九年级数学上册第26章解直角三角形达标测试卷新版冀教版

第二十六章达标测试卷
一、选择题(1～10题每题3分,11～16题每题2分,共42分) 1.cos 45°的值为( )
A.12
B.22
C.32
D ．1
2．如图,点A (t ,4)在第一象限,OA 与x 轴所夹的锐角为α,sin α＝2
3
,则t 的值是( )
A ．4
B ．6
C ．2 3
D ．2 5
(第2题) (第3题)
3．如图,BD ⊥AC 于点D ,CE ⊥AB 于点E ,BD 与CE 相交于点O ,则图中线段的比不能表示sin A
的式子为( ) A.
BD AB
B.
CD OC
C.
AE AD
D.
BE OB
4．如图,已知点C 从点B 出发,沿射线BD 方向运动,运动到点D 停止,则在这个过程中,从点
A 观测点C 的俯角将( )
A ．增大
B ．减小
C ．先增大后减小
D 先减小后增大
(第4题) (第5题) (第6题)
5．如图,A ,B ,C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′,
则tan B ′的值为( ) A.1
2
B.13
C.14
D.24
6．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB
在地面上的影长BC 为24 m,那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 m
B ．8 3 m
C ．24 m
D ．24 3 m
7．若计算器的四个键如图所示,在角的度量单位为“度”的情况下,用计算器求sin 47°,
正确的按键顺序是( )
(第7题)
A ．①②③④
B ．②④①③
C ．①④②③
D ．②①④③
8．如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ,坝顶宽10 m,坝高12 m,斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5,
则坝底AD 的长度为( ) A ．26 m
B ．28 m
C ．30 m
D ．46 m
(第8题) (第9题)
9.如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AM 是BC 边上的中线,若sin ∠CAM ＝3
5
,则tan B ＝( )
A.12
B.32
C.23
D ．2
10．如图,航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°,测得底部C 的俯角为60°,
此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m,那么该建筑物的高度BC 约为( ) A ．204 m B ．206 m C ．208 m
D ．210 m
(第10题) (第11题) (第12题)
11．如图,长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造
楼梯,使其倾斜角∠ACD 为45°,则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 m B ．2 6 m C ．(2 3－2)m
D ．(2 6－2)m
12．如图,过点C (－2,5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0,2),B 两点,则tan ∠OAB 等于( )
A.25
B.23
C.52
D.32
13．如图,一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险,测得海岛A 与B 的距离为10 3海
里,渔船将险情报告发给位于A 处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C 靠近,同时,从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行,30分钟后,救援船在海岛C 处恰好与渔船相遇,那么救援船航行的速度为( ) A ．10 3海里/时 B ．15海里/时 C ．5 3海里/时
D ．30海里/时
(第13题) (第14题)
14．如图,在Rt △ABC 中,∠B ＝90°,∠BAC ＝30°,以点A 为圆心,BC 的长为半径画弧交AB
于点D ,分别以点A ,D 为圆心,AB 的长为半径画弧,两弧交于点E ,连接AE ,DE ,则∠EAD 的余弦值是( ) A.312
B.36
C.33
D.32
15．如图,菱形ABCD 的周长为20 cm,DE ⊥AB ,垂足为E ,sin A ＝3
5
,则下列结论：①DE ＝3 cm ；
②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2
；④BD ＝2 10 cm. 其中正确的有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(第15题) (第16题)
16．“五一”期间,小明和妈妈到某景区游玩,小明想利用所学的数学知识,估测景区里的观
景塔DE 的高度．如图,他从点D 处走到点A 处,然后沿着斜坡AB 从点A 处走了8 m 到达点B 处,此时回望观景塔,更显气势宏伟．在B 点测得观景塔顶端的仰角为45°且AB ⊥
BE ,再往前走到点C 处,测得观景塔顶端的仰角为30°,B ,C 之间的水平距离BC ＝10 m,
则观景塔DE 的高度约为(精确到1 m,2≈1.41,3≈1.73)( ) A ．14 m B ．15 m C ．19 m
D ．20 m
二、填空题(17、18题每题3分,19题每空2分,共12分)
17．在△ABC 中,若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2
＝0,则∠C 的度数是________．
18.
如图,八个完全相同的小长方形恰好能拼成一个边长为4的正方形,连接小长方
形的顶点得△ABC ,则tan ∠ACB ＝________．
(第18题) (第19题)
19．如图①,在边长为1的正方形网格中,连接格点A ,B 和C ,D ,AB 和CD 相交于点P ,求tan
∠CPB 的值．嘉琪同学是这样解决的：连接格点A ,D ,可得△ADC 为等腰直角三角形,则
AD ⊥CD ,又∠CPB ＝∠APD ,那么∠CPB 就变换到Rt △ADP 中．由BD ∥AC ,可得DP PC ＝
________,则tan ∠CPB 的值为________．
【探索延伸】如图②,在边长为1的正方形网格中,AB 和CD 相交于点P ,则sin ∠APD 的值为________．
三、解答题(20、21题每题8分,22、23题每题9分,24、25题每题10分,26题12分,共66
分) 20．计算：
(1)(－2)3
＋16－2sin 30°＋(2 020－π)0
；
(2)sin 2
45°－cos 60°－cos 30°tan 45°
＋2sin 2
60°·tan 60°.
