f x x
g x x a a ==
+为常数）
，直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1
2
-
D ．2 53．某工厂生产的机器销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数:2
117x y =,生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数;)0(22
32>-=x x x y ,为使利润最大,应生产（ ）
A ．9千台
B ．8千台
C ．7千台
D ．6千台
54.函数3
2
()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为 ．
55.已知函数()x f y =的图象在3=x 处的切线方程为72+-=x y ，则()()33f f '+的值是 56.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式
0)()1
(2>-x f x
f x 的解集为 ．
57.已知函数f （x ）=x 3
+ax 2
﹣a （a∈R），若存在x 0，使f （x ）在x=x 0处取得极值，且f （x 0）=0，则a 的值为 ．
58.若函数()x f 在定义域D 内某区间I 上是增函数，且
()x
x f 在I 上是减函数，则称()x f y =在
I 上是“弱增函数”．已知函数()()b x b x x h +--=12在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b
的值为 59．已知点P 在曲线1
4
+=x
e y α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．
60．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段
CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点
A
C
P B
D
D ．设CP =x ， △CPD 的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点
是 ．
61．曲线y ＝xln x 在点（e ，e ）处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为________． 62．函数()3
123f x x x =-+，()3x
g x m =-，若对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，
()()12f x g x ≥，则实数m 的最小值是 ．
63．若曲线ln y ax x =-在()1,a 处的切线平行于x 轴，则实数a = ．
64．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如下，则()y f x =有 个极大值点.
65．已知函数()3
2
6)1(f x x mx m x ++++＝存在极值，则实数m 的取值范围为_ _________．
66．求曲线y=ln （2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离_______．
67．曲线2
1y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 ． 68．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
69．已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导数，()1f e =，()()()g x f x f x '=-，
()10g =，()g x 的导数恒大于零，
函数()()x
h x f x e =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）的最小值是 ． 70．对于函数b x a x a x x f +-+-=
)3(2
31)(2
3有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 ．
71．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数3
2
1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),3A B ϕ>；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若
(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 72．已知
22:1O x y +=．若直线2y k x =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线
互相垂直，则实数k 的最小值为 ． 73．已知()1cos f x x x =
，则()2f f ππ⎛⎫
'+= ⎪⎝⎭
． 74．已知函数),(ln )(R n m nx x m x f ∈+= ，曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为220x y --=．（1）=+n m ；（2）若1x >时，()0k
f x x
+<恒成立，则实数k 的取值范围是 ．
75．对于函数()f x ，若对于任意的123,,x x x R
∈，()()()123,,f x f x f x 为某一三角形的三
边长，则称()f x 为“可构成三角形的函数”．已知函数()1
x x e t
f x e +=+是“可构成三角形的函
数”，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]0,1
C ．[]1,2
D ．()0,+∞
76.已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.
（1）求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程5()2
f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取
值范围；
（3）证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++ (21)
ln(1)n n n
++>+都成立. 77.已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ＜0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g （x ）=x 3
+x 2
[f′（x ）+m]在区间（t ，2）上总不是单调函数，其中f′（x ）为f （x ）的导函数，求实数m 的取值范围．
78.已知函数()ln 1,.f x x ax a R =++∈ （Ⅰ）求()1f x x =在处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）数列11{},2,21n n n a a a a +==+中，数列{}n b 满足ln ,{}n n n b n a b =记的前n 项和为n T ，
求证：1
2
4.2n n n T -+<-
79.已知函数()2
3
bx ax x f +=的图象经过点M （1，4），曲线在点M 处的切线恰好与直线
x+9y=0垂直．
（1）求实数b a ,的值；
(2)若函数()x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围
80.已知函数()()R a ax x f ∈=，()1ln -=x x g ． （1）若函数()()()x x f x
x g x h 22
1--
+=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0>a 时，试讨论这两个函数图象的交点个数．
81.已知()x a x f ln =，()()cx bx x f x g ++=2，且()12='f ，()x g 在21=x 和2=x 处有极值．
（1）求实数c b a ,,的值；
（2）若0>k ，判断()x g 在区间()k k 2,内的单调性．
82.设函数()()0ln >--=a x a x x f .
（1）若,1=a 求()x f 的单调区间及()x f 的最小值；
（2）若0>a ,求()x f 的单调区间；
（3）试比较222222ln 33ln 22ln n
n +++ 与()()()12121++-n n n 的大小.其中()2≥∈*n N n 且,并证明你的结论.
83.已知函数)0()(>++=a c x
b ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y ． （1）用a 表示出b ，
c ；
（2）证明：当21≥
a 时，x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立； （3）证明：)()
1(2)1ln(131211*N n n n n n ∈+++>++++
．
84．已知函数()()2f x x x a =-，()()21g x x a x a =-+-+(其中a ∈R ). （Ⅰ）如果函数
()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）令
()()()F x f x g x =-，讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。

85.已知函数()ln x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意()20,1x g x e -><+．
86.已知函数22
1ln )(mx x x x f -+=. （Ⅰ）当2=m 时，求函数)(x f 的极值点；
（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-≤mx x f 恒成立，求整数．．m 的最小值.
23
（Ⅰ）若2=a ，求)(x f 在]1,1[-上的最小值； （Ⅱ）若)(x f 在区间),0[+∞上的最大值大于零，求a 的取值范围.
88.已知函数2()2ln ()f x ax x x a R =+-∈ ． （Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若'()f x 在区间(0,1)内有唯一的零点0x ，求a 的取值范围．
89.已知函数()1x f x e mx =--．
（1）当1m =时，试判断函数)(x f 的单调性；
（2）对于任意的),0[+∞∈x ，0)(≥x f 恒成立，求m 的取值范围．
90.
（Ⅱ）若对任意[)0,∈+∞x ，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围．
91.已知函数()x f x e ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；
（Ⅱ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．
92.已知函数32()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值．
（Ⅰ）求实数,a b 的值；
（Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程．
93.已知函数2()()f x x x c =-（c ∈R ）在2x =处有极小值.
（Ⅰ）求c 的值；
（Ⅱ）求()f x 在区间[0,4]上的最大值和最小值.
94.已知偶函数2()f x ax bx c =++（a b c ∈R ，，）在点(11)，处的切线与直线290x y ++=垂直，
（Ⅲ）证明：对于任意实数x ，不等式23ln(e 1)e e x x x +>-恒成立．（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）
95.已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R
（Ⅰ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围．
96.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '．
（1对任意x R ∈恒成立，求b 的取值范围； （2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程
在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围．
97. (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；
(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),, 1.3a x x ∈--∈恒有求实数m 的取值范围．
98．已知),(3)(23R x b ax x x f ∈+-=其中R b a ∈≠,0
（1;
（2，函数)(x f 在区间]2,1[上的最大值为M ，最小值为m ，求m M -的取值范围．
99. （1）当a =2时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程；
（2）若a ≤0，讨论函数)(x f 的单调性．
100．已知：a ∈R ，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++， （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值．。