人大微积分课件8-7偏导数在几何上的应用

x

dx dx
dy = z x , dx y z dz = x y , dx y z
dy
= 0,
dx (1,2, 1)
dz
= 1,
dx (1,2, 1)

由此得切向量 T = {1, 0,1},
所求切线方程为
x 1= 1
y+2 0
=
z 1, 1
法平面方程为( x 1) + 0 ( y + 2) (z 1) = 0,
x = et cos t, y = 2cos t sin t, z = 3e3t ,
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3,
切线方程 x 0 = y 1 = z 2, 1 23
法平面方程 x + 2( y 1) + 3(z 2) = 0,
即
x + 2 y + 3z 8 = 0.
1.空间曲线方程为
y z
= =
( (
x) ,
x)
在M (x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为
x x0 = y y0 = z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) + ( x0 )( y y0 ) + ( x0 )(z z0 ) = 0.
特殊地：空间曲面方程形为 z = f ( x, y) 令 F (x, y, z) = f (x, y) z,
曲面在 M处的切平面方程为 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y y0 ) = z z0 , 曲面在 M处的法线方程为
x x0 = y y0 = z z0 . f x ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x0 1
= 4 y0 1
= 6z0 , 2

2x0 = 4 y0
= z0.
因为 ( x0 , y0 , z0 )是曲面上的切点，
满足方程

x0 =
2, 11
所求切点为 ( 2 , 1 , 8 ), 11 22 11
切平面方程(1)
2( x 1) + 8( y 2) +12(z 2) = 0 x + 4 y + 6z = 21
3.空间曲线方程为 GF((xx,,
y, y,
z) z)
= =
0 , 0
x x0 切线方程为Fy Fz
= y y0 Fz Fx
= z z0 Fx Fy
,
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
0
(
x

x0
)
+
Fz Gz
= 0.
Fx Gx
(
0
y
例 5 求椭球面 x2 + 2 y2 + z2 = 1 的切平面
使其与平面 x y + 2z = 0 平行 .
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
法向量 n = {2x0 ,4 y0 , z0}
切平面方程为
2x0 ( x x0 ) + 4 y0 ( y y0 ) + 6z0 (z z0 ) = 0
Dt
Dt
Dt
当M M ,即Dt 0时 ,
曲线在M处的切线方程
x x0 = y y0 = z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.

T = (t0 ), (t0 ),(t0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
处的切平面及法线方程 .
解 f ( x, y) = x2 + y2 1,
n
( 2,1, 4 )
= {2x,
2 y, 1}(2,1,4=) {4,
2,1},
切平面方程为 4( x 2) + 2( y 1) (z 4) = 0,
4x + 2 y z 6 = 0,
法线方程为 x 2 = y 1 = z 4. 4 2 1
x z = 0
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F (x, y, z) = 0
n
T
在曲面上任取一条通
M
过点M的曲线
x = (t) G : y = (t),
z = (t) 曲线在M处的切向量 T = {(t0 ), (t0 ), (t0 )},
令 n = {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 则条曲n 线，T,它们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n 任垂意直一， 故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
M ( x0 + Dx, y0 + Dy, z0 + Dz)
对应于 t = t0 + Dt.
x
M
o
y
割线= z z0 Dx Dy Dz x
M
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 Dt,
x x0 = y y0 = z z0 , Dx Dy Dz

y0 )
+
Fx Gx
Fy Gy
0
(z

z0
)
例2 求曲线x2 + y2 + z2 = 6，x + y + z = 0在 点(1, 2, 1) 处的切线及法平面方程.
解 1 直接利用公式 ;
解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得

y
dy dx
dy +
+z dz
dz = dx = 1
=
2,
F z (1,2,0) = 1 e z (1,2,0) = 0,
切平面方程 4( x 1) + 2( y 2) + 0 (z 0) = 0,
法线方程
2x + y 4 = 0, x 1 = y 2 = z 0.
210
例 4 求旋转抛物面 z = x2 + y2 1在点(2,1,4)
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
+ Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) = 0
通过点 M0 ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
全微分的几何意义
因为曲面在M处的切平面方程为
z z0 = f x ( x0 , y0 )( x x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 )的全微分
z = f ( x, y)在 ( x0 , y0 ) 的全微分，表示 曲面 z = f ( x, y) 在点 ( x0, y0, z0 )处的
第七节 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
一、空间曲线的切线与法平面
x = (t)
1
设空间曲线的方程

y
=
(t
) (1)
z = (t)
(1)式中的三个函数均可导. z
M
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t = t0 ;
x x0 = y y0 = z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即
n = {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
切平面方程(2)
2( x +1) 8( y + 2) 12(z + 2) = 0 x + 4 y + 6z = 21
(t0 )(x x0 ) + (t0 )( y y0 ) + (t0 )(z z0 ) = 0
例1
求曲线 G
:
x
=
t
0
e
u
cos
udu ，y
=
2sint
+cost, z = 1 + e3t在t = 0处的切线和法平面方程.
解 当t = 0时，x = 0, y = 1, z = 2,
切平面上的点的竖坐标的增量.
例 3 求曲面z ez + 2xy = 3在点(1,2,0) 处的
切平面及法线方程 .
解 令F ( x, y, z) = z ez + 2xy 3,
F x (1,2,0)
=
2y (1, 2 , 0 )
=
4,Fy (1,2,0)
=
2x (1, 2 , 0 )