音乐产业音乐人才培养计划

D
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ，∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
A
. O
C
∴ AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形.
B
∴ AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直 径”这个条件，一般考虑构造直角三角形来求解.
证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD ＝∠ACD. 又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E， ∴ AB 垂直平分 CD. ∴ AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC.
24.1.4 圆周角
课
堂 圆心角
小 结
类比
圆周角
圆周角定义 圆周角定理
圆周角定 理的推论
圆内接四边形
24.1.4 圆周角
练一练
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若 ∠A＝30°，则∠B的度数为( D )
A．15° B．30° C．45° D．60°
24.1.4 圆周角
2．如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A， B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B )
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
24.1.4 圆周角 讲授新课
圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
24.1.4 圆周角
探究性质
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形.
猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为： ∠A +∠C = 180°， ∠B +∠D = 180°.
练一练
1．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，
∠AOC＝130°，则∠D等于
( A)
A．25° B．30° C．35° D．50°
解析：∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°. 故选A.
24.1.4 圆周角
讲授新课
圆周角定理的推论
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是圆上任
共点的角叫做圆周角.
24.1.4 圆周角
判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.
A
B O·
B
C
A
O·
C O·
A
C√ A
顶点不在圆上 B
B 边AC没有和圆相交
O·
CC A O·
·O
B
C
√
顶点A不在圆上
A B
√
24.1.4 圆周角
讲授新课
圆周角定理
探究
如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试 猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系?
顶点在圆上，并 且两边都与圆相 交的角叫做圆周 角
圆周角的度数等 于它所对弧上的 圆心角度数的一 半
同弧或等弧所对的圆周角 相等. 半圆(或直径)所对的 圆周角是直角. 90°的圆周 角所对的弦是直径
圆内接 四边形 的对角 互补
想一想：
如何证明你的猜想呢？
24.1.4 圆周角
证明猜想 连接 OB，OD．
∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，
∴ A 1 ，C 1 . 又 360，
2
2
∴ A C 1 180.
2
同理， B D 180.
归纳总结
性质：圆的内接四边形的对角互补.
24.1.4 圆周角
例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
(1) 求DC的长；
D
解：∵AC是⊙O的直径， ∴ ∠ADC=90°.
A
. O
C
在Rt△ADC中，
DC AC2 AD2 102 62 8.
24.1.4 圆周角
(2) 若∠ADC的平分线交⊙O于B，求AB、BC的长．
解：∵ AC是⊙O的直径，∴ ∠ABC=90°.
24.1.4 圆周角
例1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则
∠A等于( A )
A．40°
B．50° C．60° D．70°
解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°， ∠A= 12∠BOC= 12×80°=40°.
24.1.4 圆周角
24.1.4 圆周角
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
24.1.4 圆周角
学习目标
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理； 2. 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题；（重点、难点） 3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
24.1.4 圆周角
解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD =
C
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°， A ∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°.
. O
P
B
D
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角， 构造直角三角形解题．
24.1.4 圆周角
∴ ∠A=∠C．
B
C
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 12BOC.
24.1.4 圆周角
第二种情况： 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D
∵OA=OB，
A
∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
∴ BAD 1 BOD．
B
同理，
2
CAD
1
COD．
2
∴BAC BAD CAD 1 BOC． 2
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？
请说明理由.
解：相等.理由如下：
∵ BAC 1 BOC，
D
2
BDC 1 BOC， 2
∴∠BAC=∠BDC.
24.1.4 圆周角
问题2 如图，若 CD EF， ∠A与∠B相等吗？
AB
解：相等.
E O
C
F
D
想一想：反过来，如果∠A=∠B，那么 CD EF成立吗？
A1 2
34
(
O6
5
C
B
24.1.4 圆周角
D
思考：如图，AC是⊙O的直径，
则∠ADC = 90°， ∠ABC= 90°.
A
O
C
B
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
24.1.4 圆周角
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.
O C
D
24.1.4 圆周角
第三种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D
∵∠BAC=∠DAC-∠DAB
1
又∵∠DAC= 2 ∠DOC
∠DAB=
1 2
∠DOB
∴∠BAC=
1 2
∠DOC-
1 2
∠DOB
= 1∠BOC
2
A O
D
B
C
24.1.4 圆周角
A A
O
B
C
O
B
C
A O
B
C
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半
练一练
1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°， ∠B = 80°，则∠C =70 ° ，∠D = 100 °.
2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，则∠D =90 °.
24.1.4 圆周角
例4 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D， AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
新课导入
复习引入
问题1 什么是圆心角？
.O
顶点在圆心的角叫圆心角.
B

问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
24.1.4 圆周角 讲授新课 圆周角的定义
如图，△ABC内接于⊙O，这时A、B、C三点都在圆上. 思考：∠ACB有什么C特点？
O
A
B
像这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公
24.1.4 圆周角
推论1： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
C2 C
1
C
O
3
A
B
24.1.4 圆周角
练一练
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为
四边形ABCD的对角线， 完成下列填空：
D
∠1=∠4 .
78
∠2=∠8 .
∠3=∠6 . ∠5=∠7 .
A
BAC 1 BOC 2
O
你能证明吗？
B
C
24.1.4 圆周角
（1）在圆上任取B⌒C，画出圆心角∠BOC 和 圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系 ？
A A
O O
A O
B
C
B
C
B
C
24.1.4 圆周角
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半？
A
第一种情况： O
证明：∵ OA=OC，