21．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c .已知2a ＝3b ,求∠B 的正弦、
余弦和正切值．
22．如图,已知四边形ABCD 中,∠ABC ＝90°,∠ADC ＝90°,AB ＝6,CD ＝4,BC 的延长线与AD
的延长线交于点E .
(第22题)
(1)若∠A ＝60°,求BC 的长； (2)若sin A ＝4
5,求AD 的长．
23．如图,某山山脚下西端A 处与东端B 处相距800(1＋3)m,小军和小明同时分别从A 处和
B 处向山顶
C 匀速行走．已知山的西端的坡角是45°,东端的坡角是30°,小军的行走速
度为
2
2
m/s.若小明与小军同时到达山顶C 处,则小明的行走速度是多少？
(第23题)
24．如图,在△ABC中,tan (∠C－∠B)＝6
17
,AC＝13,AB＝5,求BC的长．
(第24题)
25．某校为检测师生体温,安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图,已知测温门AD的顶部A处距地面2.2 m,为了解自己的有效测温区间,身高1.6 m的小聪做了如下试验：当他在地面N处时,测温门开始显示额头温度,此时在额头B处测得A的仰角为18°；
当他在地面M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰角为60°.求
小聪在地面的有效测温区间MN 的长度．(额头到地面的距离以身高计,计算结果精确到0.1 m,sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.32)
(第25题)
26．在△ABC 中,∠ABC ＝90°,tan ∠BAC ＝1
2
.
(1)如图①,分别过A ,C 两点作经过点B 的直线的垂线,垂足分别为M ,N ,若点B 恰好是线段MN
的中点,求tan ∠BAM 的值；
(2)如图②,P 是边BC 延长线上一点,∠APB ＝∠BAC ,求tan ∠PAC 的值．
(第26题)
答案
一、1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 7．D 8.D 9.C 10.C 11.B 12.B 13．D
14．B 【点拨】设BC ＝x .在Rt △ABC 中,∠B ＝90°,∠BAC ＝30°,
∴AB ＝3BC ＝3x .
根据题意,得AD ＝BC ＝x ,AE ＝DE ＝AB ＝3x . 如图,过点E 作EM ⊥AD 于点M ,易知AM ＝12AD ＝1
2
x .
在Rt △AEM 中,cos ∠EAD ＝
AM AE ＝1
2
x 3x ＝3
6
. (第14题)
15．C
16．C 【点拨】过点B 作BF ⊥DE 于F ,过点A 作AH ⊥BF 于H ,易知DF ＝AH .
∵∠EBF ＝45°,AB ⊥BE , ∴∠ABH ＝45°. ∴DF ＝AH ＝8×
2
2
＝4 2( m)． 在Rt △ECF 中,tan ∠ECF ＝EF CF
, ∴CF ＝3EF .
在Rt △EBF 中,∠EBF ＝45°, ∴BF ＝EF .
∵CF －BF ＝BC ,∴3EF －EF ＝10 m, 解得EF ＝(5 3＋5) m,
∴DE ＝EF ＋DF ＝5 3＋5＋4 2≈19(m)． 二、17.75°
18.1
3
【点拨】由正方形的边长为4,易得小长方形的长为2,宽为1.如图,延长CA ,交正方形
一边于点D ,连接DB ,易得BD ⊥AC ,DB ＝2,DC ＝3 2,∴tan ∠ACB ＝DB DC ＝1
3
.
(第18题) 19．12；3；11170
170
【点拨】如图,连接CE ,DE ,过D 作DM ⊥CE 于点M .
(第19题) ∵BC ∥AE ,BC ＝AE ,
∴四边形ABCE 是平行四边形, ∴CE ∥AB ,∴∠APD ＝∠ECD .
∵△ECD 的面积＝3×4－12×1×4－12×2×3－12×1×3＝11
2,
∴12CE ·DM ＝11
2
. 易得CE ＝17,∴DM ＝111717,
易得CD ＝10,
∴sin ∠APD ＝sin ∠ECD ＝
DM CD ＝11170170
. 三、20.解：(1)原式＝－8＋4－2×1
2
＋1＝－8＋4－1＋1＝－4.
(2)原式＝(
22)2－12－32＋2×(32
)2
×3＝ 3. 21．解：由2a ＝3b ,可得a b ＝3
2
.
设a ＝3k (k ＞0),则b ＝2k ,
由勾股定理,得c ＝a 2
＋b 2
＝9k 2
＋4k 2
＝13k ,
∴sin B ＝b c
＝
2k 13k
＝
2 13
13
, cos B ＝a c
＝
3k
13k
＝3 1313,
tan B ＝b a ＝
2k 3k ＝2
3
. 22．解：(1)在Rt △ABE 中,∵∠A ＝60°,∠ABE ＝90°,AB ＝6,tan A ＝BE AB
,
∴∠E ＝30°,BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3. 在Rt △CDE 中,∵∠CDE ＝90°,CD ＝4, ∴CE ＝2CD ＝8.
∴BC ＝BE －CE ＝6 3－8. (2)在Rt △ABE 中,sin A ＝45＝BE
AE ,
∴可设BE ＝4x (x ＞0),则AE ＝5x . 由勾股定理可得AB ＝3x , ∴3x ＝6,解得x ＝2. ∴BE ＝8,AE ＝10. 易得tan E ＝AB BE ＝CD DE ,∴68＝4
DE
,
解得DE ＝16
3
.
∴AD ＝AE －DE ＝10－163＝14
3
.
23.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ,设AD ＝x m,小明的行走速度是a m/s.
∵∠A ＝45°,CD ⊥AB , ∴CD ＝AD ＝x m ,AC ＝2x m. 在Rt △BCD 中,∵∠B ＝30°, ∴BC ＝CD sin 30°＝x
1
2＝2x (m)．
∵小军的行走速度为2
2
m/s,小明与小军同时到达山顶C 处, ∴
2x 22
＝2x
a ,解得a ＝1.
答：小明的行走速度是1 m/s.
24．解：如图,在BC 上取一点E ,使AE ＝AC ＝13,连接AE ,过点E 作EF ⊥AB 于点F ,过点A
作AD ⊥CE 于点D ,
则∠AEC ＝∠C ,DE ＝CD .
(第24题)
∵∠EAF ＝∠AEC －∠B ,
∴∠EAF ＝∠C －∠B .
∵tan(∠C －∠B )＝617
, ∴tan ∠EAF ＝617,即EF AF ＝617
, 设EF ＝6x ,则AF ＝17x ,由勾股定理得AF 2＋EF 2＝AE 2,
∴(17x )2＋(6x )2＝(13)2,
∴x ＝15
(负值舍去), ∴EF ＝65,AF ＝175
, ∴BF ＝AB －AF ＝5－175＝85
, ∴BE ＝BF 2＋EF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652
＝2. ∵S △ABE ＝12AB ·EF ＝12
BE ·AD , ∴AD ＝AB ·EF BE ＝5×652
＝3, ∴CD ＝DE ＝AE 2－AD 2＝2,
∴BC ＝BE ＋DE ＋CD ＝2＋2＋2＝6.
25.解：如图,连接BC 并延长BC 交AD 于点E ,易知DE ＝1.6 m ,则AE ＝AD －DE ＝0.6 m.
在Rt △ABE 中,BE ＝AE
tan 18°≈0.60.32≈1.88 (m),
在Rt △ACE 中,CE ＝AE tan 60°≈0.6
1.73≈0.35 (m)．
易知四边形MNBC 是矩形,
∴MN ＝BC ＝BE －CE ≈1.88－0.35≈1.5 (m)．
答：小聪在地面的有效测温区间MN 的长度约为1.5 m.
(第25题)
26．解：(1)∵AM ⊥MN ,CN ⊥MN ,
∴∠M ＝∠N ＝90°,
∴∠MAB ＋∠ABM ＝90°.
∵∠ABC ＝90°,
∴∠NBC ＋∠ABM ＝90°,
∴∠MAB ＝∠NBC ,
∴△AMB ∽△BNC ,
∴BN
AM ＝BC
AB ＝tan ∠BAC ＝12.
∵点B 是线段MN 的中点,
∴BM ＝BN ,
∴在Rt △AMB 中,tan ∠BAM ＝BM
AM ＝BN AM ＝1
2. (2)过点C 作CD ⊥AC 交AP 于点D ,
过点D 作DE ⊥BP 于点E .
∵tan ∠BAC ＝1
2,∠APB ＝∠BAC ,
∴tan ∠BAC ＝BC AB ＝1
2,
tan ∠APB ＝AB BP ＝1
2.
设BC ＝x ,则AB ＝2x ,BP ＝4x ,
∴CP ＝BP －BC ＝4x －x ＝3x .
易得∠BAC ＝∠ECD ,
∴∠APB ＝∠ECD .
∵DE ⊥BP ,
∴CE ＝EP ＝12CP ＝32x .
∵∠BAC ＝∠ECD ,∠B ＝∠CED ＝90°, ∴△ABC ∽△CED ,
∴CD AC ＝CE AB ＝32x
2x ＝34,
∴在Rt △ACD 中,tan ∠PAC ＝CD AC ＝34.。